فيديو الدرس: الاحتمال الشرطي: مخطط الشجرة البيانية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم مخطط الشجرة البيانية لحساب الاحتمالات الشرطية.

١٦:٢٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم مخطط الشجرة البيانية لحساب الاحتمالات الشرطية. عند التعامل مع الاحتمالات الشرطية، من المفيد أن نستخدم مخطط الشجرة البيانية لتوضيح احتمال النواتج المختلفة. وللمساعدة في فهم ذلك، دعونا أولًا نسترجع صيغة الاحتمال الشرطي.

يكتب احتمال وقوع الحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ بالفعل بالصيغة: احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ يساوي احتمال ﺃ تقاطع ﺏ مقسومًا على احتمال وقوع ﺃ؛ حيث إن احتمال التقاطع هو احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ معًا. بضرب الطرفين في احتمال وقوع ﺃ، يمكن إعادة كتابة ذلك على الصورة: احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ مضروبًا في احتمال وقوع ﺃ.

سنتناول الآن كيفية تمثيل ذلك على مخطط الشجرة البيانية. يمكننا استخدام الصيغة لتحديد احتمال تقاطع حدثين. على مخطط الشجرة البيانية، يمكن حساب ذلك بضرب القيم على امتداد الفروع؛ حيث يمثل الفرع الأول احتمال وقوع الحدث ﺃ، ويمثل الفرع الثاني احتمال وقوع الحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ. وبتذكر أن جميع قيم الاحتمالات تقع في الفترة من صفر إلى واحد؛ بحيث يكون احتمال ﺃ أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من أو يساوي واحدًا، واحتمال وقوع الحدث المكمل الذي يكتب على الصورة: ﺃ شرطة أو ﺃ بار يساوي واحدًا ناقص احتمال وقوع ﺃ؛ فإنه يمكننا إكمال النصف العلوي من مخطط الشجرة البيانية.

بتوسيع نطاق هذا ليشمل النصف السفلي، والبدء باحتمال ﺃ شرطة؛ يكون مخطط الشجرة البيانية الكامل كما هو موضح. بضرب القيم على امتداد الفروع، يمكننا حساب احتمالات ﺃ تقاطع ﺏ، وﺃ تقاطع ﺏ شرطة، وﺃ شرطة تقاطع ﺏ، وﺃ شرطة تقاطع ﺏ شرطة. دعونا نتناول الآن كيفية استخدام مخطط الشجرة البيانية من هذا النوع في مسألة كلامية.

تحتوي حقيبة على ثلاث كرات زرقاء وسبع كرات حمراء. اختار رامي كرتين دون إحلال، ورسم مخطط الشجرة البيانية الموضح. إذا كانت الكرة الأولى حمراء، فأوجد قيمة ﺱ التي تمثل احتمال أن تكون الكرة الثانية المختارة حمراء.

نعلم من السؤال أن الكرتين مختارتان دون إحلال. يعني هذا أن لون الكرة الثانية يعتمد على لون الكرة الأولى. ونتيجة لذلك، علينا التفكير في ناتج الحدث الأول عند حساب احتمال وقوع الحدث الثاني. هذا مثال للاحتمال الشرطي. فنحن نحاول إيجاد احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء بشرط أن تكون الكرة الأولى حمراء.

نعرف منذ البداية أن الحقيبة تحتوي على ثلاث كرات زرقاء وسبع كرات حمراء. وبما أن هناك إجمالي ١٠ كرات، فإن احتمال أن تكون الكرة الأولى المختارة زرقاء هو ثلاثة من ١٠ أو ثلاثة أعشار. واحتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء هو سبعة أعشار. في هذا السؤال، نعرف أن الكرة الأولى حمراء. يعني هذا أنه تتبقى الآن في الحقيبة ست كرات حمراء. ولا تزال هناك ثلاث كرات زرقاء، وهو ما يعطينا إجمالي تسع كرات. إذن، احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء بشرط أن تكون الكرة الأولى حمراء يساوي ستة أتساع. بقسمة بسط هذا الكسر ومقامه على ثلاثة، يمكن تبسيطه إلى ثلثين. ومن ثم، قيمة ﺱ في مخطط الشجرة البيانية تساوي ثلثين.

يمكننا التحقق من صحة هذه الإجابة بالنظر إلى هذا الزوج من الفروع، فنحن نعرف أن مجموعه يجب أن يساوي واحدًا. وبما أن احتمال أن تكون الكرة الثانية زرقاء بشرط أن تكون الكرة الأولى حمراء يساوي ثلثًا، وثلثًا زائد ثلثين يساوي واحدًا؛ نعرف أن إجابتنا صحيحة. نحصل على الكسر ثلث من حقيقة أن ثلاثًا من الكرات التسع المتبقية زرقاء. وثلاثة أتساع يكافئ ثلثًا.

على الرغم من أن هذا غير مطلوب في السؤال، تجدر الإشارة إلى أنه عندما تكون الكرة الأولى المختارة زرقاء، ستتبقى في الحقيبة سبع كرات حمراء وكرتان زرقاوان. وينتج عن ذلك: احتمال أن تكون الكرة الثانية زرقاء يساوي تسعين، واحتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء يساوي سبعة أتساع؛ وذلك إذا كانت الكرة الأولى زرقاء.

في السؤال التالي، سنرسم مخطط شجرة بيانية لإيجاد احتمال حدث مشروط.

تحتوي حقيبة على ٢٢ كرة حمراء، و١٥ كرة سوداء. سحبت كرتان عشوائيًّا. أوجد احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء إذا كانت الكرة الأولى حمراء. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

في هذا السؤال، نعرف أن الكرتين مسحوبتان عشوائيًّا من حقيبة. إحدى طرق تمثيل ذلك هي استخدام مخطط الشجرة البيانية. نحن نعلم أن الكرة الأولى المختارة يمكن أن تكون إما حمراء وإما سوداء. ينطبق الأمر نفسه على الكرة الثانية، فنحصل على أربعة نواتج ممكنة: حمراء حمراء، أو حمراء سوداء، أو سوداء حمراء، أو سوداء سوداء. وبما أن هاتين الكرتين مسحوبتان في الوقت نفسه، فإنه يمكننا افتراض أن هذا يحدث دون إحلال. يعني هذا أننا نتعامل مع أحداث غير مستقلة واحتمال شرطي.

يمكن كتابة الاحتمال الشرطي باستخدام الترميز الموضح: احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ. في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء إذا كانت الكرة الأولى حمراء. هذا الاحتمال يناظر الفرع المحدد باللون الوردي. وبما أن الحدثين غير مستقلين، فعلينا أولًا حساب احتمال أن تكون الكرة الأولى المسحوبة حمراء.

لدينا في الحقيبة ٢٢ كرة حمراء و١٥ كرة سوداء. يعني هذا أن الإجمالي يساوي ٣٧ كرة. واحتمال أن تكون الكرة الأولى المختارة حمراء هو ٢٢ من ٣٧. على الرغم من أن هذا غير مطلوب في السؤال، فإنه يمكننا أيضًا أن نضيف إلى مخطط الشجرة البيانية احتمال أن تكون الكرة الأولى سوداء. وهذا يساوي ١٥ من ٣٧. دعونا نفكر الآن في عدد الكرات المتبقية في الحقيبة إذا كانت الكرة الأولى المسحوبة حمراء. لدينا الآن ٢١ كرة حمراء، ولا تزال هناك ١٥ كرة سوداء. إجمالي ذلك يساوي ٣٦، واحتمال اختيار كرة سوداء هو ١٥ من ٣٦. هذا هو الاحتمال الذي نريده. إذن، احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء إذا كانت الكرة الأولى حمراء هو ١٥ من ٣٦.

على الرغم من أننا نترك الإجابة عادة على صورة كسر، لكن المطلوب منا في هذا السؤال هو تقريب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية. ‏١٥ مقسومًا على ٣٦، أو الكسر المبسط خمسة مقسومًا على ١٢ يساوي ٠٫٤١٦٦ وهكذا مع توالي الأرقام. يمكننا تقريب ذلك لأقرب ثلاث منازل عشرية لنحصل على الإجابة ٠٫٤١٧. في هذه المرحلة، يجدر بنا إكمال الجزء الباقي من مخطط الشجرة البيانية. إذا كانت الكرة الأولى المختارة حمراء، فإن احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء أيضًا يساوي ٢١ من ٣٦، لأن هناك ٢١ كرة حمراء من الكرات المتبقية. وإذا افترضنا أن الكرة الأولى المسحوبة سوداء، فإنه تتبقى ٢٢ كرة حمراء، و١٤ كرة سوداء فقط. يعني هذا أن احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء إذا كانت الكرة الأولى سوداء هو ٢٢ من ٣٦. واحتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء إذا كانت الكرة الأولى سوداء أيضًا هو ١٤ من ٣٦.

من المهم أيضًا في هذه المرحلة التأكد من أن أزواج الكسور الثلاثة المحاطة بإطار مجموع كل منها يساوي واحدًا. يمكننا فعل ذلك قبل تبسيط الكسور أو بعده.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا.

احتمال أن تمطر السماء في أحد الأيام هو ٠٫٦. إذا أمطرت، فإن احتمال لعب مجموعة من الأصدقاء لكرة القدم يكون ٠٫٢. إذا لم تمطر، فإن احتمال لعبهم لكرة القدم يزداد إلى ٠٫٨. أوجد احتمال أن تمطر في ذلك اليوم وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم. أوجد احتمال ألا تمطر في ذلك اليوم وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم. ما احتمال لعب الأصدقاء لكرة القدم في ذلك اليوم؟

يحتوي هذا السؤال على ثلاثة أجزاء. يتضمن جميعها احتمالًا شرطيًّا وحدثين غير مستقلين؛ وهما: إذا كانت ستمطر، وإذا كانت مجموعة من الأصدقاء ستلعب كرة القدم. إحدى طرق تمثيل معطيات هذا السؤال هي استخدام مخطط الشجرة البيانية. نفرغ الآن بعض المساحة لنفعل ذلك أولًا.

سنبدأ بافتراض أن ﻡ هو حدث أن تمطر السماء. علمنا من المعطيات أن احتمال أن تمطر السماء في أحد الأيام هو ٠٫٦. نحن نعرف أن الحدث المكمل لأي حدث ﺃ، الذي يكتب على الصورة: ﺃ شرطة أو ﺃ بار، احتماله يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺃ. يعني هذا أن احتمال ألا تمطر السماء في هذا السؤال هو واحد ناقص ٠٫٦. وهذا يساوي ٠٫٤، ويمكن إضافة ذلك إلى مخطط الشجرة البيانية، كما هو موضح.

إذا افترضنا أن حدث لعب مجموعة من الأصدقاء لكرة القدم هو ﻙ، فهناك أربعة سيناريوهات محتملة؛ الأول هو أن تمطر السماء ويلعب الأصدقاء كرة القدم، والثاني أن تمطر السماء وألا يلعب الأصدقاء كرة القدم، والثالث ألا تمطر السماء وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم، والأخير ألا تمطر السماء وألا يلعب الأصدقاء كرة القدم. نحن نعرف أنه إذا أمطرت، فسيكون احتمال لعب الأصدقاء لكرة القدم هو ٠٫٢. هذا مثال للاحتمال الشرطي، وهو احتمال أن يلعب الأصدقاء كرة القدم بشرط أن تمطر السماء. إذن، يمكننا إضافة ٠٫٢ إلى مخطط الشجرة البيانية.

مرة أخرى، بما أن مجموع احتمالي كل زوج من الفروع يساوي واحدًا، فإن احتمال وقوع الحدث المكمل لهذا الحدث هو ٠٫٨. إذن، احتمال ألا يلعب الأصدقاء كرة القدم بشرط أن تمطر السماء هو ٠٫٨. يمكننا تكرار ذلك مع النصف السفلي من مخطط الشجرة البيانية. نعرف من السؤال أنه إذا لم تمطر السماء، فإن احتمال أن يلعب الأصدقاء كرة القدم هو ٠٫٨. إذن، الاحتمال الشرطي للعب الأصدقاء كرة القدم بشرط ألا تمطر السماء هو ٠٫٨.

دعونا نعد الآن إلى الأسئلة الثلاثة المحددة المطلوب منا إجابتها. أولًا، مطلوب منا إيجاد احتمال أن تمطر السماء في أحد الأيام وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم. بما أننا نريد وقوع الحدثين معًا، فإن هذا يمثل تقاطع الحدثين. لعلنا نتذكر أنه إذا كان لدينا الحدثان ﺃ وﺏ، فإن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ مضروبًا في احتمال ﺃ. في هذا السؤال، احتمال أن تمطر السماء وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم يساوي احتمال أن يلعب الأصدقاء كرة القدم بشرط أن تمطر السماء مضروبًا في احتمال أن تمطر السماء. علينا ضرب قيمتي الاحتمالين ٠٫٢ و٠٫٦. وهذا يساوي ٠٫١٢.

دعونا الآن نفكر في الجزء الثاني من السؤال. مطلوب منا في هذا الجزء إيجاد احتمال ألا تمطر السماء في ذلك اليوم وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم. هذا يناظر المسار الوردي في مخطط الشجرة البيانية. احتمال ألا تمطر السماء وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم يساوي احتمال أن يلعب الأصدقاء كرة القدم بشرط ألا تمطر السماء مضروبًا في احتمال ألا تمطر السماء. علينا ضرب ٠٫٨ في ٠٫٤. وهذا يساوي ٠٫٣٢. إذن، احتمال ألا تمطر في ذلك اليوم وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم هو ٠٫٣٢.

يطلب منا الجزء الأخير من السؤال إيجاد احتمال لعب الأصدقاء لكرة القدم في ذلك اليوم. يمكن أن يحدث ذلك في إحدى حالتين؛ إما أن تمطر السماء وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم، وإما ألا تمطر السماء وأن يلعب الأصدقاء كرة القدم. علينا إيجاد اتحاد هذين الحدثين. من مخطط الشجرة البيانية، يتضمن هذا إيجاد مجموع قيمتي الاحتمالين. علينا إذن جمع ٠٫١٢ و٠٫٣٢. وهذا يساوي ٠٫٤٤. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن احتمال أن يلعب الأصدقاء كرة القدم في ذلك اليوم هو ٠٫٤٤.

تجدر الإشارة إلى أن مجموع قيم الاحتمالات لكل النواتج الممكنة معًا يساوي واحدًا. وفي هذا السؤال، مجموع قيم الاحتمالات الأربعة ٠٫١٢ و٠٫٤٨ و٠٫٣٢ و٠٫٠٨ يساوي واحدًا.

والآن نختتم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية. عرفنا في هذا الفيديو أنه عندما يكون هناك عدد قليل نسبيًّا من النواتج، فإن مخطط الشجرة البيانية يكون طريقة مفيدة لتوضيح احتمال وقوع الأحداث المركبة. عرفنا أيضًا أن مجموع قيم الاحتمالات لكل مجموعة من الفروع يساوي واحدًا. وبالمثل، فإن مجموع قيم الاحتمالات لجميع النواتج النهائية يساوي واحدًا. عند تناول الاحتمال الشرطي، عرفنا أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ مضروبًا في احتمال وقوع ﺃ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.