نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نكتشف كيف نمثل المتتابعة في صورة دالة في متغير صحيح موجب يسمى الدليل. وسنلقي نظرة على مزيج من الأسئلة المتعلقة بكل من المتتابعات الحسابية والهندسية، بما في ذلك كيفية إيجاد الحد النوني لأنواع المتتابعات هذه، وأيضًا كيفية كتابة متتابعة بمعلومية الحد النوني. لكن قبل أن نبدأ بتناول بعض الأسئلة، دعونا نلخص بعض المصطلحات المتعلقة بالمتتابعات وأنواع المتتابعات التي قد نتناولها.
أولًا، المتتابعة هي قائمة مرتبة من الحدود. وتسمى الحدود عادة ﺡ ن؛ حيث ن هو الدليل. في هذا الفيديو، سنستخدم ﻥ باعتباره الدليل. على سبيل المثال، ﺡ ثلاثة سيكون هو الحد الثالث. أحيانًا تبدأ المتتابعات بالدليل ﻥ حيث ﻥ يساوي واحدًا، وأحيانًا تبدأ بـ ﻥ يساوي صفرًا. وفي هذه الحالة، تبدأ المتتابعة بما نسميه الحد الصفري. بعد ذلك، سيكون لدينا الحد الأول والحد الثاني، وهكذا. عادة ما توجد تلميحات في بعض أنواع الأسئلة إذا كان المطلوب منا هو إيجاد الحد النوني حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. في هذه الحالة، نعلم أن الدليل يجب أن يبدأ بـ ﻥ يساوي صفرًا. ويمكن أن تعطى الحدود في المتتابعة على صورة قائمة، أو تعرف باستخدام قاعدة تتعلق عادة بالدليل.
هيا نلخص الآن كيفية إيجاد الحد النوني للمتتابعة الحسابية والمتتابعة الهندسية. المتتابعة الحسابية هي متتابعة يكون فيها الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. هذا الفرق يسمى أساس المتتابعة الحسابية أو الفرق المشترك. أحد الأمثلة على المتتابعة الحسابية هو المتتابعة خمسة، ١٠، ١٥، ٢٠، وهكذا مع توالي الأعداد، حيث يمكننا ملاحظة أن الفرق المشترك بين أي حدين متتاليين هو موجب خمسة.
ولكي نوجد الحد النوني أو ﺡ ﻥ للمتتابعة الحسابية، نحسب قيمة ﺃ، وهو الحد الأول، زائد ﻥ ناقص واحد في ﺩ؛ حيث ﺩ هو الفرق المشترك. المتتابعة الهندسية هي متتابعة تكون فيها النسبة بين أي حدين متتاليين ثابتة. وهذه النسبة تسمى أساس المتتابعة الهندسية أو النسبة المشتركة. أحد الأمثلة على المتتابعة الهندسية هو المتتابعة اثنان، أربعة، ثمانية، ١٦، وهكذا مع توالي الأعداد. ويمكننا إيجاد النسبة المشتركة في المتتابعة الهندسية بأخذ أي حد وقسمته على الحد الذي يسبقه. على سبيل المثال، إذا قسمنا الحد الرابع وهو ١٦ على الحد الثالث وهو ثمانية، فسنحصل على النسبة وقيمتها اثنان. ونحصل أيضًا على النسبة اثنين إذا قسمنا ثمانية على أربعة.
لإيجاد الحد النوني للمتتابعة الهندسية ﺡ ﻥ، علينا أن نحسب قيمة ﺃ مضروبًا في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد، حيث ﺃ هو الحد الأول وﺭ هو النسبة المشتركة. والآن بعد أن لخصنا ما نعرفه عن المتتابعات، دعونا نلقي نظرة على السؤال الأول، حيث يتعين علينا تحديد نوع المتتابعة الموجودة لدينا، ثم إيجاد حدها النوني.
في أي نمط متتابعة، إذا كان الفرق بين أي حدين متتاليين عددًا ثابتًا (ﺩ)، فإنها تكون متتابعة حسابية. انظر إلى المتتابعة واحد، أربعة، سبعة، ١٠، وهكذا مع توالي الأعداد، ثم أجب عن الأسئلة الموضحة. هل هذه المتتابعة متتابعة حسابية؟ ما قيمة ﺩ؟ ما الحد العام لهذه المتتابعة، إذا كان ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا؟
عند البدء في حل هذا السؤال، نجد أنه يذكرنا بتعريف المتتابعة الحسابية. وهي المتتابعة التي يكون فيها الفرق أو الفرق المشترك بين أي حدين متتابعين ثابتًا. وكلمة متتابعين هذه مثلها مثل كلمة «متتاليين». فهي تعني ببساطة حدين يلي أحدهما الآخر مباشرة. مطلوب منا هنا التفكير في المتتابعة واحد، أربعة، سبعة، ١٠، وهكذا مع توالي الأعداد. إذا نظرنا إلى السؤال الأول، فسنجد أن المطلوب هو معرفة ما إذا كانت المتتابعة حسابية أم لا. فإذا كانت حسابية، فسيكون هناك فرق مشترك بين أي حدين متتاليين.
لذا، إذا أردنا إيجاد الفرق بين الحد الأول والحد الثاني، فسنوجد ناتج أربعة ناقص واحد، وهو ما يساوي ثلاثة. ولإيجاد الفرق المشترك التالي بين الحدين الثالث والثاني، سنحسب ناتج سبعة ناقص أربعة، وهو ما يساوي ثلاثة أيضًا. وبالطريقة نفسها، الفرق بين ١٠ وسبعة يساوي ثلاثة أيضًا. وبما أن لدينا فرقًا مشتركًا، فهذا يعني أن لدينا متتابعة حسابية بالفعل. ويمكننا بذلك القول إن إجابة الجزء الأول من هذا السؤال هي نعم. الجزء الثاني من السؤال هو: ما قيمة ﺩ؟ و(ﺩ) هو الفرق المشترك، وتم تذكيرنا بذلك في نص السؤال. ومن السهل أيضًا إيجاد هذه القيمة؛ فهي تساوي ثلاثة. وهذه هي إجابة الجزء الثاني من السؤال.
في الجزء الأخير من هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد الحد العام لهذه المتتابعة علمًا بأن ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. تذكر أن الحد العام غالبًا ما ينظر إليه على أنه الحد النوني. وحقيقة أن ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا تعني أن دليل هذه المتتابعة يبدأ حتمًا بـ ﻥ يساوي صفرًا. إذن، في الواقع، هذه المتتابعة تبدأ بحد صفري. وسيكون لدينا بعد ذلك الحد الأول ثم الحد الثاني والحد الثالث وهكذا. يجب أن نتذكر أن هناك صيغة لمساعدتنا في إيجاد الحد النوني للمتتابعة الحسابية. الحد النوني ﺡ ﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ، حيث ﺃ هو الحد الأول وﺩ هو أساس المتتابعة الحسابية أو الفرق المشترك.
عندما ننظر إلى المتتابعة واحد، أربعة، سبعة، ١٠، وهكذا مع توالي الأعداد، نجد أن الحد الأول هو نفسه ﺡ واحد. إذن، قيمة ﺃ، التي سنعوض بها هنا، ستكون أربعة. وبما أن قيمة ﺩ، التي أوجدناها سابقًا، هي ثلاثة، سنضيف ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ثلاثة. عندما نوزع العدد ثلاثة على ما بداخل القوس، نحصل على ثلاثة مضروبًا في ﻥ، وهو ما يساوي ثلاثة ﻥ، وثلاثة مضروبًا في سالب واحد، والذي يساوي سالب ثلاثة. وأخيرًا، عندما نبسط ذلك، نحصل على أربعة ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي واحدًا، زائد ثلاثة ﻥ أو ثلاثة ﻥ زائد واحد. وهذه هي إجابة الجزء الثالث من هذا السؤال؛ الحد العام أو الحد النوني لهذه المتتابعة هو ثلاثة ﻥ زائد واحد.
لكن من المهم ملاحظة أن ذلك يرجع إلى أن الدليل ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. فإذا بدأ الدليل بواحد، أي كان ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا، لوجدنا أن الحد النوني يساوي ثلاثة ﻥ ناقص اثنين. لذا، من المهم حقًّا قراءة السؤال لمعرفة ما إذا كانت هناك إشارة إلى أن الدليل، في الواقع، يبدأ بصفر. ففي هذه الحالة، يمكن أن يكون الحد العام على الصورة ثلاثة ﻥ زائد واحد.
سنتناول الآن سؤالًا آخر.
في المتتابعة الهندسية، تكون النسبة بين أي حدين متتاليين نسبة ثابتة ﺭ. انظر إلى المتتابعة نصف، ربع، ثمن، واحد على ١٦، وهكذا مع توالي الأعداد. هل هي متتابعة هندسية؟ انظر إلى المتتابعة نصف، ربع، ثمن، واحد على ١٦، وهكذا مع توالي الأعداد. ما قيمة ﺭ؟ انظر إلى المتتابعة نصف، ربع، ثمن، واحد على ١٦، وهكذا. ما الحد العام لهذه المتتابعة؟
يذكرنا هذا السؤال بما تعنيه المتتابعة الهندسية. إنها متتابعة لها نسبة ثابتة أو نسبة مشتركة بين أي حدين متتاليين. في كل جزء من الأجزاء الثلاثة لهذا السؤال، نتناول المتتابعة نفسها. وفي الجزء الأول من هذا السؤال، المطلوب هو تحديد ما إذا كانت هذه المتتابعة المعطاة هندسية أم لا. لذا دعونا نكتب هذه المتتابعة. إذا كانت هندسية، فستكون هناك نسبة مشتركة ﺭ بين أي حدين متتابعين أو متتاليين. لذا دعونا نرى ما إذا كان بإمكاننا إيجاد نسبة بين أول حدين، وهما نصف وربع. لإيجاد النسبة، سنأخذ الحد الثاني، وهو ربع، ونقسمه على نصف.
عند قسمة الكسور، فإننا نكتب الكسر الأول ونضربه في مقلوب الكسر الثاني. يمكننا إخراج العامل المشترك اثنين من البسط والمقام. وبعد ذلك نضرب البسطين معًا لنحصل على واحد، ونضرب المقامين معًا لنحصل على اثنين. وهذا يعني أن النسبة بين الحد الأول والحد الثاني هي نصف. بعد ذلك، نوجد النسبة بين الحدين الثاني والثالث، أي بين ربع وثمن، لذا سنوجد خارج قسمة ثمن على ربع. بالضرب في مقلوب الكسر ربع، نوجد حاصل ضرب ثمن في أربعة على واحد. وبذلك، نحصل مرة أخرى على النسبة نصف.
يبدو أن لدينا نسبة مشتركة، لكن من المفيد دائمًا التحقق من جميع الحدود للتأكد من وجود نسبة مشتركة بينها جميعًا. وعندما نحسب واحدًا على ١٦ مقسومًا على ثمن، نحصل أيضًا على النسبة نصف. وبذلك، نكون قد توصلنا إلى أن هذه المتتابعة لها نسبة ثابتة أو مشتركة، ومن ثم فهي متتابعة هندسية. إذن، يمكننا القول إن إجابة الجزء الأول من هذا السؤال هي نعم. في الجزء الثاني من السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة ﺭ للمتتابعة نفسها. تذكر أن ﺭ هو النسبة الثابتة، وإيجاد هذه النسبة أمر سهل وبسيط. لقد حسبناها للتو وهي تساوي نصفًا، وهذه هي إجابة الجزء الثاني من هذا السؤال.
في الجزء الأخير من هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد الحد العام لهذه المتتابعة. ونحن نتذكر أن الحد العام هو طريقة أخرى للسؤال عن الحد النوني. إذا بدأنا بالحد الأول مكتوبًا على الصورة ﺡ واحد يساوي نصفًا، فسيكون الحد الثاني هو ﺡ اثنين وهو ما يساوي ربعًا. ويمكن كتابة الحدين الثالث والرابع على الصورة ﺡ ثلاثة وﺡ أربعة. إذن، عند إيجاد الحد العام، فإننا نبحث عن القاعدة التي تتيح لنا إيجاد الحد النوني أو ﺡ ﻥ.
يمكننا أن نتذكر أن هناك صيغة عامة تمكننا من إيجاد الحد النوني لأي متتابعة هندسية. ﺡ ﻥ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد، حيث ﺃ هو الحد الأول وﺭ هو أساس المتتابعة الهندسية أو النسبة المشتركة. القيمتان اللتان علينا التعويض بهما في الصيغة هما ﺃ يساوي نصفًا، حيث هذا هو الحد الأول، وﺭ وقيمته هي نصف كما حسبناها. ومن ثم، يمكن كتابة الحد النوني لهذه المتتابعة على الصورة نصف مضروبًا في نصف أس ﻥ ناقص واحد. عندما نوجد الإجابة، من المهم أن نشير إلى قيم ﻥ. عندما نوجد الحد النوني أو الحد العام، فإننا نبدأ بـ ﻥ يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن إجابة الجزء الثالث من السؤال هي أن الحد العام للمتتابعة هو نصف مضروبًا في نصف أس ﻥ ناقص واحد لقيم ﻥ الأكبر من أو تساوي واحدًا.
يمكننا بالطبع تبسيط هذا الحد العام باستخدام إحدى قواعد الأسس. إذا افترضنا أن القيمة الأولى، وهي نصف، تكافئ نصفًا أس واحد، فإن جمع الأسين واحد وﻥ ناقص واحد سيعطينا ببساطة الأس ﻥ. وإذا عوضنا بعد ذلك بقيم ﻥ التي تساوي واحدًا واثنين وثلاثة وأربعة في أي من هاتين الصيغتين، فسنحصل على أول أربعة حدود في المتتابعة التي لدينا، ومن ثم نتحقق من أننا لدينا الناتج الصحيح للحد العام.
بعد ذلك، دعونا نلقي نظرة على سؤال علينا فيه إيجاد أول ثلاثة حدود في المتتابعة بمعلومية الحد العام.
أوجد أول ثلاثة حدود في المتتابعة التي حدها العام ﺡﻥ يساوي ﻥ على ﻥ زائد واحد.
في هذا السؤال، لدينا حد عام أو حد نوني للمتتابعة على الصورة ﻥ على ﻥ زائد واحد. وقيمة ﻥ هذه هي دليل المتتابعة. لذا، عندما نريد إيجاد الحد الأول، سنوجد قيمة ﺡ واحد، ما يعني أننا نعوض بالقيمة واحد عن كل قيمة من قيم ﻥ. ومن ثم، سيكون لدينا ﺡ واحد يساوي واحدًا على واحد زائد واحد. وتبسيط هذا يعطينا القيمة نصفًا.
لإيجاد الحد الثاني أو قيمة ﺡ اثنين، علينا التعويض بالقيمة ﻥ يساوي اثنين. وهذا يعطينا اثنين على اثنين زائد واحد، وبتبسيط ذلك نحصل على القيمة ثلثين للحد الثاني. وأخيرًا، في الحد الثالث، سنوجد قيمة ﺡ ثلاثة. لذا، سنعوض بـ ﻥ يساوي ثلاثة في الحد العام. ليصبح لدينا ثلاثة على ثلاثة زائد واحد، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ثلاثة أرباع. وبهذا، نجد أن أول ثلاثة حدود في هذه المتتابعة هي حتمًا نصف وثلثان وثلاثة أرباع.
سنلقي نظرة الآن على سؤال أخير.
انظر إلى المتتابعة واحد، واحد، ثلاثة أرباع، أربعة أثمان، وهكذا مع توالي الأعداد. أي من الآتي هو الحد العام لهذه المتتابعة؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا؟ (أ) ﻥ على اثنين أس ﻥ. (ب) ﻥ ناقص واحد على اثنين أس ﻥ. (ج) ﻥ زائد واحد على اثنين أس ﻥ. (د) اثنان ﻥ على اثنين أس ﻥ. (هـ) ﻥ زائد اثنين على اثنين أس ﻥ.
في هذا السؤال، لدينا متتابعة، ومطلوب منا إيجاد الحد العام لها. عندما نوجد حدًّا عامًّا، فإننا في الواقع نوجد قاعدة تربط رقم الحد بالقيمة الفعلية له. وإذا عرفنا أن الدليل ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا، فإن هذا يعني أن المتتابعة لدينا تبدأ بالحد الصفري. ولدينا بعد ذلك الحد الأول ﺡ واحد، والحد الثاني ﺡ اثنان، وهكذا. والحد النوني سيكون ﺃﻥ. إذن، بمعلومية أي قيمة من قيم ﻥ، ماذا ستكون قيمة الحد الذي يقابلها في المتتابعة؟ إذا نظرنا إلى هذه المتتابعة، فسنجد أنه ليس هناك فرق مشترك بين أي حدين متتاليين، ومن ثم فهذه ليست متتابعة حسابية. وأيضًا لا توجد نسبة مشتركة بين أي حدين متتاليين، لذا فإن هذه المتتابعة ليست متتابعة هندسية أيضًا.
لإيجاد الحد العام للمتتابعة، علينا الحل ببعض المنطق. هيا نلقي نظرة عن قرب على هذا الحد، ﺡ واحد، الذي قيمته واحد. ماذا سيحدث لو كانت قيمة ﺡ واحد تساوي في الواقع كسرًا يمكن تبسيطه إلى واحد بدلًا من أن تساوي واحدًا؟ لكي يبسط كسر إلى واحد، لا بد أن يكون لكل من البسط والمقام القيمة نفسها. هيا نفترض أن هذا الكسر كان في الواقع اثنين على عدد ما، ولتبسيطه إلى واحد، لا بد أن يكون اثنين على اثنين. وإذا افترضنا أن الحد الصفري ﺡ صفر بدلًا من أن يساوي واحدًا سيساوي كسرًا وهو واحد على واحد، فسنجد أن قيم البسط لها نمط واضح. فهي تنتقل من واحد إلى اثنين إلى ثلاثة إلى أربعة. والمقامات أيضًا لها نمط مختلف. فهي تنتقل من واحد إلى اثنين إلى أربعة إلى ثمانية.
دعونا نفكر في الحد العام لقيم البسط والمقام كل على حدة لكل قيمة من قيم ﻥ بدءًا من ﻥ يساوي صفرًا. تذكر أننا اخترنا صفرًا؛ لأنه معطى في السؤال. حسنًا، ما العلاقة بين أي دليل ﻥ والبسط؟ كل قيمة من قيم البسط تزيد عن دليلها بمقدار واحد. ومن ثم، فإن الحد النوني في البسط هو ﻥ زائد واحد. بالنسبة إلى المقامات، يبدو أن لها نمطًا يتضاعف. في الواقع، كل مقام يمثل قوة للعدد اثنين. ومن ثم، فالحد النوني هو اثنان أس ﻥ. بالنسبة للحد الصفري على سبيل المثال، فإن اثنين أس صفر يساوي واحدًا. وبالنسبة إلى الحد الأول، اثنان أس واحد يعطينا اثنين، وهكذا. يمكننا الآن وضع الحد العام للبسط والمقام. إذن، الحد العام لهذه المتتابعة هو ﻥ زائد واحد على اثنين أس ﻥ، وهي القيمة المعطاة لنا في الخيار (ج).
سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الفيديو. أولًا، لقد رأينا أن المتتابعات تتكون من حدود. ثم رأينا أنه يمكن كتابة الحدود على الصورة ﺡ ﻥ؛ حيث ﻥ هو الدليل. ورأينا أيضًا كيف أنه أحيانًا يبدأ الدليل ﻥ بصفر وأحيانًا يبدأ بواحد. كما لخصنا ما نعرفه عن المتتابعات الحسابية والهندسية وحاولنا إيجاد الحد النوني لكل منها.
