فيديو السؤال: إيجاد حجم المجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بقطع مكافئ ومستقيم حول المحور ﺹ الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد حجم المجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة‎ بالمنحنى ﺹ تربيع يساوي ﺱ، والمستقيم ﺱ يساوي ثلاثة ﺹ حول المحور ﺹ.

إذن، للإجابة عن هذا السؤال، أول ما فعلناه هو أننا رسمنا شكلًا. إذ رسمنا تمثيلين بيانيين. رسمنا التمثيل البياني لـ ﺱ يساوي ثلاثة ﺹ. لكننا فعلنا ذلك فقط في الربع الذي فيه قيم ﺱ وﺹ موجبة. فهذا هو الربع العلوي الأيمن. ورسمنا أيضًا التمثيل البياني لـ ﺱ يساوي ﺹ تربيع. ما نبحث عنه إذن هو المنطقة المحددة بالمنحنى ﺹ تربيع يساوي ﺱ والمستقيم ﺱ يساوي ثلاثة ﺹ. ولهذا، لونت ذلك باللون الأزرق. وما نريد أن نفعله بعد ذلك هو تدوير ذلك حول المحور ﺹ. وهذا هو سبب عدم تضمين الأجزاء الأخرى من المنحنى ﺱ يساوي ﺹ تربيع؛ لأنها لن تفيد فيما نبحث عنه. لكنني أوضحت تقريبًا الموضع الذي سنستخدم فيه الخط المتقطع الوردي هناك.

حسنًا، هيا ندور هذا ونفكر في الشكل الذي ننظر إليه. حسنًا، إذا أدرنا الشكل، فسنحصل على شكل يشبه الفلكة، مع وجود ثقب في المنتصف. ولهذا السبب سنستخدم ما يسمى بطريقة الفلكة. حسنًا، لنفكر الآن فيما إذا أخذنا مقطعًا صغيرًا من المنطقة، وأدرناه حول المحور ﺹ. سنكون بذلك ما يشبه الحلقة أو الفلكة، والتي أوضحناها هنا في رسم بسيط نوعًا ما.

لذا، إذا أردنا حساب مساحة الأجزاء المظللة من هذه الحلقة، فهي عبارة عن الجزء الموجود ما عدا الجزء الواقع في المنتصف. لذا، ما نريد فعله بعد ذلك هو النظر إلى الدائرة الأكبر والدائرة الأصغر. سيكون لدينا نق واحد لنصف قطر الدائرة الأكبر، ونق اثنين لنصف قطر الدائرة الأصغر. لذا، في الواقع، المساحة ستساوي ‏𝜋‏نق واحد تربيع ناقص ‏𝜋‏نق اثنين تربيع، وهو ما يمكننا من أخذ 𝜋 عاملًا مشتركًا. إذن، يمكن كتابتها على الصورة 𝜋 ثم نق واحد تربيع ناقص نق اثنين تربيع. حسنًا إذن. وهذا سيعطينا المساحة، وهو أمر رائع. لكننا نبحث في هذا السؤال عن الحجم. حسنًا، إذا فكرنا في الحجم؛ فهذا يعني أن المقطع الصغير الذي لدينا لا بد أن يكون له ارتفاع بالغ الصغر يجعل له عرضًا. وسيعرف هذا الارتفاع الصغير جدًّا أو العرض بـ ﺩﺹ، وهو تغير طفيف جدًّا في ﺹ. إذن، يمكننا القول إن الحجم سيساوي 𝜋 مضروبًا في نق واحد تربيع ناقص نق اثنين تربيع ﺩﺹ.

حسنًا، هذا رائع. وبذلك، أصبح لدينا تعبير عن الحجم. لكن، مرة أخرى، هذا مفيد جدًّا، لكن هذا مجرد حجم مقطع صغير. فكيف يمكننا أن نوجد حجم المنطقة بأكملها الذي نبحث عنه؟ حسنًا، إن طريقة إيجاد حجم المنطقة الكلية هي استخدام التكامل. وذلك لأننا عندما نوجد التكامل بين حدين، فإننا نقول بذلك إن لدينا عددًا لا نهائي من هذه الشرائح بالغة الصغر. إذن، لدينا عدد لا نهائي لأنه إذا لم يكن عددًا لا نهائي، وكان يمثل فقط عددًا كبيرًا جدًّا من هذه الشرائح الصغيرة. فحينئذ سيكون ما نفعله هو أننا نقدر فقط حجم المنطقة المحددة. لكننا في الواقع نريد القيمة الفعلية. ولهذا نستخدم التكامل بين حدين. يمكننا إذن القول إنه إذا أردنا إيجاد الحجم، فإنه سيساوي التكامل بين الحدين ﺏ وﺃ لـ 𝜋 مضروبًا في نق واحد تربيع ناقص نق اثنين تربيع ﺩﺹ. وهذا هو نق واحد تربيع ناقص نق اثنين تربيع ﺩﺹ. حسنًا، دعونا نستخدم ذلك الآن لحل المسألة.

إذن، أول ما علينا فعله هو إيجاد الحدين. حسنًا، سيكون الحدان قيم ﺹ لأننا نتعامل مع ﺹ. يمكننا ببساطة نوعًا ما معرفة الحد الأول. إنه سيكون صفرًا. إذن، سيصبح الحد السفلي صفرًا. وذلك لأنه يمكننا أن نرى أن المنحنى والمستقيم يتقاطعان عند الصفر. حسنًا، لإيجاد الحد العلوي، ما علينا فعله هو تحديد موضع تقاطع المستقيم والمنحنى. حسنًا، فحيثما يتقاطعان، سيتساوى التمثيلان البيانيان أو المعادلتان. إذن، يمكننا القول إن ثلاثة ﺹ يساوي ﺹ تربيع. إذا أعدنا ترتيب ذلك، فسنحصل إذن على ﺹ تربيع ناقص ثلاثة ﺹ يساوي صفرًا. يمكننا التحليل بعد ذلك وأخذ ﺹ كعامل مشترك. عندما نفعل ذلك، نحصل على ﺹ مضروبًا في ﺹ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا.

حسنًا، الآن إما ﺹ أو ﺹ ناقص ثلاثة لا بد وأن يساوي صفرًا. نحن نعلم بالفعل أنه إذا كان ﺹ يساوي صفرًا، فإن ذلك سيكون قيمة أحد الحدين، والتي أوضحناها بالفعل. إذن، سيكون الحد العلوي هو قيمة ﺹ حيث ﺹ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن هذه القيمة ستكون ثلاثة. إذن، يمكننا القول إن الحد العلوي سيكون ثلاثة. هيا نتحقق من منطقية ذلك. حسنًا، ثلاثة مضروبًا في ثلاثة يساوي تسعة. ثلاثة تربيع يساوي تسعة. إذن نعم، هذا منطقي. والآن، أصبح لدينا الحدان العلوي والسفلي. ما سنفعله أيضًا هو أننا سنأخذ 𝜋 خارج التكامل؛ لأنه مجرد ثابت. ولن يؤثر على التكامل.

والآن، علينا أن نقرر قيمة كل من نق واحد ونق اثنين. ولمساعدتنا في فعل ذلك، فقد أفرغت بعض المساحة في التمثيل البياني لمساعدتنا في ذلك. والآن، رسمت ما يمثل قيمة نق واحد . وقيمة نق واحد ستساوي ثلاثة ﺹ. ونق واحد سيساوي ثلاثة ﺹ؛ لأنه نصف قطر الدائرة الكبيرة. لأننا إذا تحركنا من المحور ﺹ، فإن نصف القطر الأكبر سيصل إلى المستقيم ﺱ يساوي ثلاثة ﺹ. بينما نق اثنين سيساوي ﺹ تربيع، لأننا إذا تحركنا من المحور ﺹ، فإن التمثيل البياني الذي سيقطعه أولًا هو ﺱ يساوي ﺹ تربيع. لذلك، إذا عوضنا بذلك في التكامل المحدد ووضعنا 𝜋 خارج التكامل كما تحدثنا، يمكننا القول حينئذ إننا إذا أردنا إيجاد حجم المجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ﺹ تربيع يساوي ﺱ والمستقيم ﺱ يساوي ثلاثة ﺹ حول المحور ﺹ، فعلينا أن نفعل ما يلي. وهو أن نوجد قيمة 𝜋 مضروبًا في التكامل المحدد بين الحدين صفر وثلاثة لثلاثة ﺹ الكل تربيع ناقص ﺹ تربيع تربيع.

إذن، لإيجاد قيمة تكامل محدد بين الحدين ﺏ وﺃ، فعلينا أن نوجد تكامل الدالة. ونعوض بعد ذلك عن ﺱ بقيمة ﺏ ثم نطرح منها ناتج التكامل، بعد أن نعوض فيه عن ﺱ بقيمة ﺃ. إذن، أول ما فعلناه هو فك الأقواس لمساعدتنا. ما سنفعله بعد ذلك هو إيجاد التكامل المحدد بين الحدين ثلاثة وصفر لتسعة ﺹ تربيع ناقص ﺹ أس أربعة. وعند إيجاد التكامل، ما سيتبقى لدينا هو ثلاثة ﺹ تكعيب ناقص ﺹ أس خمسة على خمسة. ومرة أخرى، سنوجد قيمة ذلك بين الحدين ثلاثة وصفر. ولتذكيرنا بالطريقة التي أوجدنا بها التكامل، ما نفعله هو أننا نضيف واحدًا إلى الأس. لذا … لذا فقد كتبنا اثنين. وأضفنا إليه واحدًا، وهو ما يعطينا ثلاثة. ثم نقسم على الأس الجديد. إذن، تسعة مقسومًا على ثلاثة يعطينا ثلاثة. ولذا، نحصل على ثلاثة ﺹ تكعيب.

حسنًا. لنحسب ذلك الآن. إذن، عند حساب ذلك، نحصل على 𝜋 مضروبًا في الآتي. وهو ثلاثة مضروبًا في ثلاثة تكعيب ناقص ثلاثة أس خمسة على خمسة، ثم ناقص صفر. وذلك لأننا إذا عوضنا بصفر، فإن هذين الحدين سيساويان صفرًا فقط. وعليه، فإن هذا سيساوي ٨١ ناقص ٢٤٣ على خمسة. لذلك، فإن هذا يساوي 𝜋 مضروبًا في هذا المقدار. والآن، ما فعلناه هو أننا حولنا ٨١ إلى كسر مقامه خمسه. وبالتالي، نحصل على ٤٠٥ على خمسة ناقص ٢٤٣ على خمسة.

وبهذا يمكننا القول إن حجم المجسم الناشئ عن دوران المنطقة المحدودة بالمنحنى ﺹ تربيع يساوي ﺱ والمستقيم ﺱ يساوي ثلاثة ﺹ حول المحور ﺹ يساوي 𝜋١٦٢ على خمسة. وهذا هو ناتج 𝜋 مضروبًا في التكامل المحدد بين الحدين ثلاثة وصفر لثلاثة ﺹ الكل تربيع ناقص ﺹ تربيع الكل تربيع.