فيديو السؤال: إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين باستخدام خواص المثلثات المتساوية الساقين الرياضيات

إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا متساوي الساقين، فيه ﺃﺏ = ﺃﺟ = ٦ سم، ق⦣ﺃ = ١٢٠°، فأوجد ﺟﺃ⋅ﺏﺟ.

٠٥:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا متساوي الساقين، فيه ﺃﺏ يساوي ﺃﺟ يساوي ستة سنتيمترات وقياس الزاوية ﺃ يساوي ١٢٠ درجة، فأوجد حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺟﺃ في المتجه ﺏﺟ.

دعونا نبدأ برسم المثلث المتساوي الساقين. نعلم من المعطيات أن قياس الزاوية ﺃ يساوي ١٢٠ درجة، وأن طول كل ضلع من الضلعين ﺃﺏ وﺃﺟ يساوي ستة سنتيمترات. مطلوب منا إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺟﺃ وﺏﺟ. ونحن نعرف أن حاصل الضرب القياسي لمتجهين ﻉ وﻕ يساوي حاصل ضرب معياريهما في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما. إذن في هذه الحالة، سيساوي هذا حاصل ضرب معيار المتجه ﺟﺃ في معيار المتجه ﺏﺟ في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما.

حسنًا، نحن نعرف معيار المتجه ﺟﺃ، فهو يساوي ستة سنتيمترات. إذن، علينا إيجاد معيار المتجه ﺏﺟ وإيجاد قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين المتجهين. لإيجاد قياس الزاوية 𝜃، نتذكر أن الزاوية المحصورة بين متجهين تعرف تحديدًا بأنها الزاوية المحصورة بين اتجاهيهما عندما يتقارب المستقيمان الممثلان لهما أو يتباعدان. وبالنسبة إلى المتجهين ﺟﺃ وﺏﺟ، نلاحظ أن ﺏﺟ يتقارب من الرأس ﺟ، في حين أن ﺟﺃ يتباعد عن الرأس ﺟ. ولذلك، لتحديد الزاوية 𝜃، يجب أن نمد ﺏﺟ بحيث يتباعد كلا المتجهين عن الرأس ﺟ. الزاوية 𝜃 إذن هي الزاوية المنفرجة المحصورة بين المتجهين.

لإيجاد قياس الزاوية 𝜃، نسترجع حقيقة أن هذا المثلث متساوي الساقين. وهذا يعني أن قياسي الزاويتين ﺟ وﺏ متساويان. وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة، فإن مجموع قياسات الزوايا ﺃ وﺏ وﺟ يساوي ١٨٠. وبما أن قياسي الزاويتين ﺏ وﺟ متساويان، يصبح لدينا ١٨٠ يساوي قياس الزاوية ﺃ زائد اثنين في قياس الزاوية ﺏ. وبالطبع هذا يساوي أيضًا قياس الزاوية ﺃ زائد اثنين في قياس الزاوية ﺟ.

بما أن قياس الزاوية ﺃ يساوي ١٢٠ درجة، يمكننا طرح ١٢٠ من كلا الطرفين. يصبح لدينا ٦٠ درجة يساوي اثنين في قياس الزاوية ﺏ. وأخيرًا نقسم الطرفين على اثنين لنجد أن قياس الزاوية ﺏ يساوي ٣٠ درجة. وبالطبع هذا يكافئ قياس الزاوية ﺟ.

حسنًا، بعد أن نفرغ بعض المساحة ونكتب قياسي الزاويتين ﺏ وﺟ على الشكل، يمكننا استخدام هذا لإيجاد قياس الزاوية 𝜃 بملاحظة أن 𝜃 زائد قياس الزاوية ﺟ لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. وهذا لأن المتجهين ﺟﺏ وﻉ يقعان على خط مستقيم، وقياس الزاوية بينهما يساوي ١٨٠ درجة. بما أننا وجدنا أن قياس الزاوية ﺟ يساوي ٣٠ درجة، سنطرح ٣٠ من كلا الطرفين لنجد أن قياس الزاوية 𝜃 يساوي ١٥٠ درجة.

وبعد أن نكتب هذا أيضًا، تكون الخطوة التالية هي إيجاد معيار المتجه ﺏﺟ، أي طوله بالسنتيمترات، وذلك لأن كلًّا من طولي ﺃﺏ وﺃﺟ بالسنتيمترات. ولإيجاد طول ﺏﺟ، سنستخدم قاعدة الجيب. تنص هذه القاعدة على أنه في أي مثلث ﺃﺏﺟ، طول الضلع ﺃ شرطة على جا الزاوية ﺃ يساوي طول الضلع ﺏ شرطة على جا الزاوية ﺏ يساوي طول الضلع ﺟ شرطة على جا الزاوية ﺟ. بتطبيق هذا على المثلث، نجد أن ستة على جا ٣٠ درجة يساوي ﺏﺟ على جا ١٢٠ درجة. وبضرب الطرفين في جا ١٢٠ درجة، يصبح لدينا ستة في جا ١٢٠ درجة على جا ٣٠ درجة يساوي ﺏﺟ.

بما أن جا ١٢٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، وجا ٣٠ درجة يساوي نصفًا، إذن يصبح لدينا ستة في الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين مقسومًا على نصف. بقسمة البسط على اثنين، يتبقى لدينا ثلاثة جذر ثلاثة. إن القسمة على نصف تكافئ الضرب في اثنين. وبذلك يكون طول الضلع ﺏﺟ يساوي ستة جذر ثلاثة سنتيمترات.

دعونا نفرغ بعض المساحة لنتمكن من حساب حاصل الضرب القياسي؛ حيث أصبح لدينا كل ما نحتاج إليه لإيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺟﺃ وﺏﺟ، وهو يساوي ستة، وهذا هو معيار المتجه ﺟﺃ؛ مضروبًا في ستة جذر ثلاثة، وهذا هو معيار المتجه ﺏﺟ؛ مضروبًا في جتا ١٥٠ درجة، هذا هو جيب تمام الزاوية 𝜃. إن جتا ١٥٠ درجة يساوي سالب جذر ثلاثة على اثنين.

يمكننا بعد ذلك اختصار الاثنين في المقام مع ستة من البسط لنحصل على ثلاثة، وبذلك نحصل على ١٨ مضروبًا في جذر ثلاثة مضروبًا في سالب جذر ثلاثة. وسيعطينا هذا في النهاية سالب ٥٤. إذن، حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺟﺃ وﺏﺟ يساوي سالب ٥٤.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.