نسخة الفيديو النصية
إذا كانت ﺹ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص واحد، فأوجد ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع.
لدينا ﺹ دالة في المتغير ﺱ، ومطلوب منا إيجاد مقدار يعبر عن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. هذه هي المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لذا، علينا اشتقاق المقدار الذي يعبر عن ﺹ مرتين. نلاحظ أن ﺹ عبارة عن تركيب من دالتين. إذن، يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة السلسلة. وستكون هذه الطريقة مناسبة. ولكن، باستخدام قوانين الأسس، يمكننا إعادة كتابة المقدار الذي يساويه ﺹ على صورة ﺱ ناقص واحد، الكل مرفوع للقوة نصف. هنا، الدالة الخارجية هي دالة قوة، ويمكننا اشتقاقها باستخدام القاعدة العامة للقوة. كلتا الطريقتين تمكننا من حل المسألة، والأمر يرجع إليك في استخدام الطريقة التي تفضلها.
في هذا الفيديو، سوف نستخدم القاعدة العامة للقوة. لعلنا نتذكر أنها تنص على أنه بالنسبة لأي ثابت حقيقي ﻥ ودالة قابلة للاشتقاق ﺩﺱ، فإن مشتقة ﺩﺱ الكل مرفوع للقوة ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻥ في ﺩ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺩﺱ الكل مرفوع للقوة ﻥ ناقص واحد. ويمكننا ملاحظة أن الأس ﻥ لدينا يساوي نصفًا، والدالة الداخلية ﺩﺱ هي الدالة الخطية ﺱ ناقص واحد. لاستخدام القاعدة العامة للقوة، نلاحظ أنه علينا إيجاد مقدار لـ ﺩ شرطة ﺱ. بما أن ﺩﺱ دالة خطية، فإن مشتقتها بالنسبة إلى ﺱ ستكون معامل ﺱ، وهو واحد.
والآن، بعد أن أوجدنا مقدارًا لـ ﺩ شرطة، يمكننا استخدام القاعدة العامة للقوة لإيجاد مقدار يمثل ﺩﺹ على ﺩﺱ. نعوض بـ ﻥ يساوي نصفًا، وﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص واحد، وﺩ شرطة ﺱ تساوي واحدًا في القاعدة العامة للقوة. هذا يعطينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي نصفًا في واحد مضروبًا في ﺱ ناقص واحد، الكل أس نصف ناقص واحد. يمكننا تبسيط المعامل والأس لنحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي نصفًا في ﺱ ناقص واحد، الكل أس سالب نصف. ويمكننا تبسيط ذلك باستخدام قوانين الأسس. لكن تذكر أننا نحاول إيجاد مقدار يعبر عن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. لذا، سيكون علينا اشتقاق ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
وبهذه الصورة الحالية، يمكننا اشتقاق هذا مرة أخرى باستخدام القاعدة العامة للقوة. وهذه المرة، يمكننا أن نلاحظ أن الأس ﻥ يساوي سالب نصف، والدالة الداخلية ﺩﺱ ما زالت تساوي ﺱ ناقص واحد. لذا، يمكننا استخدام القاعدة العامة للقوة لإيجاد مقدار للمشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وهذه المرة، قيمة ﻥ تساوي سالب نصف، وﺩ شرطة ما زالت تساوي واحدًا، وﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص واحد. وتذكر أنه بما أننا نضرب المقدار في نصف، فعلينا ضرب المشتقة في نصف. هذا يعطينا نصفًا في سالب نصف مضروبًا في واحد في ﺱ ناقص واحد أس سالب نصف ناقص واحد.
ومثلما فعلنا من قبل، يمكننا تبسيط المعامل والأس. وهذا يعطينا ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي سالب ربع في ﺱ ناقص واحد، الكل أس سالب ثلاثة على اثنين. ويمكننا أن نترك الإجابة بهذا الشكل. ولكن، يمكننا أيضًا تبسيط ذلك باستخدام قوانين الأسس. أولًا: تذكر أن رفع عدد لقوة سالبة يماثل القسمة على هذا العدد مرفوعًا للقوة الموجبة. ومن ثم، ﺃ أس سالب ثلاثة على اثنين يساوي واحدًا مقسومًا على ﺃ أس ثلاثة على اثنين. ولعلنا نتذكر أيضًا أن رفع عدد للقوة ثلاثة على اثنين يماثل تكعيب هذا العدد وأخذ الجذر التربيعي.
يمكننا استخدام ذلك لإعادة كتابة الإجابة. ونضع ﺃ يساوي ﺱ ناقص واحد. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أنه إذا كانت ﺹ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص واحد، فإن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب واحد على أربعة في الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص واحد، الكل تكعيب.
