فيديو السؤال: إيجاد حجم الهرم الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

احسب حجم الهرم المنتظم الآتي لأقرب جزء من مائة.

لدينا شكل، وعلمنا أنه هرم منتظم. لعلنا نتذكر أن الهرم المنتظم هو هرم قائم. وهذا يعني أنه هرم يقع رأسه فوق مركز القاعدة. إذن، الهرم المنتظم هو هرم قائم قاعدته هي مضلع منتظم. قاعدة هذا الهرم هي شكل رباعي. وإذا كانت قاعدة الهرم شكلًا رباعيًّا منتظمًا، فهذا يعني أنها مربعة الشكل. في الهرم المنتظم، تكون الأوجه الجانبية على شكل مثلثات متطابقة متساوية الساقين. مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد حجم الهرم. ولعلنا نتذكر أن حجم الهرم يساوي ثلثًا في مساحة القاعدة في ﻉ، حيث ﻉ هو الارتفاع.

إذا نظرنا إلى الهرم، فسنجد أن لدينا قياسين أحدهما يساوي ١٥ سنتيمترًا، والآخر ١٧ سنتيمترًا. لكن كلا القياسين لا يمثل ارتفاع الهرم. وفي الواقع، ليست لدينا مساحة القاعدة أيضًا. وهذا يعني أن علينا إجراء بعض العمليات الحسابية قبل أن نتمكن من استخدام صيغة حساب الحجم. لنتناول هذا المثلث الذي يمثل جزءًا من المقطع العرضي للهرم. ارتفاع هذا المثلث هو نفسه ارتفاع الهرم. لذلك، دعونا نعرف هذا الارتفاع بأنه ﻉ سنتيمتر. يمكننا استخدام المثلث لمساعدتنا في إيجاد قيمة ﻉ، ومن ثم معرفة ارتفاع الهرم. وقد يفيدنا رسم المثلث الثنائي الأبعاد بجانب الهرم.

نحن نعلم أن الارتفاع هو ﻉ سنتيمتر، وطول الضلع الأطول في هذا المثلث القائم الزاوية ١٥ سنتيمترًا. لكننا لا نعرف طول قاعدة المثلث. فدعونا نعرف هذا الطول بأنه ﺱ سنتيمتر. لدينا الآن طولا ضلعين مجهولان، وهما ﻉ وﺱ. لكن دعونا نعرف إذا ما كان بإمكاننا إيجاد قيمة ﺱ سنتيمتر بالنظر إلى مثلث آخر. هذا المثلث هو نصف أحد الأوجه الجانبية للهرم. وارتفاع هذا المثلث هو نفسه الارتفاع الجانبي للهرم؛ وهو يساوي ١٥ سنتيمترًا. طول وتر المثلث هو نفسه طول الحرف الجانبي؛ وهو يساوي ١٧ سنتيمترًا. وطول قاعدة هذا المثلث هو نفسه طول قاعدة المثلث الأزرق. وكلاهما يساوي ﺱ سنتيمتر.

هذا يعني أن لدينا طريقة لحساب قيمة ﺱ. بما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس. تنص هذه النظرية على أنه في أي مثلث قائم الزاوية، فإن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. وبذلك، يصبح لدينا ١٧ تربيع يساوي ١٥ تربيع زائد ﺱ تربيع. بحساب مربع كل قيمة من هذه القيم، نحصل على ٢٨٩ يساوي ٢٢٥ زائد ﺱ تربيع. وبطرح ٢٢٥ من كلا الطرفين، نحصل على ٦٤ يساوي ﺱ تربيع. نأخذ بعد ذلك الجذر التربيعي لكلا الطرفين. وبما أن ﺱ يمثل طولًا، فليس علينا سوى إيجاد القيمة الموجبة للجذر التربيعي. ومن ثم، فإن ﺱ يساوي ثمانية.

والآن يمكننا العودة إلى المثلث الأول، واستخدام المعلومة التي تفيد بأن ﺱ يساوي ثمانية لإيجاد قيمة ﻉ. سنستخدم نظرية فيثاغورس مرة أخرى. علينا الانتباه جيدًا عند التعويض بالقيم، فطول الوتر هنا هو ١٥ وليس ﻉ. بحساب مربع كل قيمة، نحصل على ٢٢٥ يساوي ٦٤ زائد ﻉ تربيع. وبطرح ٦٤ من كلا الطرفين، نحصل على ١٦١ يساوي ﻉ تربيع. بعد ذلك نأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة. إذن، يصبح لدينا الجذر التربيعي لـ ١٦١ يساوي ﻉ. نحن نعلم أن ١٦١ ليس عددًا مربعًا. وبما أننا لم ننته بعد من الحسابات، فسنترك قيمة ﻉ على صورة الجذر التربيعي لـ ١٦١.

سنفرغ بعض المساحة لنتناول الجزء التالي من الحسابات. دعونا نكتب القيمتين اللتين حسبناهما على الشكل. الارتفاع يساوي الجذر التربيعي لـ ١٦١ سنتيمترًا. ونصف طول الضلع يساوي ثمانية سنتيمترات. نعود إلى صيغة حساب حجم الهرم لنعرف إذا ما كانت لدينا الآن معلومات كافية. حسنًا، لقد أوجدنا ارتفاع الهرم، لكننا لا نعرف حتى الآن مساحة القاعدة. وبما أننا نعلم أن هذا هرم منتظم، فهذا يعني أن لدينا مضلعًا منتظمًا في القاعدة، وهو شكل مربع.

مساحة المربع الذي طول ضلعه ﻝ تساوي ﻝ تربيع. لكن طول ضلع المربع هنا ليس ثمانية سنتيمترات. وفي الواقع، نعلم أن هذا الطول الذي يساوي ثمانية هو نصف طول الضلع. وهذا يعني أن طول الضلع يساوي ١٦ سنتيمترًا. ومن ثم، مساحة هذا المربع تساوي ١٦ تربيع، أي ٢٥٦ سنتيمترًا مربعًا. إذن، أصبح لدينا أخيرًا المعلومات الكافية لحساب حجم الهرم.

تذكر أن مساحة القاعدة تساوي مساحة المربع، وهي ٢٥٦. إذن حجم الهرم يساوي ثلثًا في ٢٥٦ في الجذر التربيعي لـ ١٦١. وبحساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على ١٠٨٢٫٧٥٨٦ سنتيمترًا مكعبًا وهكذا مع توالي الأرقام. آخر شيء علينا فعله هو تقريب الناتج لأقرب جزء من مائة. إذن، الإجابة النهائية هي أن حجم هذا الهرم لأقرب جزء من مائة هو ١٠٨٢٫٧٦ سنتيمترًا مكعبًا.