فيديو السؤال: حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام الرياضيات

أوجد مجموعة حل المعادلة (٣‏/‏(ﺱ + ٣)) − (٤‏/‏(ﺱ − ٣)) = ٣ في ﺡ، مقربًا الناتج لأقرب منزلة عشرية.

٠٥:٥١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل المعادلة ثلاثة على ﺱ زائد ثلاثة ناقص أربعة على ﺱ ناقص ثلاثة يساوي ثلاثة في مجموعة الأعداد الحقيقية، مقربًا الناتج لأقرب منزلة عشرية.

قد لا يتضح مباشرة كيف يمكننا حل المعادلة الموضحة في هذا السؤال. إحدى طرق حل معادلة من هذا النوع هي محاولة التخلص من المقامين من خلال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهما. عند جمع ثلث وربع، فإن أسهل طريقة لإيجاد مقام متشابه هي ضرب المقامين معًا. ثلاثة في أربعة يساوي ١٢. إذن، فإن المقام المتشابه يساوي ١٢. على الرغم من أن المعادلة أكثر تعقيدًا، يمكننا استخدام الطريقة نفسها. لدينا مقامان هما ﺱ زائد ثلاثة وﺱ ناقص ثلاثة. بضربهما معًا، نحصل على ﺱ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة. بضرب كل حد من الحدود الثلاثة في المعادلة في ذلك، فإننا سنتمكن من استبعاد المقامين.

بضرب الحد الأول في ﺱ زائد ثلاثة وﺱ ناقص ثلاثة، نحصل على ثلاثة مضروبًا في ﺱ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة مقسومًا على ﺱ زائد ثلاثة. يمكن تبسيط ذلك إلى ثلاثة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة. ويصبح الحد الثاني سالب أربعة مضروبًا في ﺱ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة مقسومًا على ﺱ ناقص ثلاثة. يمكننا هذه المرة حذف العامل ﺱ ناقص ثلاثة من البسط والمقام، فيتبقى لدينا سالب أربعة مضروبًا في ﺱ زائد ثلاثة. في الطرف الأيسر، لدينا ثلاثة مضروبًا في ﺱ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة.

في هذه المرحلة، يمكننا ملاحظة أن ﺱ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة هو تحليل الفرق بين مربعين. نحن نعلم أن ﺱ تربيع ناقص ﺃ تربيع يساوي ﺱ زائد ﺃ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺃ. يعني ذلك أن ﺱ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة يساوي ﺱ تربيع ناقص تسعة. يصبح الطرف الأيسر من المعادلة ثلاثة مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص تسعة.

الخطوة التالية هي توزيع الأقواس أو فكها. يعطينا ذلك ثلاثة ﺱ ناقص تسعة. في الطرف الأيمن، لدينا أيضًا سالب أربعة ﺱ ناقص ١٢. وفي الطرف الأيسر، لدينا ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ٢٧. يبسط الطرف الأيمن إلى سالب ﺱ ناقص ٢١. يمكننا بعد ذلك إضافة ﺱ و٢١ إلى طرفي المعادلة حيث ثلاثة ﺱ تربيع زائد ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا. هذه معادلة تربيعية مكتوبة على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا.

نحن نعلم أن إحدى طرق حل معادلة من هذا النوع، حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت وﺃ لا يساوي صفرًا، هي استخدام القانون العام. وينص على أن ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل مقسومًا على اثنين ﺃ. إذا كانت قيمة ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ، والتي تعرف باسم المميز، أكبر من أو يساوي صفرًا، فستكون للمعادلة حلول حقيقية. في هذه المعادلة، قيم ﺃ وﺏ وﺟ هي ثلاثة، وواحد، وسالب ستة، على الترتيب. يعني ذلك أن ﺱ يساوي سالب واحد زائد أو ناقص الجذر التربيعي لواحد تربيع ناقص أربعة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في سالب ستة الكل مقسومًا على اثنين مضروبًا في ثلاثة. يبسط ذلك إلى سالب واحد زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ٧٣ الكل مقسومًا على ستة.

لدينا حلان ممكنان: إما ﺱ يساوي سالب واحد زائد الجذر التربيعي لـ ٧٣ على ستة أو ﺱ يساوي سالب واحد ناقص الجذر التربيعي لـ ٧٣ على ستة. بكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نجد أن ﺱ يساوي ١٫٢٥٧ وهكذا مع توالي الأرقام أو ﺱ يساوي سالب ١٫٥٩٠ وهكذا مع توالي الأرقام. المطلوب منا هو تقريب الحلول لأقرب منزلة عشرية. إذن، مجموعة حل المعادلة ثلاثة على ﺱ زائد ثلاثة ناقص أربعة على ﺱ ناقص ثلاثة يساوي ثلاثة تحتوي على القيمتين ١٫٣ وسالب ١٫٦ مقربتين لأقرب منزلة عشرية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.