فيديو الدرس: قاعدة القسمة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

قاعدة خارج القسمة

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نوجد مشتقة دالة باستخدام قاعدة خارج القسمة. وسنتناول العديد من الأمثلة التي توضح كيف يمكن استخدام هذه القاعدة.

لدينا الدالة ﺹ يساوي سالب ثلاثة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ١٧ على الجذر التربيعي لـ ﺱ.

إذا أردنا إيجاد مشتقة هذه الدالة، فهناك العديد من الأساليب التي يمكننا اتباعها. يمكننا قسمة البسط على المقام ثم اشتقاق الدالة الناتجة ببساطة. أو بدلًا من ذلك، يمكننا كتابة الكسر كحاصل ضرب ثم إيجاد المشتقة باستخدام قاعدة حاصل الضرب. يوجد أيضًا أسلوب بديل آخر يمكننا استخدامه لإيجاد هذه المشتقة. وهو لا يتطلب تبسيط المعادلة أو إعادة كتابتها. ويسمى قاعدة خارج القسمة. استنتاج قاعدة خارج القسمة أطول من أن نتناوله في هذا الفيديو. لذا لن نتطرق إليه هنا.

تنص على أنه إذا كان لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق، الدالة ﻉ ﺱ والدالة ﻕ ﺱ، تكون مشتقة خارج القسمة هي د على دﺱ للدالة ﻉ ﺱ على ﻕ ﺱ يساوي ﻕ ﺱ في د على دﺱ للدالة ﻉ ﺱ ناقص ﻉ ﺱ في د على دﺱ للدالة ﻕ ﺱ، الكل على ﻕ ﺱ تربيع. يمكننا كتابة هذا بصورة مختصرة باستخدام رمز الشرطة. وهو ما يعطينا ﻉ على ﻕ شرطة يساوي ﻕﻉ شرطة ناقص ﻉﻕ شرطة، الكل على ﻕ تربيع.

وقد وجدت طريقة سهلة لتذكر قاعدة خارج القسمة. وهي مشتقة البسط في المقام ناقص مشتقة المقام في البسط على المقام تربيع. يجب علينا حفظ هذه الصيغة واسترجاعها عند الحاجة. ويمكننا أيضًا كتابتها بطريقة أكثر اختصارًا. نعرف أن الرمز د على د س يعني أننا سنشتق ما بعده. إذن يمكن كتابتها على الصورة: د على د س البسط في المقام ناقص د على د س المقام في البسط على المقام تربيع. وهذه طريقة أخرى لكتابة قاعدة خارج القسمة. ربما تجد طريقة كتابة أسهل من هذه. ولكن يمكنك استخدام هاتين الطريقتين أيضًا.

نحن مستعدون الآن لإلقاء نظرة على بعض الأمثلة.

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي ثمانية ﺱ زائد خمسة على ثلاثة ﺱ زائد ٢٢.

يمكننا أن نرى هنا أن الدالة ﺹ دالة كسرية. إذن يمكننا إيجاد مشتقتها باستخدام قاعدة خارج القسمة. توضح ما يحدث عند اشتقاق خارج قسمة دالتين، ﻉ على ﻕ، بالنسبة لـ ﺱ‏. إذ نحصل على ﻕ في مشتقة ﻉ بالنسبة لـ ﺱ ناقص ﻉ في مشتقة ﻕ بالنسبة لـ ﺱ، الكل على ﻕ تربيع. لإيجاد المشتقة الأولى لـ ﺹ، هيا نبدأ بتحديد ﻉ وﻕ في المعادلة. ‏ﻉ هو بسط الدالة، أي ثمانية ﺱ زائد خمسة. وﻕ سيساوي مقام الدالة، أي ثلاثة ﺱ زائد ٢٢.

بعد ذلك، علينا أن نوجد د على دﺱ لـ ﻉ ود على دﺱ لـ ﻕ، أو دﻉ على دﺱ ودﻕ على دﺱ. كلتا الدالتين ﻉ وﻕ كثيرة حدود. إذن يمكننا ببساطة اشتقاقهما حدًّا حدًّا. بكتابة ﻉ بدلالة قوى ﺱ، يمكننا أن نقول إنها تساوي ثمانية ﺱ أس واحد زائد خمسة ﺱ أس صفر. للاشتقاق، سنضرب في الأس ونقلل الأس بمقدار واحد. في الحد الأول، سنضرب في الأس، أي واحد، ثم نقلل الأس بمقدار واحد، فيصبح صفرًا. يتبقى لنا واحد مضروبًا في ثمانية ﺱ أس صفر. في الحد الثاني، سنضرب في الأس، أي الصفر، ثم نقلل الأس بمقدار واحد، فيصبح سالب واحد. يصبح لدينا صفر مضروبًا في خمسة ﺱ أس سالب واحد.

في الحد الأول، ﺱ أس صفر يساوي واحدًا. إذن، يصبح لدينا ثمانية. في الحد الثاني، سنضرب في الصفر. فيصبح هذا الحد صفرًا. هذا يعني أن دﻉ على دﺱ يساوي ثمانية. يمكننا استخدام الطريقة نفسها لإيجاد دﻕ على دﺱ. وسنجد أنه يساوي ثلاثة. بعد أن أوجدنا دﻉ على دﺱ ودﻕ على دﺱ، نكون مستعدين لاستخدام قاعدة خارج القسمة. نعرف أن دﺹ على دﺱ يساوي ﻕ، وهو ما يساوي ثلاثة ﺱ زائد ٢٢، مضروبًا في دﻉ على دﺱ، أي ثمانية، ناقص ﻉ، أي ثمانية ﺱ زائد خمسة، مضروبًا في دﻕ على دﺱ، أي ثلاثة. وكل هذا مقسوم على ﻕ تربيع، أي ثلاثة ﺱ زائد ٢٢، الكل تربيع.

بعد ذلك، يمكننا فك الأقواس. ثم نبسط لإيجاد الحل، وهو أن المشتقة الأولى لـ ﺹ تساوي ١٦١ على ثلاثة ﺱ زائد ٢٢، الكل تربيع.

والآن، سنرى مثالًا أكثر تعقيدًا.

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي أربعة ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ زائد خمسة، الكل على أربعة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ثلاثة.

يمكننا أن نرى أن الدالة هنا دالة كسرية. لذا يمكننا استخدام قاعدة خارج القسمة لإيجاد المشتقة. تنص على أن ﻉ على ﻕ شرطة يساوي ﻕﻉ شرطة ناقص ﻉﻕ شرطة، الكل على ﻕ تربيع. حيث ﻉ هو بسط الدالة وﻕ هو مقامها. في هذه الحالة، ﻉ يساوي أربعة ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ زائد خمسة. وﻕ يساوي أربعة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ثلاثة. والآن، علينا إيجاد ﻉ شرطة وﻕ شرطة. نفعل ذلك باشتقاق ﻉ وﻕ بالنسبة لـ ﺱ.

بما أن ﻉ وﻕ دالتان كثيرتا حدود، يمكننا إيجاد مشتقتيهما بضرب كل حد في الأس المرفوع له ﺱ. وبعدها، نقلل الأس المرفوع له ﺱ بمقدار واحد. وبذلك، نجد أن ﻉ شرطة يساوي ثمانية ﺱ زائد خمسة. وﻕ شرطة يساوي ثمانية ﺱ ناقص اثنين. بالتعويض بذلك في الصيغة، نجد أن المشتقة الأولى لـ ﺹ أو ﺹ شرطة تساوي ﻕ مضروبة في ﻉ شرطة ناقص ﻉ مضروبة في ﻕ شرطة، الكل على ﻕ تربيع. تبدو النتيجة معقدة بعض الشيء. ولكن يمكننا فك الأقواس ثم التبسيط. وهذا هو ما نحصل عليه بعد فك الأقواس في البسط.

الخطوة الأخيرة هي تبسيط البسط. بهذا نكون قد وصلنا إلى الحل. وهو أن المشتقة الأولى لـ ﺹ أو ﺹ شرطة تساوي سالب ٢٨ﺱ تربيع ناقص ١٦ﺱ زائد ٢٥، الكل على أربعة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ثلاثة، الكل تربيع.

لننتقل الآن إلى نوع مختلف قليلًا من المسائل.

إذا كانت الدالة د ﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ﺃﺱ زائد ﺏ، الكل على ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد أربعة. حيث د صفر تساوي واحدًا ود شرطة لصفر تساوي أربعة، فأوجد ﺃ وﺏ.

قد تكون الخطوة الأولى في هذا السؤال هي التعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في د ﺱ. فمن المعطيات أن د صفر يساوي واحدًا. يصبح لدينا د صفر يساوي صفرًا تربيع زائد ﺃ في صفر زائد ﺏ، الكل على صفر تربيع ناقص سبعة في صفر زائد أربعة. تصبح كل هذه الحدود صفرًا باستثناء ﺏ وأربعة. ويتبقى لدينا د صفر يساوي ﺏ على أربعة. بعد ذلك، نستخدم الحقيقة التي أخبرنا بها السؤال، وهي أن د صفر يساوي واحدًا. يمكننا إذن مساواة ذلك بالواحد. ومن هنا، نجد أن ﺏ يساوي أربعة. بعد ذلك، يمكننا استخدام حقيقة أن د شرطة لصفر تساوي أربعة. ولكن أولًا علينا إيجاد د شرطة ﺱ. وحتى نتمكن من ذلك، علينا اشتقاق الدالة د. وبما أن د دالة كسرية، يمكننا استخدام قاعدة خارج القسمة لإيجاد مشتقتها.

تنص على أن ﻉ على ﻕ شرطة يساوي ﻕ في ﻉ شرطة ناقص ﻉ في ﻕ شرطة، الكل على ﻕ تربيع. بمساواة د ﺱ بـ ﻉ على ﻕ، نجد أن ﻉ يساوي ﺱ تربيع زائد ﺃﺱ زائد ﺏ. وﻕ يساوي ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد أربعة. يمكننا إذن إيجاد ﻉ شرطة وﻕ شرطة باشتقاق هاتين الدالتين. وهو ما يعطينا ﻉ شرطة يساوي اثنين ﺱ زائد ﺃ، وﻕ شرطة يساوي اثنين ﺱ ناقص سبعة. يمكننا الآن التعويض بذلك في قاعدة خارج القسمة. نجد أن د شرطة ﺱ يساوي ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد أربعة مضروبًا في اثنين ﺱ زائد ﺃ ناقص ﺱ تربيع زائد ﺃﺱ زائد ﺏ مضروبًا في اثنين ﺱ ناقص سبعة، الكل على ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد أربعة، الكل تربيع.

يمكننا تبسيط د شرطة ﺱ في هذه المرحلة. ولكننا سنعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا. وبهذا سيختفي الكثير من هذه الحدود. هيا إذن نعوض هنا بـ ﺱ يساوي صفرًا. نحصل على ما يلي. ولكن الكثير من هذه الحدود سيتحول إلى صفر، ليتبقى لنا أربعة ﺃ زائد سبعة ﺏ، الكل على ١٦. وجدنا من قبل أن ﺏ يساوي أربعة. لذا يمكننا التعويض بذلك، وهو ما يعطينا أربعة ﺃ زائد ٢٨، الكل على ١٦.

بما أن السؤال يخبرنا أن د شرطة لصفر تساوي أربعة، يمكننا مساواة ذلك بأربعة. ثم نعيد ترتيب ذلك لإيجاد قيمة ﺃ. ونحصل على الحل، وهو ﺃ يساوي تسعة. أوجدنا الآن قيمتي ﺃ وﺏ، وبهذا نكون قد أتممنا حل السؤال.

في المثال التالي، سنتعرف على نوع مختلف من الأسئلة.

افترض أن ر ﺱ تساوي د ﺱ على سالب أربعة ﻕ ﺱ ناقص خمسة. إذا كان د لسالب اثنين يساوي سالب واحد، ود شرطة لسالب اثنين يساوي سالب ثمانية، وﻕ لسالب اثنين يساوي سالب اثنين، وﻕ شرطة لسالب اثنين يساوي خمسة، فأوجد ر شرطة لسالب اثنين.

في هذا السؤال، المطلوب هو إيجاد ر شرطة لسالب اثنين. هيا نبدأ إذن باشتقاق ر ﺱ. ‏ر ﺱ دالة كسرية، إذن علينا استخدام قاعدة خارج القسمة. تنص على أن ﻉ على ﻕ شرطة يساوي ﻕﻉ شرطة ناقص ﻉﻕ شرطة، الكل على ﻕ تربيع. بمساواة ر ﺱ بـ ﻉ على ﻕ، نجد أن ﻉ يساوي د ﺱ. وﻕ يساوي سالب أربعة ﻕ ﺱ ناقص خمسة. وﻉ شرطة ستساوي د ﺱ شرطة. والشرطة ببساطة تمثل الاشتقاق بالنسبة لـ ﺱ. إذن د ﺱ شرطة تطابق د شرطة ﺱ. علينا الآن إيجاد ﻕ شرطة. وهي ما يساوي سالب أربعة ﻕ ﺱ ناقص خمسة شرطة.

مرة أخرى، بما أن الشرطة تمثل الاشتقاق بالنسبة لـ ﺱ، يمكننا تطبيق قواعد الاشتقاق العادية هنا. إذن، اشتقاق الحد الثابت سالب خمسة سينتج عنه صفر. يمكننا القول إن هذا يساوي سالب أربعة ﻕ ﺱ شرطة. الدالة ﻕ ﺱ مضروبة في عدد ثابت، هو سالب أربعة. لذا يمكننا استخدام قواعد الاشتقاق لإخراج سالب أربعة خارج الاشتقاق. هذا يعطينا سالب أربعة مضروبًا في ﻕ ﺱ شرطة.

والآن، يمكننا تطبيق المنطق نفسه كما فعلنا مع د ﺱ شرطة. إذ يمكننا القول إن ﻕ شرطة يساوي سالب أربعة ﻕ شرطة ﺱ. والآن، يمكننا التعويض في قاعدة خارج القسمة لإيجاد ر شرطة ﺱ. وبعد أن أوجدنا ر شرطة ﺱ، يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين. كونا الآن معادلة بدلالة د لسالب اثنين، ود شرطة لسالب اثنين، وﻕ لسالب اثنين، وﻕ شرطة لسالب اثنين. ونعرف قيم كل منها من السؤال. وبهذا يمكننا التعويض بهذه القيم هنا.

الخطوة الأخيرة لإيجاد ر شرطة لسالب اثنين هي التبسيط. بفك الأقواس، نحصل على سالب ٢٤ ناقص ٢٠، الكل على تسعة. وهو ما يعطينا ر شرطة لسالب اثنين يساوي سالب ٤٤ على تسعة.

بعد ذلك، سنرى كيف يمكننا اشتقاق دالة تتكون من مقدارين كسريين.

إذا كان ﺹ يساوي ﺱ زائد خمسة على ﺱ ناقص خمسة ناقص ﺱ ناقص خمسة على ﺱ زائد خمسة، فأوجد دﺹ على دﺱ.

تتكون الدالة ﺹ من مقدارين كسريين، هما ﺱ زائد خمسة على ﺱ ناقص خمسة، وﺱ ناقص خمسة على ﺱ زائد خمسة. ويمكننا إيجاد دﺹ على دﺱ بتطبيق قاعدة خارج القسمة على هذين المقدارين الكسريين. ولكن ذلك يتطلب استخدام قاعدة خارج القسمة مرتين. يمكننا جعل خطوات الحل أسهل بدمج المقدارين الكسريين في مقدار واحد. ونحصل على ﺹ يساوي ﺱ زائد خمسة تربيع ناقص ﺱ ناقص خمسة تربيع، الكل على ﺱ ناقص خمسة في ﺱ زائد خمسة. يمكننا فك الأقواس ثم التبسيط لنحصل على ﺹ يساوي ٢٠ﺱ على ﺱ تربيع ناقص ٢٥.

والآن، تتكون الدالة من مقدار كسري واحد. وأصبحنا مستعدين لاستخدام قاعدة خارج القسمة لاشتقاق هذه الدالة. تنص على أن ﻉ على ﻕ شرطة يساوي ﻕﻉ شرطة ناقص ﻉﻕ شرطة على ﻕ تربيع. بمساواة ﺹ بـ ﻉ على ﻕ، نحصل على ﻉ يساوي ٢٠ﺱ وﻕ يساوي ﺱ تربيع ناقص ٢٥. بعد ذلك، يمكننا إيجاد ﻉ شرطة وﻕ شرطة، وهو ما يعطينا ﻉ شرطة يساوي ٢٠ وﻕ شرطة يساوي اثنين ﺱ.

يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في قاعدة خارج القسمة لنجد أن دﺹ على دﺱ يساوي ﺱ تربيع ناقص ٢٥ في ٢٠ ناقص ٢٠ﺱ في اثنين ﺱ، الكل على ﺱ تربيع ناقص ٢٥ تربيع. نبسط ذلك لنحصل على دﺹ على دﺱ يساوي سالب ٢٠ﺱ ناقص ٥٠٠، الكل على ﺱ تربيع ناقص ٢٥ تربيع.

في المثال الأخير، سنرى كيف نوجد قيمة مشتقة دالة كسرية عند نقطة ما.

أوجد قيمة د شرطة لثلاثة، إذا كانت الدالة د ﺱ تساوي ﺱ على ﺱ زائد اثنين ناقص ﺱ ناقص ثلاثة على ﺱ ناقص اثنين.

هذه الدالة عبارة عن فرق بين مقدارين كسريين. يمكننا البدء بدمج المقدارين الكسريين ليصبحا واحدًا. نحصل على د ﺱ يساوي سالب ﺱ زائد ستة، الكل على ﺱ تربيع ناقص أربعة. كتبنا الدالة د على صورة دالة كسرية. يمكننا الآن استخدام قاعدة خارج القسمة، والتي تنص على أن ﻉ على ﻕ شرطة يساوي ﻕﻉ شرطة ناقص ﻉﻕ شرطة، الكل على ﻕ تربيع. بمساواة د ﺱ بـ ﻉ على ﻕ، نجد أن ﻉ يساوي سالب ﺱ زائد ستة، وﻕ يساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة. وبعد ذلك، نجد أن ﻉ شرطة يساوي سالب واحد، وﻕ شرطة يساوي اثنين ﺱ.

وهنا نعوض عن ﻉ وﻕ وﻉ شرطة وﻕ شرطة في قاعدة خارج القسمة. نجد أن د شرطة ﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة مضروبًا في سالب واحد ناقص سالب ﺱ زائد ستة مضروبًا في اثنين ﺱ، الكل على ﺱ تربيع ناقص أربعة تربيع. لإيجاد د شرطة لثلاثة، سنعوض ببساطة بـ ﺱ يساوي ثلاثة في د شرطة ﺱ. نحصل على د شرطة لثلاثة تساوي ثلاثة تربيع ناقص أربعة مضروبًا في سالب واحد ناقص سالب ثلاثة زائد ستة مضروبًا في اثنين في ثلاثة، الكل على ثلاثة تربيع ناقص أربعة تربيع. وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب خمسة ناقص ١٨ على ٢٥. هذا يعطينا حل المسألة، وهو أن د شرطة لثلاثة يساوي سالب ٢٣ على ٢٥.

رأينا أمثلة عديدة على قاعدة خارج القسمة. لنراجع بعض النقاط الأساسية التي تناولها الفيديو. لإيجاد مشتقة خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق، ﻉ ﺱ وﻕ ﺱ، يمكننا استخدام قاعدة خارج القسمة التي تنص على أن د على دﺱ للدالة ﻉ ﺱ على ﻕ ﺱ يساوي ﻕ ﺱ في د على دﺱ للدالة ﻉ ﺱ ناقص ﻉ ﺱ في د على دﺱ للدالة ﻕ ﺱ، الكل على ﻕ ﺱ تربيع. عادة يكتب هذا بطريقة مختصرة باستخدام رمز الشرطة، كما يلي. ﻉ على ﻕ شرطة يساوي ﻕﻉ شرطة ناقص ﻉﻕ شرطة، الكل على ﻕ تربيع. قبل تطبيق قاعدة خارج القسمة، يجدر التأكد مما إذا كان يمكننا تبسيط المقدار المعبر عن الدالة. نهتم بذلك على نحو خاص عندما تكون الدالة عبارة عن مجموع مقدارين كسريين أو الفرق بينهما.