فيديو السؤال: إيجاد النهايات بتحويلها إلى نهايات ذات أسس طبيعية الرياضيات

أوجد نها_(ﻡ → ∞) (١ − (٢‏/‏ﻡ))^٨ﻡﺱ.

٠٩:٣٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية عندما يقترب ﻡ من ما لا نهاية لواحد ناقص اثنين على ﻡ الكل مرفوعًا للقوة ثمانية ﻡﺱ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة نهاية. ويمكننا ملاحظة أننا سنوجد النهاية عندما يقترب ﻡ من ما لا نهاية. أول ما يمكننا فعله عندما يطلب منا إيجاد قيمة نهاية ما هو التعويض المباشر في النهاية. لكن إذا جربنا ذلك، فستواجهنا مشكلة. بين القوسين هنا، عندما يقترب ﻡ مما لا نهاية، نجد أن سالب اثنين مقسومًا على ﻡ يقترب من صفر؛ لأن بسط هذا الكسر يظل ثابتًا. لكن المقام يزداد بلا حدود. وإذا نظرنا إلى الأس لدينا، فسنرى أنه ثمانية مضروبًا في ﻡﺱ. وهذا يعني أنه عندما يقترب ﻡ من ما لا نهاية، فإن الأس يقترب أيضًا من ما لا نهاية.

إذن، عندما يقترب ﻡ من ما لا نهاية، فإن ما بين القوسين — أي واحد ناقص صفر — يقترب من واحد ويقترب الأس من ما لا نهاية. وعليه، فإن هذه النهاية تقترب من واحد أس ما لا نهاية. وهذه صيغة غير معينة؛ لذا لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. علينا استخدام طريقة أخرى.

في هذه المرحلة، لدينا عدة طرق يمكننا تجربتها لإيجاد قيمة النهاية. على سبيل المثال، يمكننا استخدام العمليات الجبرية لتغيير التعبير بين القوسين لدينا. لكن أسهل طريقة لإيجاد قيمة هذه النهاية ستكون استخدام أحد نواتج النهايات التي تتضمن عدد أويلر. إننا نعلم أن النهاية عندما يقترب ﻉ من صفر لواحد زائد ﻉ الكل مرفوعًا للقوة واحد على ﻉ تساوي ثابت أويلر ﻫ. في الواقع، نحن نعلم أنه توجد لدينا نهايتان يتضمن ناتجاهما عدد أويلر ﻫ. ويمكننا استخدام أي من صيغتي النهايتين لإيجاد قيمة النهاية لدينا. لكن من الصعب للغاية تحديد ناتج النهاية التي علينا استخدامها بمجرد النظر إلى النهاية لدينا. لذا، إذا واجهتنا صعوبة أثناء استخدام إحدى صيغتي النهايتين، فعلينا أن نجرب الصيغة الأخرى. حسنًا، سنحاول إعادة كتابة النهاية لتصبح على صورة يمكننا من خلالها استخدام ناتج النهاية لدينا.

لنفعل ذلك، يجب أن يكون التعبير الموجود بين القوسين على الصورة واحد زائد ﻉ، وسنفعل ذلك باستخدام التعويض. سنعوض بـ ﻉ يساوي سالب اثنين على ﻡ. وبذلك، نكون قد أعدنا كتابة النهاية لدينا لتصبح على الصورة: النهاية عندما يقترب ﻡ من ما لا نهاية لواحد زائد ﻉ الكل مرفوعًا للقوة ثمانية ﻡﺱ. لكن هذا لم يساعدنا في إيجاد قيمة النهاية؛ لأننا لدينا الآن النهاية عندما يقترب ﻡ من ما لا نهاية، ولدينا ﻉ وهي دالة في ﻡ، وﻡ ما يزال في هذه النهاية. إذن، علينا إعادة كتابة تعبير النهاية بالكامل بدلالة ﻉ. ولنفعل ذلك، سنحتاج إلى إيجاد تعبير عن ﻡ بدلالة ﻉ. ولكي نتمكن من هذا، علينا إعادة ترتيب التعبير لدينا للتعويض به.

سنضرب كلا الطرفين في ﻡ ثم نقسمهما على ﻉ، لنحصل على ﻡ يساوي سالب اثنين مقسومًا على ﻉ. وبهذا يصبح لدينا تعبير عن ﻡ، ويمكننا التعويض به مباشرة في النهاية لدينا. لكن علينا أيضًا معرفة ما يحدث لقيمة ﻉ عندما يقترب ﻡ من ما لا نهاية. يمكننا معرفة ذلك باستخدام أي من المعادلتين الناتجتين عن التعويض. لكن من الأسهل ملاحظة ذلك من المعادلة الموجودة بالأعلى. كلما اقترب ﻡ من ما لا نهاية، اقترب سالب اثنين على ﻡ من صفر من جهة اليسار. وهذا يعني أن ﻉ يقترب من صفر من جهة اليسار.

يمكننا الآن التعويض لإعادة كتابة النهاية لدينا. لقد أوضحنا أولًا أنه عندما يقترب ﻡ من ما لا نهاية، فإن ﻉ يقترب من صفر من جهة اليسار، ولكن هذا ليس حتميًّا. لذا يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة: النهاية عندما يقترب ﻉ من صفر. بما أننا نعلم أنه إذا كانت النهاية عندما يقترب ﻉ من صفر تساوي عددًا ما، فإن النهايتين اليسرى واليمنى عندما يقترب ﻉ من صفر ستساويان ذلك العدد أيضًا. بعد ذلك، نعوض بـ ﻡ يساوي سالب اثنين على ﻉ لنحصل على النهاية عندما يقترب ﻉ من صفر لواحد زائد ﻉ الكل مرفوعًا للقوة ثمانية مضروبًا في سالب اثنين على ﻉ في ﺱ. حسنًا، لقد أصبحنا الآن مستعدين لاستخدام ناتج النهاية. يمكننا ملاحظة أن النهاية لدينا هي النهاية عندما يقترب ﻉ من صفر. وكما نرى، لدينا واحد زائد ﻉ بين القوسين. كل ما علينا فعله الآن هو إعادة كتابة هذه النهاية بدلالة الأس واحد على ﻉ.

لكي نفعل ذلك، علينا تبسيط الأس. بما أننا نريد أسًّا يساوي واحدًا على ﻉ، فسنأخذ واحدًا على ﻉ عاملًا مشتركًا من الأس لدينا، ثم نبسط الناتج المتبقي. ويعطينا ذلك الأس واحد على ﻉ في سالب ١٦ﺱ. والآن، أصبحت النهاية على صورة يمكننا من خلالها استخدام ناتج النهاية مباشرة. علينا حذف سالب ١٦ﺱ من أس هذه النهاية. وبما أن هذا أس داخل نهاية، فسيكون علينا استخدام قوانين الأسس وقاعدة القوة للنهايات.

سنستخدم قوانين الأسس أولًا، إننا نعلم أن ﺃ أس ﺏ في ﺟ يساوي ﺃ أس ﺏ الكل مرفوعًا للقوة ﺟ. إذن، يمكننا إعادة كتابة ما بداخل النهاية لدينا على الصورة واحد زائد ﻉ الكل مرفوعًا للقوة واحد على ﻉ الكل مرفوعًا للقوة سالب ١٦ﺱ. ربما نرغب في تطبيق ناتج النهاية في هذه المرحلة. إلا أنه لا يمكننا فعل ذلك الآن؛ لأن الأس سالب ١٦ﺱ لا يزال داخل النهاية. لإخراج الأس سالب ١٦ﺱ من النهاية، علينا أن نستخدم قاعدة القوة للنهايات. وسيسمح لنا هذا باستخدام ناتج النهاية لإيجاد قيمة هذه النهاية.

تذكر أن قاعدة القوة للنهايات تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ دﻥ مرفوعًا للقوة ﻙ تساوي النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ دﻥ الكل مرفوعًا للقوة ﻙ. ويمكننا أن نتأكد من صحة هذا إذا كانت النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ دﻥ موجودة، وكان رفعها للقوة ﻙ معرفًا. وباستخدام هذه القاعدة، سنتمكن من إثبات أن هاتين العبارتين صحيحتان. وأسهل طريقة للتأكد من صحة هذين الشرطين هي كتابة السطر التالي من الحل بافتراض أن الناتج صحيح. بتطبيق قاعدة القوة للنهايات، نجد أن النهاية تساوي النهاية عندما يقترب ﻉ من صفر لواحد زائد ﻉ الكل مرفوعًا للقوة واحد على ﻉ. ثم نرفع كل هذا إلى القوة سالب ١٦ﺱ خارج النهاية.

أحد الشرطين اللذين علينا التأكد منهما هو وجود النهاية في هذا التعبير. حسنًا، نحن نعلم أن هذا هو ناتج النهاية؛ ونعلم أنه يساوي ﻫ. والشرط الثاني هو أن يكون رفع هذه النهاية إلى القوة معرفًا. فعلى سبيل المثال، لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. في الحالة لدينا، نلاحظ أن هذا صحيح لأن قيمة ﻫ موجبة. ويمكننا رفعها إلى أي أس. وبهذا يتحقق الشرطان لدينا، ويمكننا استخدام قاعدة القوة للنهايات في هذه الحالة. كل ما علينا فعله الآن هو استخدام ناتج النهاية الذي يتضمن ثابت أويلر ﻫ لإعادة كتابة النهاية على الصورة ﻫ أس سالب ١٦ﺱ، وهذه هي الإجابة النهائية.

وبذلك، نكون قد أوضحنا أن النهاية عندما يقترب ﻡ من ما لا نهاية لواحد ناقص اثنين على ﻡ الكل مرفوعًا للقوة ثمانية ﻡﺱ تساوي ﻫ أس سالب ١٦ﺱ لأي قيمة لـ ﺱ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.