فيديو الدرس: مساحة شبه المنحرف الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نعرف كيف يمكننا إيجاد مساحة شبه المنحرف باستخدام صيغتين بديلتين. سنتناول أيضًا مثالًا لكيفية تطبيق هاتين الصيغتين في سياق الحياة الواقعية. لكن دعونا أولًا نفكر فيما نعنيه تحديدًا بشبه المنحرف، والأنواع المختلفة لشبه المنحرف.

يعرف شبه المنحرف بأنه شكل رباعي له ضلعان متوازيان. لكن جدير بالذكر أنه في بعض أنحاء العالم تستخدم مصطلحات مختلفة لهذا الشكل، لكننا نستخدم هنا مصطلح «شبه المنحرف» فقط. عندما نفكر في شبه المنحرف فإننا نفكر عادة في شبه منحرف يبدو مثل هذا الشكل الأول، أو في شبه منحرف مقلوب مثل الشكل الثاني. في الواقع كلا هذين الشكلين يسمى «شبه منحرف متساوي الساقين»؛ فكل منهما شبه منحرف فيه الضلعان غير المتوازيين متساويان في الطول. لكن وفقًا للتعريف ليس من الضروري أن يكون هذان الضلعان غير المتوازيين متطابقين، بل لا بد أن يكون لشبه المنحرف ضلعان متوازيان. وإذا كانت لشبه المنحرف زاوية قائمة، يمكننا أن نسميه «شبه منحرف قائم الزاوية».

قبل أن نتناول صيغة إيجاد مساحة شبه المنحرف، دعونا نعرف كيف يمكننا تحديد الأضلاع المختلفة في شبه المنحرف. عندما يكون لدينا شبه منحرف يشار عادة إلى الضلعين المتوازيين بالقاعدتين، ويرمز إليهما بالحرفين ﻕ واحد، ﻕ اثنين. يسمى الضلعان غير المتوازيين كذلك بـ «ساقي شبه المنحرف». على سبيل المثال إذا كنا نعرف شبه منحرف متساوي الساقين، يمكننا قول إن الساقين متطابقتان. وأخيرًا المسافة العمودية بين القاعدتين هي ارتفاع شبه المنحرف، وعادة ما نشير إليها بالحرف ﻉ.

سوف نتناول الآن كيفية إيجاد مساحة شبه المنحرف باستخدام الحرفين ﻕ واحد، ﻕ اثنين للإشارة إلى قاعدتي شبه المنحرف، وباستخدام الحرف ﻉ للإشارة إلى الارتفاع العمودي. قد نفكر في تقسيم شبه المنحرف إلى مثلثين أملًا في تذكر كيفية إيجاد مساحة المثلث. تحسب مساحة المثلث بضرب نصف في طول القاعدة في الارتفاع العمودي. هذا يعني أننا إذا نظرنا إلى هذا المثلث العلوي، فسنجد أن طول قاعدة هذا المثلث هو ﻕ واحد. ومن ثم فإننا نوجد حاصل ضرب نصف في ﻕ واحد في ﻉ؛ أي الارتفاع العمودي. ويمكن تبسيط ذلك إلى ﻕ واحد على اثنين. بالنسبة إلى المثلث السفلي، تحسب مساحته بضرب نصف في ﻕ اثنين في ﻉ، وهو ما يساوي ﻕ اثنين على اثنين.

نعلم أن مساحة شبه المنحرف تساوي مساحة المثلث العلوي زائد مساحة المثلث السفلي. هذا يعني أنها تساوي ﻕ واحد على اثنين زائد ﻕ اثنين على اثنين. بعد ذلك يمكننا جمع هذين الكسرين وأخذ العامل المشترك بينهما؛ وهو ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين في ﻉ على اثنين. لاحظ أن ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين هو مجموع طولي القاعدتين المتوازيتين لشبه المنحرف. إذن يمكننا التفكير في مساحة شبه المنحرف على أنها تساوي نصف مجموع طولي القاعدتين المتوازيتين مضروبًا في الارتفاع. وعندما يتعلق الأمر بإيجاد مساحة شبه المنحرف فلا داعي للقلق؛ حيث إنه لا يجب علينا دائمًا تقسيمه إلى مثلثين لأننا استنتجنا بالفعل صيغة عامة.

منهجيًّا يمكننا قول إنه بالنسبة إلى شبه المنحرف الذي ارتفاعه العمودي ﻉ وقاعدتاه ﻕ واحد، ‏ﻕ اثنين؛ فإن مساحة شبه المنحرف تساوي نصفًا في ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين في ﻉ. لاحظ أن هذا الطرف الأيسر يكافئ حساب ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين في ﻉ مقسومًا على اثنين. ما نقصده بالفعل هو أن المساحة تساوي نصف مجموع طولي القاعدتين المتوازيتين مضروبًا في الارتفاع. والآن سنتعرف على كيفية تطبيق هذه الصيغة لإيجاد مساحة شبه منحرف بمعلومية ارتفاعه وطولي قاعدتيه.

طولا الضلعين المتوازيين في شبه منحرف ٨٢، و٧٠. إذا كان الارتفاع ١٠٠، فما مساحة شبه المنحرف؟

قد نختار بدء الإجابة على سؤال مثل هذا برسم شبه منحرف، مع تذكر أن شبه المنحرف ببساطة شكل رباعي له ضلعان متوازيان. علمنا من المعطيات أن طولي الضلعين المتوازيين أو قاعدتي شبه المنحرف هما ٨٢ و٧٠. وعلى الرغم من أن كلًّا من هذين الطولين ليست له وحدة، فإنه يمكن التعبير عنهما بوحدة طول. نعلم من المعطيات أن الارتفاع، أي الارتفاع العمودي، يساوي ١٠٠ وحدة طول. ويمكننا تذكر أن مساحة شبه المنحرف تساوي نصف في ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين في ﻉ؛ حيث ﻕ واحد، ﻕ اثنين طولا القاعدتين، وﻉ الارتفاع العمودي.

بالنسبة إلى شبه المنحرف المعطى، يمكننا التعويض بالقيمتين ٨٢ و٧٠ عن ﻕ واحد، ﻕ اثنين على الترتيب، على الرغم من أنه لا يهم إذا ما بدلنا ترتيب هاتين القيمتين. الارتفاع العمودي ﻉ يساوي ١٠٠. ومن ثم نحسب قيمة نصف في ٨٢ زائد ٧٠ في ١٠٠. يمكننا بعد ذلك تبسيط ٨٢ زائد ٧٠ ؛ وهو ما يعطينا ١٥٢، ونصف ١٥٢ يساوي ٧٦. بضرب ٧٦ في ١٠٠، نحصل على ٧٦٠٠. غير معطى في السؤال أي وحدات، لكن بما أن هذه مساحة، يمكننا التعبير عن هذا العدد بوحدات مربعة أو وحدات مساحة. إذن مساحة شبه المنحرف هذا تساوي ٧٦٠٠ وحدة مربعة.

في المثال التالي سنستمر في استخدام الصيغة نفسها. لكن هذه المرة ستكون لدينا في المعطيات مساحة شبه المنحرف، وعلينا إيجاد طول أحد الضلعين المتوازيين.

شبه منحرف مساحته ١٧٦٠، والمسافة بين ضلعيه المتوازيين ٤٠. إذا كان طول أحد ضلعيه المتوازيين ٣٩، فما طول الضلع الآخر؟

دعونا نبدأ إجابة هذا السؤال برسم شبه المنحرف ثم كتابة المعطيات التي لدينا. أولًا لدينا مساحة شبه المنحرف. إنها تساوي ١٧٦٠، وستكون بوحدة مربعة. بعد ذلك علمنا أن المسافة بين الضلعين المتوازيين هي ٤٠ أو ٤٠ وحدة طول. لاحظ أنه يمكننا بدلًا من ذلك التفكير في هذه المسافة باعتبارها ارتفاع شبه المنحرف أو ارتفاعه العمودي. وأخيرًا علمنا من المعطيات أن طول أحد الضلعين المتوازيين يساوي ٣٩. إذا رسمنا شكلًا وكتبنا هذه القيمة عليه، فلا يهم في هذه المرحلة على أي الضلعين المتوازيين يمكننا كتابة الطول ٣٩.

قد نتذكر أنه يمكننا الربط بين الضلعين المتوازيين ﻕ واحد، ﻕ اثنين لشبه المنحرف وارتفاعه العمودي بالصيغة التي تنص على أن مساحة شبه المنحرف تساوي نصفًا في ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين في ﻉ. عادة ما نستخدم هذه الصيغة لحساب مساحة شبه المنحرف. لكن لدينا هنا بالفعل مساحة شبه المنحرف؛ لذا يمكننا التعويض بها في الصيغة. يمكننا بعد ذلك اعتبار أن قيمة ﻕ واحد تساوي ٣٩، وطول الضلع المجهول هو ﻕ اثنين، وأن الارتفاع يساوي ٤٠. ومن ثم يصبح لدينا: ١٧٦٠ يساوي نصفًا في ٣٩ زائد ﻕ اثنين في ٤٠.

يمكننا البدء في تبسيط الطرف الأيسر بحساب قيمة نصف في ٤٠، وهو ما يساوي ٢٠. بقسمة كلا الطرفين على ٢٠، نجد أن ١٧٦٠ مقسومًا على ٢٠ يساوي ٨٨. إذن يصبح لدينا: ٨٨ يساوي ٣٩ زائد ﻕ اثنين. وبطرح ٣٩ من كلا طرفي المعادلة، يصبح لدينا:٤٩ يساوي ﻕ اثنين. ومن ثم يمكننا الإجابة بأن طول الضلع الموازي الآخر يساوي ٤٩ وحدة طول.

سنتناول الآن طريقة مختلفة لتحديد صيغة لمساحة شبه المنحرف. دعونا نبدأ بتناول مصطلح جديد؛ وهو القاعدة المتوسطة لشبه المنحرف. القاعدة المتوسطة لشبه المنحرف هي القطعة المستقيمة التي يمثل طرفاها نقطتي منتصف ساقي شبه المنحرف. وتكون القاعدة المتوسطة لشبه المنحرف موازية لقاعدتي شبه المنحرف. لذا دعونا نتناول مدى صلة هذه القاعدة بإيجاد مساحة شبه المنحرف. إذا واصلنا استخدام الحرفين ﻕ واحد، ﻕ اثنين للإشارة إلى طولي القاعدتين، فسنجد أن طول القاعدة المتوسطة ﻕ ثلاثة لشبه المنحرف هو الوسط الحسابي لطولي القاعدتين ﻕ واحد، ﻕ اثنين. هذا يعني أنه يمكننا كتابة أن ﻕ ثلاثة يساوي ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين على اثنين.

لعلك تتذكر أن لدينا ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين على اثنين بالفعل في هذا الفيديو. هذا لأن مفهوم جمع طولي الضلعين المتوازيين وقسمتهما على اثنين موضح في صيغة المساحة. يمكننا إذن التعويض عن نصف في ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين بالحرف ﻕ ثلاثة المذكور في صيغة المساحة. يمكن التعبير عن مساحة شبه المنحرف بأنها طول القاعدة المتوسطة مضروبًا في الارتفاع. ومن ثم أصبحت لدينا الآن صيغتان مختلفتان بعض الشيء، لكنهما متكافئتان. تذكر أن الصيغتين متكافئتان؛ لأن نصفًا في ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين يساوي ﻕ ثلاثة؛ وهو طول القاعدة المتوسطة.

يعني هذا ببساطة أنه بناء على معطيات السؤال الموجودة لدينا، سواء أكان لدينا طولا الضلعين المتوازيين أم طول القاعدة المتوسطة، فإنه يمكننا اختيار الصيغة الأنسب لكي نستخدمها. سنعرف الآن كيف يمكننا تطبيق هذه الصيغة الثانية في المثال التالي.

أوجد طول القاعدة المتوسطة لشبه منحرف مساحته ٢٨ سنتيمترًا مربعًا وارتفاعه أربعة سنتيمترات.

دعونا نفكر في شبه المنحرف المعطى في هذه المسألة. نعرف من المعطيات أن مساحة شبه المنحرف ٢٨ سنتيمترًا مربعًا، وأن ارتفاعه أربعة سنتيمترات. وعلينا حساب طول القاعدة المتوسطة لشبه المنحرف هذا. يجب أن نتذكر أن هناك صيغة تربط بين مساحة شبه المنحرف وطول القاعدة المتوسطة. تنص هذه الصيغة على أن مساحة شبه المنحرف تساوي ﻕ ثلاثة في ﻉ؛ حيث ﻕ ثلاثة القاعدة المتوسطة، وﻉ الارتفاع العمودي. ومن ثم يمكننا التعويض بالقيمة ٢٨ عن المساحة، والتعويض بأربعة عن الارتفاع لنحصل على:٢٨ يساوي ﻕ ثلاثة في أربعة. بقسمة كل من طرفي هذه المعادلة على أربعة، يصبح لدينا: ﻕ ثلاثة يساوي سبعة. ومن ثم فإن طول القاعدة المتوسطة لشبه المنحرف هذا يساوي سبعة سنتيمترات.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا نوجد فيه مساحة شبه المنحرف في مسألة من الحياة الواقعية.

يمتلك مزارع حقلين بمساحتين متساويتين: الأول على شكل معين، والآخر على شكل شبه منحرف، كما هو موضح في الشكل. احسب طول القاعدة المتوسطة للحقل الذي على شكل شبه منحرف.

دعونا نبدأ بالنظر إلى الحقل الموجود على اليمين. هذا هو الحقل الذي على شكل معين؛ لأننا نلاحظ أن أطوال أضلاعه الأربعة متساوية كلها. نلاحظ أن لدينا طولي قطري هذا المعين. وهما ٩٠ مترًا و١٠٠ متر. يمكننا تذكر أن مساحة المعين تساوي ﻕ واحدًا في ﻕ اثنين على اثنين؛ حيث ﻕ واحد، وﻕ اثنان طولا قطري المعين. لإيجاد مساحة هذا المعين، نضرب طولي القطرين ٩٠ مترًا و١٠٠ متر معًا، ونقسم الناتج على اثنين. ‏٩٠٠٠ مقسومًا على اثنين يساوي ٤٥٠٠ متر مربع. وبذلك نكون قد أوجدنا مساحة الحقل الذي على شكل معين.

بما أن هذين الحقلين متساويان في المساحة، فهذا يعني أننا أصبحنا نعلم الآن أن مساحة شبه المنحرف تساوي ٤٥٠٠ متر مربع أيضًا. لكن لم يطلب منا حساب هذه المساحة فقط. علينا إيجاد طول القاعدة المتوسطة للحقل الذي على شكل شبه منحرف. القاعدة المتوسطة لشبه المنحرف قطعة مستقيمة يمثل طرفاها نقطتي منتصف ساقي شبه المنحرف. ويجب أن نتذكر أن هناك صيغة تربط القاعدة المتوسطة لشبه المنحرف بمساحته. لإيجاد مساحة شبه المنحرف نضرب طول القاعدة المتوسطة في الارتفاع العمودي. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة المساحة ٤٥٠٠، وارتفاع شبه المنحرف موضح على الشكل، وهو الذي يساوي ٢٥ مترًا.

علينا الانتباه هنا إلى الفرق بين الحرف ﻡ الذي يشير إلى المتر، والحرف ﻕ ثلاثة الآخر الذي يشير إلى القاعدة المتوسطة. ستكون المعادلة هي: ٤٥٠٠ يساوي ﻕ ثلاثة، أي القاعدة المتوسطة، مضروبًا في ٢٥. يمكننا بعد ذلك قسمة كلا الطرفين على ٢٥. دون استخدام الآلة الحاسبة يمكننا حساب ٤٥٠٠ مقسومًا على ٢٥، وإحدى طرق القيام بذلك هي القسمة على ١٠٠ وضرب الناتج في أربعة. وهذا سيعطينا: ﻕ ثلاثة يساوي ١٨٠. ومن ثم يمكننا الإجابة بأن طول القاعدة المتوسطة للحقل الذي على شكل شبه منحرف يساوي ١٨٠ مترًا.

يمكننا الآن أن نختتم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية. عرفنا أن مساحة شبه المنحرف الذي ارتفاعه ﻉ وطولا قاعدتيه المتوازيتين ﻕ واحد، ﻕ اثنين؛ تعطى بالصيغة: مساحة شبه المنحرف تساوي نصفًا في ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين في ﻉ. يمكننا التفكير في ذلك تفكيرًا غير منهجي باعتبار أن مساحة شبه المنحرف تساوي نصف مجموع القاعدتين المتوازيتين مضروبًا في الارتفاع. القاعدة المتوسطة لشبه المنحرف هي القطعة المستقيمة التي يمثل طرفاها نقطتي منتصف ساقي شبه المنحرف. طول القاعدة المتوسطة لشبه المنحرف، أي ﻕ ثلاثة، هو الوسط الحسابي لطولي القاعدتين؛ حيث ﻕ ثلاثة يساوي ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين على اثنين. أتاحت لنا معرفة هذا التكافؤ استنتاج الصيغة الثانية؛ وهي أن مساحة شبه المنحرف تساوي ﻕ ثلاثة في ﻉ؛ حيث ﻕ ثلاثة طول القاعدة المتوسطة، وﻉ الارتفاع العمودي.