نسخة الفيديو النصية
بالون كروي يتسرب منه غاز الهليوم بمعدل ٤٨ سنتيمترًا مكعبًا لكل ثانية. ما معدل التغير في مساحة السطح الخارجي للبالون، عندما يكون نصف قطره ٤١ سنتيمترًا؟
في البداية، يمكننا ملاحظة أن هذا السؤال يدور حول المعدلات المرتبطة. هذا يعني أنه سؤال تتغير فيها كميتان مرتبطتان بمرور الزمن. حسنًا، لدينا هنا بالون كروي الشكل. ولعلنا نتذكر أن إحدى الخواص المميزة للكرة هي نصف قطرها؛ أي المسافة من مركز الكرة إلى سطحها. ويمكننا تحديد نصف القطر على شكل البالون هنا. دعونا الآن نتناول السؤال بمزيد من التفصيل. أول معلومة لدينا هي معدل تسرب الهليوم بوحدة السنتيمتر المكعب لكل ثانية. هذا يعني أننا نعلم حجم الهليوم المتسرب لكل وحدة زمنية.
مطلوب منا بعد ذلك إيجاد معدل تغير مساحة سطح الكرة عند قيمة معينة لنصف قطرها. وهذا يعني تحديدًا أن علينا إيجاد معدل تغير المساحة لكل وحدة زمنية. للإجابة عن هذا السؤال، سنبدأ باستخدام صيغتي حجم الكرة ومساحة سطحها بدلالة نصف قطرها. وهاتان الصيغتان معروفتان. حجم الكرة، الذي سنشير إليه بـ ﺡ، يساوي أربعة على ثلاثة في 𝜋نق تكعيب. ومساحة سطح الكرة، التي سنشير إليها بـ ﻡ، تساوي أربعة في 𝜋نق تربيع.
نحن نريد إيجاد معدل تغير مساحة السطح بالنسبة إلى الزمن. ويمكننا التعبير عن ذلك في صورة ﺩﻡ على ﺩﻥ. لسوء الحظ، صيغة الحجم لدينا بدلالة نصف قطر الكرة وليس الزمن. وهذا يعني أنه لا يمكننا اشتقاق الصيغة مباشرة للتوصل إلى الناتج المطلوب. لذا، سنطبق قاعدة السلسلة بدلًا من ذلك لنكتب صيغة مكافئة كخطوة لإيجاد الحل. هذه الصيغة هي ﺩﻡ على ﺩﻥ يساوي ﺩﻡ على ﺩنق مضروبًا في ﺩنق على ﺩﻥ. نلاحظ هنا أن أول عامل هو مشتقة مساحة السطح بالنسبة إلى نصف القطر. وبما أن لدينا صيغة لمساحة السطح بدلالة نصف القطر، فيمكننا استخدام الاشتقاق لإيجاد هذا العامل.
باشتقاق أربعة 𝜋نق تربيع بالنسبة إلى نق، نحصل على ثمانية 𝜋نق. ويمكننا التعويض بهذا المقدار في المعادلة السابقة لـ ﺩﻡ على ﺩﻥ. بعد التعويض بهذا المقدار في المعادلة، نجد أنه ما زال لدينا هذا العامل ﺩنق على ﺩﻥ. هذا العامل يمثل معدل تغير نصف القطر بالنسبة إلى الزمن، لكن ليس لدينا مقدار يعبر عن ذلك حاليًّا. لدينا الآن صيغتان بدلالة نصف القطر؛ إحداهما للحجم والأخرى لمساحة السطح. ولكي ننتقل إلى الخطوة التالية، يتعين علينا استخدامهما للتعبير عن ﺩنق على ﺩﻥ بطريقة مفيدة أكثر. ولفعل ذلك، دعونا نسترجع أول معلومة معطاة في السؤال.
يتسرب الهليوم من البالون بمعدل ٤٨ سنتيمترًا مكعبًا لكل ثانية. هذا يعني أن ما لدينا هنا هو معدل تغير الحجم بالنسبة إلى الزمن؛ أي ﺩﺡ على ﺩﻥ. وفقًا للسؤال، البالون يسرب الهليوم. ومن ثم يمكننا قول إن معدل التغير يساوي سالب ٤٨ سنتيمترًا مكعبًا لكل ثانية. وتجدر الإشارة هنا إلى أنه بمرور الزمن، يتناقص حجم البالون باستمرار. بعبارة أخرى، ينكمش البالون. وبما أن البالون يحتفظ بشكله الكروي، فلا بد أن مساحة سطح البالون المنكمش ستتناقص أيضًا بمرور الزمن. وفقًا لذلك، يمكننا قول إن إجابة السؤال النهائية لا بد أن تكون عددًا سالبًا يمثل هذا التناقص في مساحة السطح بمرور الزمن عندما يكون نصف قطر البالون يساوي ٤١ سنتيمترًا.
هناك ملاحظة جانبية سريعة علينا الانتباه إليها، وهي أن وحدة قياس الطول في هذه المسألة هي السنتيمتر، ووحدة قياس الزمن هي الثانية. هذا يعني أنه يمكننا تجاهل الوحدات أثناء إجراء العمليات الحسابية، ثم كتابتها مرة أخرى في نهاية السؤال. لدينا الآن ﺩﺡ على ﺩﻥ يساوي سالب ٤٨، لكن هذا لن يساعدنا في التعبير عن ﺩنق على ﺩﻥ. لذا يمكننا بدلًا من ذلك العودة إلى الحيلة السابقة التي استخدمناها، وهي تطبيق قاعدة السلسلة. يمكننا باستخدام هذه القاعدة تكوين صيغة مكافئة، وهي ﺩﺡ على ﺩﻥ يساوي ﺩﺡ على ﺩنق مضروبًا في ﺩنق على ﺩﻥ. وبما أن هاتين الصيغتين متكافئتان، يمكننا قول إن هذا المقدار يساوي سالب ٤٨.
إذا نظرنا مجددًا إلى الصيغتين الأصليتين لدينا، فسنجد أنه توجد معادلة لـ ﺡ بدلالة نق. وهذا يعني أنه يمكننا متابعة الحل بإيجاد ﺩﺡ على ﺩنق. وباستخدام الاشتقاق والتبسيط، نجد أن ﺩﺡ على ﺩنق يساوي أربعة 𝜋 نق تربيع. والآن، سنعوض بهذا المقدار في المعادلة. وبقسمة كلا طرفي المعادلة على أربعة 𝜋 نق تربيع، يصبح ﺩ نق على ﺩﻥ في الطرف الأيمن بمفرده. وبهذا يصبح لدينا معادلة تعبر عن ﺩنق على ﺩﻥ بدلالة نصف قطر الكرة.
علينا الانتباه جيدًا هنا؛ لأن المعادلة لدينا الآن تتضمن عملية قسمة على المتغير نق. هذا يعني أنه في هذه الحالة ستتضمن المعادلة القسمة على صفر عندما يكون نق يساوي صفرًا. وعندئذ، سيكون المقدار ﺩنق على ﺩﻥ غير معرف عند هذه النقطة. لحسن الحظ نحن نعلم أن البالون ينكمش، وأننا سنوجد قيمة معدل تغير مساحة السطح عندما يكون نصف القطر ٤١ سنتيمترًا. هذا يعني أن النقطة غير المعرفة عندما يكون نصف القطر يساوي صفرًا لن يكون لها أي تأثير. يمكننا الآن تبسيط الطرف الأيسر من المعادلة، ونجد بذلك أن ﺩنق على ﺩﻥ يساوي سالب ١٢ على 𝜋نق تربيع.
ممتاز! سنعوض الآن بهذا المقدار في معادلة ﺩﻡ على ﺩﻥ. ويصبح لدينا بذلك في الطرف الأيسر من هذه المعادلة ثمانية 𝜋نق مضروبًا في سالب ١٢ على 𝜋نق تربيع. يمكننا حذف العامل 𝜋 في البسط والمقام، وحذف أحد عاملي نق في المقام مع العامل نق في البسط. وبعد ذلك نضرب ثمانية في سالب ١٢. وهذا يعطينا ﺩﻡ على ﺩﻥ يساوي سالب ٩٦ على نق. لدينا الآن مقدار عام يسمح لنا بإيجاد معدل تغير مساحة سطح البالون بالنسبة إلى الزمن لأي قيمة معطاة لنصف القطر نق. وتذكر أن هذا المقدار لن يكون صحيحًا إذا كان نق يساوي صفرًا كما ذكرنا سابقًا.
في الخطوة الأخيرة، دعونا نسترجع أن المطلوب في السؤال هو إيجاد ﺩﻡ على ﺩﻥ عندما يكون نصف القطر يساوي ٤١ سنتيمترًا. هذا يعني أنه يمكننا التعويض بالقيمة ٤١ مباشرة في هذه المعادلة. وبما أنه لا توجد أي عمليات تبسيط للكسر سالب ٩٦ على ٤١، سنترك الإجابة كما هي. لكن علينا ألا ننسى إضافة وحدة مساحة السطح على الزمن، وهي السنتيمتر المربع لكل ثانية.
رائع! لقد وجدنا أن معدل تغير مساحة السطح الخارجي للبالون يساوي سالب ٩٦ على ٤١ سنتيمترًا مربعًا لكل ثانية عندما يكون نصف قطر البالون ٤١ سنتيمترًا. هذه هي إجابة السؤال. لكن هناك ملاحظة أخيرة علينا الانتباه لها، وهي أن الناتج السالب الذي توصلنا إليه يتوافق مع ملاحظتنا السابقة بأن معدل تغير مساحة السطح لا بد أن يكون سالبًا نتيجة لانكماش البالون.