نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجري العمليات والتبسيط على المقادير التي تتضمن الأسس الكسرية.
ينبغي أن تكون على دراية مسبقة بقوانين القوى للأسس الصحيحة والجذور النونية. وتذكر أن العدد النسبي هو اسم آخر للتعبير عن الكسر. وكل من البسط والمقام عددان صحيحان؛ وهو ما يعني أنهما عددان كليان، والمقام ﻥ لا يساوي صفرًا. إذن، الأس الكسري هو ببساطة قوة أو أس عبارة عن كسر. ومن ثم فإذا كان لدينا عدد، وليكن الأساس ﺃ، فيمكننا رفعه إلى قوة كسرية. وإذا كان بسط الأس في الأس الكسري يساوي واحدًا، فسوف يكون لدينا الأساس ﺃ مرفوعًا للقوة واحد على ﻥ.
كما يمكننا القول إن الأس الكسري واحدًا على ﻥ، حيث ﻥ عدد صحيح، يمكن التعبير عنه بأنه الجذر النوني لـ ﺃ. على سبيل المثال، ثمانية أس واحد على ثلاثة يساوي الجذر التكعيبي لثمانية. وهذا يساوي اثنين؛ لأن اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في اثنين يساوي ثمانية. وذلك معناه أن اثنين هو العدد الذي يساوي مكعبه ثمانية. ومن ثم يكون اثنان هو الجذر التكعيبي لثمانية.
وقبل أن نتناول بعض أمثلة تبسيط المقادير الأسية ذات الأسس الكسرية، دعونا نذكر أنفسنا بقوانين الأسس التي تنطبق على كل من الأسس الكسرية والصحيحة. نتذكر أن لدينا في الأسس قاعدتين للضرب. الأولى هي ﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﺃ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻡ زائد ﻥ. إذن، نجمع الأسس. والثانية هي ﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺏ أس ﻥ. وقاعدة الأسس السالبة التي لدينا هي ﺃ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺃ أس ﻥ.
أما قاعدتا خارج القسمة اللتان لدينا، فهما: ﺃ أس ﻥ على ﺃ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. إذن، نطرح الأس. وﺃ على ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﺏ أس سالب ﻥ.
وقواعد القوة هي: ﺃ أس ﻥ الكل أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﻡ. إذن، نضرب الأسس. وﺃ أس ﻡ على ﻥ، أي مرفوعًا لقوة كسرية أو أس كسري، يساوي الجذر النوني لـ ﺃ أس ﻡ. ونلاحظ أيضًا أن ﺃ أس صفر يساوي واحدًا لأي ﺃ لا يساوي صفرًا. وواحد أس ﻝ يساوي واحدًا إذا كان ﻝ عددًا نسبيًّا.
لنتناول إذن المثال الأول، حيث نستخدم معرفتنا بالأسس لتبسيط مقدار ذي أس كسري.
بسط سالب ٦٤ﺃ أس ١٢ مضروبًا في ﺏ أس ١٨ أس واحد على ستة، حيث ﺃ وﺏ ثابتان موجبان.
لدينا مقدار ذو أس كسري. ولتبسيطه، سوف نستخدم قاعدة القوة للأسس التي تنص على أن ﺃ أس ﻥ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﻡ. أولًا، نلاحظ أننا نستطيع تحليل ٦٤ إلى عوامله الأولية. وفي الواقع، ٦٤ يساوي اثنين أس ستة. والآن بعد فصل العوامل التي لدينا، نحصل على سالب اثنين أس ستة أس واحد على ستة مضروبًا في ﺃ أس ١٢ أس واحد على ستة مضروبًا في ﺏ أس ١٨ أس واحد على ستة.
وباستخدام قاعدة القوة التي لدينا، يمكننا الآن كتابة المقدار على الصورة سالب اثنين أس ستة مضروبًا في واحد على ستة مضروبًا في ﺃ أس ١٢ مضروبًا في واحد على ستة في ﺏ أس ١٨ في واحد على ستة. وبما أن ستة مضروبًا في واحد على ستة يساوي واحدًا، و١٢ مضروبًا في واحد على ستة يساوي اثنين، و١٨ مضروبًا في واحد على ستة يساوي ثلاثة، يصبح لدينا سالب اثنين أس واحد مضروبًا في ﺃ تربيع مضروبًا في ﺏ تكعيب. وبما أن أي عدد أس واحد يساوي العدد نفسه، فإن المقدار سالب ٦٤ مضروبًا في ﺃ أس ١٢ مضروبًا في ﺏ أس ١٨ الكل أس واحد على ستة يساوي سالب اثنين ﺃ تربيع ﺏ تكعيب.
والآن، نتناول مثالًا آخر أكثر تعقيدًا، حيث نبسط مقدارًا ذا أس كسري.
أوجد مفكوك سالب ﺃ تكعيب زائد واحد على ﺃ تربيع الكل أس ١٠ الكل أس واحد على خمسة، حيث ﺃ ثابت حقيقي.
لدينا هنا مقدار بدلالة ثابت حقيقي هو ﺃ، وهو مرفوع للقوة ١٠. ولدينا سالب هذا المقدار، الكل ذو أس كسري هو واحد على خمسة. ولتبسيط هذا المقدار أو فكه، سنستخدم قانون القوة للأسس، الذي يخبرنا أن ﺃ أس ﻥ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﻡ. أولًا نلاحظ أن إشارة السالب تعني أننا نضرب ما بداخل القوسين في سالب واحد. وباستخدام قانون القوة الذي لدينا، نحصل على سالب واحد أس واحد على خمسة مضروبًا في ﺃ تكعيب زائد واحد على ﺃ تربيع أس ١٠، الكل أس واحد على خمسة.
والآن، وبعد ملاحظة أن ضرب سالب واحد في نفسه خمس مرات يساوي سالب واحد، يمكننا القول إن الجذر الخامس لسالب واحد هو سالب واحد أيضًا. وبهذا، وبالإضافة إلى قاعدة القوة للأسس، نحصل على سالب ﺃ تكعيب زائد واحد على ﺃ تربيع أس ١٠ مضروبًا في واحد على خمسة. الأس ١٠ مضروبًا في واحد على خمسة يساوي ١٠ على خمسة؛ وهو ما يساوي اثنين. وبعد إفساح بعض المساحة، يصبح لدينا سالب ﺃ تكعيب زائد واحد على ﺃ تربيع الكل تربيع.
والآن بتربيع المقدار، يصبح لدينا سالب ﺃ أس ستة زائد اثنين ﺃ تكعيب على ﺃ تربيع زائد واحد على ﺃ أس أربعة. وبقسمة بسط الحد الثاني ومقامه على ﺃ تربيع، نحصل على اثنين ﺃ. وبضرب الحدود في سالب واحد، يصبح لدينا سالب ﺃ أس ستة ناقص اثنين ﺃ ناقص واحد على ﺃ أس أربعة. ومن ثم فإن المقدار سالب ﺃ تكعيب زائد واحد على ﺃ تربيع أس ١٠ الكل أس واحد على خمسة يساوي سالب ﺃ أس ستة ناقص اثنين ﺃ ناقص واحد على ﺃ أس أربعة.
وقبل الانتقال إلى المثال التالي، هيا نراجع مرة ثانية ما نعرفه عن الأسس الكسرية. الأسس الكسرية أو النسبية هي أسس ذات بسط ومقام صحيحين، حيث المقام ﻥ لا يساوي صفرًا. وباستخدام قاعدة القوة للأسس، يمكننا القول إن ﺃ أس ﻡ على ﻥ يساوي ﺃ أس واحد على ﻥ أس ﻡ. وﺃ أس واحد على ﻥ هو الجذر النوني لـ ﺃ. إذن، لدينا في الواقع الجذر النوني لـ ﺃ أس ﻡ.
بصورة مكافئة، نأخذ الأس الكسري خارج القوسين. ومن ثم نجد أن ﺃ أس ﻡ على ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ الكل أس واحد على ﻥ. وهذا يساوي الجذر النوني لـ ﺃ أس ﻡ. وهكذا نجد أن ﺃ أس ﻡ على ﻥ، ذا الأس الكسري، يساوي الجذر النوني لـ ﺃ الكل أس ﻡ. وهذا يساوي الجذر النوني لـ ﺃ أس ﻡ.
وسوف نستخدم ذلك في المثال التالي مع تحليل العوامل الأولية لتجزئة الأساسات. وهذا يمكن أن يساعدنا في تبسيط بعض المقادير العددية المعقدة ذات الأساسات المختلفة.
بسط ٣٦ أس واحد على أربعة مضروبًا في ٢١ تربيع مضروبًا في ثمانية أس واحد على خمسة الكل مقسوم على ٤٨٦ أس واحد على ١٠ مضروبًا في اثنين وأربعين تكعيب.
لدينا مقدار كسري مطلوب تبسيطه، حيث يتكون كل من البسط والمقام من أعداد صحيحة مرفوعة لقوى كسرية، أي حيث تكون الأسس كسورًا. ولنفعل ذلك، سنستخدم قوانين الأسس كما هو موضح. لكن علينا أولًا تحليل الأساسات التي لدينا، وهي: ٣٦، و٢١، وثمانية، و٤٨٦، و٤٢، إلى عواملها الأولية. نعلم أن ٣٦ يساوي ثلاثة تربيع مضروبًا في اثنين تربيع، و٢١ يساوي ثلاثة في سبعة، وثمانية يساوي اثنين تكعيب، و٤٨٦ يساوي اثنين مضروبًا في ثلاثة أس خمسة، و٤٢ يساوي اثنين مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في سبعة.
والآن، يصبح المقدار الذي لدينا ثلاثة تربيع مضروبًا في اثنين تربيع أس واحد على أربعة مضروبًا في ثلاثة في سبعة الكل تربيع مضروبًا في اثنين تكعيب أس واحد على خمسة الكل مقسوم على اثنين مضروبًا في ثلاثة أس خمسة الكل أس واحد على ١٠ مضروبًا في اثنين في ثلاثة في سبعة الكل تكعيب. باستخدام القاعدة رقم واحد، يمكننا وضع الأسس داخل الأقواس. كما يمكننا في الوقت نفسه استخدام القاعدة رقم أربعة؛ وهي قاعدة القوة. وبملاحظة أن اثنين على أربعة يساوي نصفًا، وخمسة على ١٠ يساوي نصفًا أيضًا، ثم تجميع الأساسات المتشابهة في كل من البسط والمقام، نحصل على ثلاثة أس نصف مضروبًا في ثلاثة تربيع مضروبًا في اثنين أس نصف مضروبًا في اثنين أس ثلاثة على خمسة مضروبًا في سبعة تربيع الكل مقسوم على ثلاثة أس نصف مضروبًا في ثلاثة تكعيب مضروبًا في اثنين أس واحد على ١٠ مضروبًا في اثنين تكعيب مضروبًا في سبعة تكعيب.
وعند هذه النقطة، يمكننا استخدام قاعدة القوة رقم ثلاثة وقاعدة الأسس السالبة رقم خمسة لجمع الأسس لكل أساس من الأساسات التي لدينا؛ من ثم يكون لدينا ثلاثة أس نصف زائد اثنين ناقص نصف ناقص ثلاثة مضروبًا في اثنين أس نصف زائد ثلاثة أخماس ناقص عشر ناقص ثلاثة مضروبًا في سبعة أس اثنين ناقص ثلاثة. إيجاد قيمة نصف زائد اثنين ناقص نصف ناقص ثلاثة يعطينا سالب واحد. وبالمثل في قوة اثنين لدينا نصف زائد ثلاثة أخماس ناقص عشر ناقص ثلاثة يساوي سالب اثنين. وفي قوة سبعة، اثنان ناقص ثلاثة يساوي سالب واحد. وهكذا يصبح لدينا ثلاثة أس سالب واحد مضروبًا في اثنين أس سالب اثنين مضروبًا في سبعة أس سالب واحد.
وباستخدام القاعدة خمسة مرة أخرى، يصبح لدينا واحد على ثلاثة مضروبًا في اثنين تربيع مضروبًا في سبعة. وحساب ذلك يعطينا واحدًا على ٨٤. وعليه، فإن المقدار ٣٦ أس واحد على أربعة مضروبًا في ٢١ تربيع مضروبًا في ثمانية أس واحد على خمسة الكل مقسوم على ٤٨٦ أس واحد على ١٠ مضروبًا في ٤٢ تكعيب يمكن تبسيطه إلى واحد على ٨٤.
أما إذا كان الأساس عشريًّا، فإننا نكتبه على صورة كسر، ثم نحلل بسط هذا الكسر ومقامه إلى عواملهما الأولية. ولنر مثالًا لذلك.
بسط ٠٫٢٥ أس ثلاثة على اثنين مضروبًا في ١٫٨ تربيع الكل على ثمانية أس اثنين على ثلاثة.
في هذا المثال، نريد تبسيط مقدار عددي يتضمن أعدادًا عشرية وأسسًا كسرية. هيا نبدأ بكتابة بعض قوانين الأسس التي سوف نحتاج إليها. لكن قبل أن نستخدم هذه القوانين، دعونا نكتب كل عدد من الأعداد العشرية على صورة كسر. وبعد ذلك، يمكننا التعبير عن هذه الكسور بدلالة عواملها الأولية. الأساسات التي لدينا هي ٠٫٢٥ و١٫٨ وثمانية. ونعرف أن ٠٫٢٥ يساوي ربعًا، وهو ما يساوي واحدًا على اثنين تربيع. و ١٫٨ يساوي تسعة على خمسة، وهو ما يساوي ثلاثة تربيع على خمسة. كما نعرف أن ثمانية يساوي اثنين تكعيب. من ثم يمكن كتابة المقدار الذي لدينا على الصورة واحد على اثنين تربيع أس ثلاثة على اثنين مضروبًا في ثلاثة تربيع على خمسة الكل تربيع الكل على اثنين تكعيب أس اثنين على ثلاثة.
والآن باستخدام القاعدة اثنين والقاعدة أربعة، يصبح المقدار لدينا واحدًا على اثنين أس اثنين مضروبًا في ثلاثة على اثنين الكل مضروبًا في ثلاثة أس اثنين في اثنين الكل على خمسة تربيع. وكل ذلك على اثنين أس ثلاثة مضروبًا في اثنين على ثلاثة. وبإيجاد قيم الأسس التي لدينا، نحصل على اثنين مضروبًا في ثلاثة على اثنين يساوي ثلاثة، واثنين تربيع يساوي أربعة، وثلاثة مضروبًا في اثنين على ثلاثة يساوي اثنين. ما لدينا الآن هو ثلاثة أس أربعة على اثنين تكعيب مضروبًا في اثنين تربيع مضروبًا في خمسة تربيع. ويمكننا جمع أسي العدد اثنين باستخدام القاعدة رقم ثلاثة، وهكذا نحصل على ثلاثة أس أربعة على اثنين أس خمسة مضروبًا في خمسة تربيع. وبحساب ذلك، نحصل على ٨١ على ٨٠٠. من ثم فإن المقدار المعطى لدينا: ٠٫٢٥ أس ثلاثة على اثنين مضروبًا في ١٫٨ تربيع الكل مقسوم على ثمانية أس اثنين على ثلاثة يمكن تبسيطه إلى ٨١ على ٨٠٠.
وفي المثال الأخير نبسط مقدارًا يحتوي على أسس كسرية وأسس ذات متغير سالب.
بسط ٢٥ أس ثلاثة على اثنين ﺱ مضروبًا في ثمانية أس ﺱ ناقص خمسة على ثلاثة الكل مقسوم على ١٠٠ أس ثلاثة على اثنين ﺱ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ١٠٠.
في هذا المثال، يتضمن المقدار الذي نريد تبسيطه أسسًا كسرية وسالبة. إذن، هيا نكتب قوانين الأسس التي نحتاج إلى استخدامها. والآن، بافتراض أن ﺱ عدد حقيقي، لنبدأ بالنظر إلى الأسس في كل عامل من العوامل. في العامل الأول، وهو ٢٥ أس ثلاثة على اثنين ﺱ. يمكننا استخدام القاعدة أربعة لإدخال الأس نصف. وبما أننا نعلم أن ٢٥ أس نصف يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٥، وهو ما يساوي خمسة، فإن العامل الأول هو خمسة أس ثلاثة ﺱ.
العامل الثاني الموجود لدينا في البسط هو ثمانية أس ﺱ ناقص خمسة على ثلاثة. ويمكننا استخدام قاعدة الضرب رقم ثلاثة لتجزئته إلى ثمانية أس ﺱ مضروبًا في ثمانية أس سالب خمسة على ثلاثة. وبعد ذلك، نستخدم القاعدة أربعة في الجزء الثاني من ذلك للحصول على ثمانية أس ﺱ مضروبًا في ثمانية أس واحد على ثلاثة أس سالب خمسة. ونعرف أن ثمانية أس واحد على ثلاثة يساوي اثنين؛ لأن ثمانية أس واحد على ثلاثة يساوي الجذر التكعيبي لثمانية. وبما أن ثمانية يساوي اثنين مضروبًا في اثنين في اثنين، فإنه يساوي اثنين تكعيب. الجذر التكعيبي لثمانية هو اثنان. من ثم فإن ثمانية أس ﺱ ناقص خمسة على ثلاثة يساوي ثمانية أس ﺱ مضروبًا في اثنين أس سالب خمسة.
والآن باستخدام القاعدة رقم أربعة مرة أخرى مع ١٠٠ أس ثلاثة على اثنين ﺱ، يصبح لدينا ١٠٠ أس نصف أس ثلاثة ﺱ. ونحن نعرف أن ١٠٠ أس نصف، أي الجذر التربيعي لـ ١٠٠، يساوي ١٠. ومن ثم فإن ١٠٠ أس ثلاثة على اثنين ﺱ يساوي ١٠ أس ثلاثة ﺱ. والآن، وبعد إفساح بعض المساحة، لدينا ٢٥ أس ثلاثة على اثنين ﺱ يساوي خمسة أس ثلاثة ﺱ. وثمانية أس ﺱ ناقص خمسة على ثلاثة يساوي ثمانية أس ﺱ مضروبًا في اثنين أس سالب خمسة. و ١٠٠ أس ثلاثة على اثنين ﺱ يساوي ١٠ أس ثلاثة ﺱ. والعامل الأخير في المقام لدينا هو الجذر التربيعي لـ ١٠٠، وهو ١٠.
ومن ثم، يصبح المقدار الموجود لدينا خمسة أس ثلاثة ﺱ مضروبًا في ثمانية أس ﺱ مضروبًا في اثنين أس سالب خمسة الكل على ١٠ أس ثلاثة ﺱ مضروبًا في ١٠. والآن لتحليل الأساسين ثمانية و١٠ إلى عواملهما الأولية، نعلم أن ثمانية يساوي اثنين تكعيب و١٠ يساوي اثنين في خمسة. فنحصل الآن على خمسة أس ثلاثة ﺱ مضروبًا في اثنين تكعيب أس ﺱ مضروبًا في اثنين أس سالب خمسة الكل على اثنين في خمسة أس ثلاثة ﺱ مضروبًا في اثنين في خمسة.
والآن باستخدام القاعدتين واحد وأربعة، يمكننا إدخال الأسس. ويمكننا قسمة كل من البسط والمقام على خمسة أس ثلاثة ﺱ، وكذلك على اثنين أس ثلاثة ﺱ. ويتبقى لدينا اثنان أس سالب خمسة على اثنين مضروبًا في خمسة. وباستخدام القاعدة رقم خمسة، نجد أن اثنين أس سالب خمسة يساوي واحدًا على اثنين أس خمسة. وبذلك يصبح لدينا واحد على اثنين مضروبًا في اثنين أس خمسة مضروبًا في خمسة. وبناء على القاعدة رقم ثلاثة، فإن هذا يساوي واحدًا على اثنين أس ستة مضروبًا في خمسة. وبما أن اثنين أس ستة يساوي ٦٤، فإننا نحصل على واحد على ٦٤ مضروبًا في خمسة، وهو ما يساوي واحدًا على ٣٢٠.
المقدار ٢٥ أس ثلاثة على اثنين ﺱ مضروبًا في ثمانية أس ﺱ ناقص خمسة على ثلاثة الكل مقسوم على ١٠٠ أس ثلاثة على اثنين ﺱ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ١٠٠ يساوي بعد تبسيطه واحدًا على ٣٢٠.
والآن، هيا نختتم هذا الفيديو بتذكر بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها. لقد استخدمنا قوانين الأسس للأساسين ﺃ وﺏ، والأسين الكسريين ﻥ، وﻡ. لدينا قاعدتا الضرب، وهما: ﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﺃ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ زائد ﻡ؛ وهذا بجمع الأسين. وﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺏ الكل أس ﻥ. لدينا قاعدة الأس السالب، وهي ﺃ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺃ أس ﻥ. وتخبرنا قاعدتا خارج القسمة بأن ﺃ أس ﻥ على ﺃ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. وبأن ﺃ أس ﻥ على ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ على ﺏ الكل أس ﻥ.
وأخيرًا، قواعد القوة ﺃ أس ﻥ الكل أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﻡ. وﺃ ذو الأس الكسري ﻥ على ﻡ يساوي الجذر الميمي لـ ﺃ أس ﻥ. كما نلاحظ أن ﺃ أس صفر يساوي واحدًا لأي ﺃ لا يساوي صفرًا، وأن واحدًا أس ﻝ يساوي واحدًا لأي عدد نسبي ﻝ. عند تبسيط المقادير العددية ذات الأساسات أو الأسس المختلفة، يمكننا استخدام التحليل إلى العوامل الأولية لتبسيط الأساسات، وجمع الأساسات المتشابهة. وبعد ذلك نستخدم قوانين الأسس لتبسيط المقادير.
