فيديو الدرس: تمثيل الدوال التربيعية بيانيًا الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل الدوال التربيعية بيانيًا. وسنتناول الدوال المعطاة بالصورة القياسية وبصيغة رأس المنحنى. للتمثيلات البيانية للدوال التربيعية تطبيقات عديدة. فيمكن استخدامها لتمثيل مسارات الأجسام المتحركة، مثل كرة مرتدة أو حتى أنماط طيران النحل. في مجال الأعمال التجارية، يمكن استخدامها لتوقع الإيرادات. ويمكننا أيضًا استخدامها في تقليل حجم المخلفات الناتجة عن التغليف، على سبيل المثال. عند التعامل مع التمثيلات البيانية للدوال التربيعية، نتعامل عادة مع متغيرات مثل السرعة والتكلفة والمساحة وغيرها.

قبل أن نتناول أي تمثيلات بيانية محددة، دعونا نذكر أنفسنا بالصورة العامة للدالة التربيعية. عندما نتحدث عن الدوال التربيعية، تكون الصورة العامة لها هي ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت، وﺃ لا يمكن أن يساوي صفرًا. وتوجد صورة أخرى قد نرى بها الدوال التربيعية بهذا الشكل. ‏‏ﺩﺱ تساوي ﺃ في ﺱ ناقص ﻫ الكل تربيع زائد ﻙ، حيث ﺃ وﻫ وﻙ ثوابت، وﺃ لا يساوي صفرًا. ونسمي هذه الصورة صيغة رأس المنحنى. وتسمى بصيغة رأس المنحنى لأنه عندما تكتب الدالة التربيعية بهذه الصورة، يقع رأس هذا المنحنى عند النقطة ﻫ، ﻙ.

إذا كان لدينا هذا الرسم لدالة تربيعية، فسيقع الرأس هنا. رأس المنحنى هو القيمة العظمى في هذه الحالة؛ لأن المنحنى مفتوح لأسفل. وعندما يكون منحنى الدالة التربيعية مفتوحًا لأعلى، يمثل رأس المنحنى قيمة صغرى. نعلم أنه عندما يكون ﺃ أكبر من صفر، أي عندما يكون ﺃ موجبًا، فإن المنحنى سيكون مفتوحًا لأعلى. وعندما يكون ﺃ أصغر من صفر، أي عندما يكون ﺃ سالبًا، سيكون المنحنى مفتوحًا لأسفل. ولقد لاحظنا في صيغة رأس المنحنى الموضحة على اليمين أنه عند كتابتها على هذه الصورة، يكون رأس المنحنى عند النقطة ﻫ، ﻙ. أما عندما نفكر في الصورة العامة، فلا يمكننا تحديد رأس المنحنى بمجرد النظر إليها.

لكن لدينا بالفعل صيغة لإيجاد الرأس إذا كانت لدينا دالة على الصورة العامة. من الصورة العامة، نأخذ القيمة السالبة لـ ﺏ ونقسمها على اثنين في قيمة ﺃ. هذا يعطينا الإحداثي ﺱ للرأس. نأخذ الإحداثي ﺱ هذا ونعوض به في الدالة لإيجاد الإحداثي ﺹ للرأس. قبل متابعة الشرح، علينا أن نذكر صورة أخرى لرأس المنحنى. قد يستخدم بعض الأشخاص في الكتب المدرسية الصورة ﺩﺱ تساوي ﺃ في ﺱ زائد ﻡ الكل تربيع زائد ﻥ، حيث ﺃ وﻡ وﻥ ثوابت، وﺃ لا يساوي صفرًا.

هذه الصورة تتشابه إلى حد كبير مع صيغة رأس المنحنى الأولى التي رأيناها، مع فارق رئيس واحد. إذا كنت تستخدم هذه الصورة، فسيقع رأس المنحنى عند سالب ﻡ، ﻥ. وبالتمعن في هاتين الدالتين، يمكننا معرفة السبب. في الصورة الأولى، نطرح ﻫ من ﺱ. فيصبح الإحداثي ﺱ للرأس موجبًا. أما في الصورة الثانية، فنضيف هذا الثابت إلى ﺱ؛ ومن ثم علينا أن نأخذ القيمة السالبة باعتبارها الإحداثي ﺱ للرأس. إذن فإن كلتا الصورتين مقبولتان على حد سواء، طالما أننا نستخدمهما باتساق.

للاستعداد لتمثيل أي دالة تربيعية بيانيًا، سنتناول أربع خصائص مختلفة ستساعدنا في تمثيل هذه الدوال بيانيًا. أولًا، سنتناول شكل القطع المكافئ. ثانيًا، سنتناول الجزء المقطوع من المحور ﺹ في الدوال التربيعية. ثالثًا، سنتناول جذور الدالة أو أصفارها، وهي الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ للدالة. وأخيرًا، سنتناول الرأس أو نقطة تحول الدالة. لمساعدتنا على تناول كل خاصية من هذه الخصائص، سننظر إلى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص ثمانية. لإيجاد شكل القطع المكافئ، نود أن نعرف هل قيمة ﺃ أكبر من صفر أم أصغر من صفر؟ بعبارة أخرى، هل قيمة ﺃ موجبة أم سالبة؟

قيم ﺃ الموجبة تجعل الشكل مفتوحًا لأعلى، وقيم ﺃ السالبة تجعله مفتوحًا لأسفل. في هذه الحالة، معامل حد ﺱ تربيع هو واحد. وواحد أكبر من صفر. لذلك، سيكون شكل هذا المنحنى مفتوحًا لأعلى. بعد ذلك، نريد إيجاد نقطة التقاطع مع المحور ﺹ. نقطة التقاطع مع المحور ﺹ هي النقطة التي عندها ﺱ يساوي صفرًا. في هذه الحالة، هذا يساوي صفر تربيع ناقص اثنين في صفر ناقص ثمانية. ‏‏ﺩ صفر تساوي سالب ثمانية؛ ما يجعل نقطة التقاطع مع المحور ﺹ تقع عند صفر، سالب ثمانية. تجدر الإشارة هنا إلى أنه عندما نتعامل مع الصورة العامة لدالة تربيعية، نجد أن نقطة التقاطع مع المحور ﺹ موجودة دائمًا عند النقطة صفر، ﺟ. في هذه الدالة، ﺟ يساوي سالب ثمانية، وهو ما يؤكد أن نقطة التقاطع مع المحور ﺹ تقع عند صفر، سالب ثمانية.

ماذا عن جذور الدالة التربيعية؟ الجذور هي الموضع الذي تساوي فيه قيمة ﺩﺱ صفرًا. لإيجاد الجذور، علينا أن نساوي ﺩﺱ بالصفر ثم نحل لإيجاد قيمة ﺱ. عندما تكون المعادلة معطاة في الصورة العامة، يمكننا حلها باستخدام التحليل. لدينا حدان لـ ﺱ. علينا إيجاد عاملين عند ضربهما معًا نحصل على سالب ثمانية، وعند جمعهما معًا ينتج سالب اثنين، وهما إذن سالب أربعة وموجب اثنين. علينا بعد ذلك أن نساوي كلًا من هذين العاملين بالصفر. علينا أن نعرف متى ﺱ زائد اثنين سيساوي صفرًا، ومتى ﺱ ناقص أربعة سيساوي صفرًا. سيحدث ذلك عندما ﺱ يساوي سالب اثنين، وعندما ﺱ يساوي موجب أربعة. هذا يخبرنا بأن منحنى هذه الدالة التربيعية سيقطع المحور ﺱ عند النقطة سالب اثنين، صفر والنقطة أربعة، صفر.

الخاصية الأخيرة لدينا، وهي الرأس، ستكتب على الصورة ﻫ، ﻙ إذا كانت الدالة الأصلية مكتوبة بصيغة رأس المنحنى. لكن بما أن لدينا الصورة العامة فقط، فسيكون علينا حساب سالب ﺏ على اثنين ﺃ للإحداثي ﺱ، ثم نعوض بهذه القيمة لإيجاد قيمة الإحداثي ﺹ لهذا الرأس. سالب ﺏ على اثنين ﺃ سيساوي سالب سالب اثنين، أي موجب اثنين على اثنين في واحد. موجب اثنين على اثنين يساوي واحدًا. هذا يعني أن الإحداثي ﺱ لهذا الرأس يساوي واحدًا. ولإيجاد الإحداثي ﺹ لرأس المنحنى، نعوض عن ﺱ بواحد. نحصل بذلك على واحد تربيع ناقص اثنين في واحد ناقص ثمانية، وهو ما يساوي سالب تسعة. ومن ثم، يمكننا القول إن رأس منحنى هذه الدالة يقع عند النقطة واحد، سالب تسعة. ولأننا نعرف شكل هذه الدالة، يمكننا القول إن رأس المنحنى سيمثل إحداثي نقطة قيمة صغرى.

بمعرفة هذه الخصائص الأساسية، نكون مستعدين لرسم المنحنى. نعلم أن التقاطع مع المحور ﺹ يقع عند النقطة صفر، سالب ثمانية. ولدينا جذور عند النقطتين سالب اثنين، صفر وأربعة، صفر. ورأس المنحنى، أي إحداثي نقطة القيمة الصغرى، يقع عند النقطة واحد، سالب تسعة. لعلك تتذكر أيضًا أن هذه التمثيلات البيانية متماثلة حول محور التماثل الواقع على الخط الرأسي المار بالإحداثي ﺱ لرأس المنحنى. التفكير في محور التماثل يعطينا فكرة أفضل عن كيفية رسم المنحنى. وسنفعل ذلك الآن عن طريق توصيل هذه النقاط بعضها ببعض. وباتباع كل هذه الخصائص، نكون قد رسمنا دالة تربيعية بيانيًا. باستخدام هذه الخصائص الأربع، نكون مستعدين للنظر في بعض الأمثلة.

اكتب المعادلة التربيعية الممثلة في التمثيل البياني الموضح.

لكتابة هذه المعادلة، دعونا ننظر إلى بعض خصائص التمثيل البياني للدوال التربيعية، وهي الشكل، والجزء المقطوع من المحور ﺹ، والجذور، والرأس. لدينا أيضًا الصورة العامة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، أو صيغة رأس المنحنى ﺩﺱ يساوي ﺃ في ﺱ ناقص ﻫ تربيع زائد ﻙ. فيما يتعلق بالشكل، نلاحظ أن هذا القطع المكافئ مفتوح لأسفل. وهذا يعني أن قيمة ﺃ ستكون أصغر من صفر. هذا يعني أنها ستكون سالبة. أما التقاطع مع المحور ﺹ، فيقع هنا عند النقطة صفر، صفر؛ ما يعني أن الجذور هنا ستكون جذرًا واحدًا فقط عند النقطة صفر، صفر. وهذه هي النقطة التي تمثل الرأس، وهي نقطة القيمة العظمى لهذه الدالة.

إذا استخدمنا صيغة رأس المنحنى، فإننا نعرف أن رأس المنحنى يقع عند النقطة ﻫ، ﻙ. وبذلك يمكننا أن نأخذ هذا الرأس صفر، صفر ونعوض به في هذه الصيغة العامة لرأس المنحنى. عندما نبسط ذلك، نجد أن الدالة تساوي ﺃ في ﺱ تربيع. وهذا يعني أن علينا معرفة قيمة ﺃ. نعلم أن قيمة ﺃ سالبة. لكن لكي نعرف هذه القيمة بالضبط، علينا النظر إلى نقطة أخرى في التمثيل البياني. يمكننا استخدام إحدى النقاط الأخرى التي نعرفها من التمثيل البياني. على سبيل المثال، نعلم أن المنحنى يمر بالنقطة اثنين، سالب أربعة. إذن، نعوض عن ﺱ باثنين وعن ﺩﺱ بسالب أربعة. وبذلك يصبح لدينا سالب أربعة يساوي أربعة ﺃ.

بعد ذلك، نقسم كلا طرفي المعادلة على أربعة. ونلاحظ أن سالب واحد يساوي ﺃ أو ﺃ يساوي سالب واحد. نعوض بهذه القيمة عن ﺃ، وهو ما يعطينا سالب واحد في ﺱ تربيع. ويمكننا تبسيط ذلك إلى سالب ﺱ تربيع فقط. بذلك نكون قد أوجدنا المعادلة التربيعية الممثلة بالرسم البياني الموضح، وهيﺩﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع.

في المثال التالي، نبدأ بالمعادلة التربيعية ونريد إيجاد تمثيلها البياني.

أي من التمثيلات البيانية التالية يمثل المعادلة ﺹ يساوي سالب اثنين ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ ناقص سبعة؟

الدالة ﺩﺱ تساوي سالب اثنين ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ ناقص سبعة معطاة بالصورة العامة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ. لكن قبل أن نفعل أي شيء بالدالة، لننظر إلى كل من هذه التمثيلات البيانية. عندما ننظر إلى المنحنى (أ)، نجد أنه مفتوح لأعلى ورأسه يقع في الربع الرابع. والمنحنى (ب) مفتوح لأسفل ورأسه يقع في الربع الثاني. والمنحنى (ج) مفتوح لأسفل ورأسه يقع في الربع الأول. والمنحنى (د) مفتوح لأسفل ورأسه يقع في الربع الأول. والمنحنى (هـ) مفتوح لأعلى ورأسه يقع في الربع الرابع.

توجد طريقة جيدة لإيجاد التمثيل البياني، وهي إيجاد رأس المنحنى من المعادلة التي لدينا. عندما تكون لدينا معادلة في الصورة العامة، نجد أن رأس المنحنى هو سالب ﺏ على اثنين ﺃ. وهذا هو الإحداثي ﺱ. إذن نأخذ سالب تسعة على اثنين في سالب اثنين، وهو ما يساوي موجب ٢٫٢٥. هذا يعني أن الإحداثي ﺱ لرأس المنحنى يقع عند ٢٫٢٥. إذا رسمنا الخط ﺱ يساوي ٢٫٢٥ على جميع التمثيلات البيانية الخمسة، فسنرى أنه في التمثيل البياني (أ) يقطع الرأس، وفي التمثيل البياني (ج) يقطع الرأس أيضًا. على هذا الأساس، ليس أي من (ب) و(د) و(هـ) التمثيل البياني الذي نبحث عنه.

لإيجاد الإحداثي ﺹ لرأس المنحنى، يمكننا التعويض بـ ٢٫٢٥ في المعادلة. عندما نحسب ذلك، نحصل على ٣٫١٢٥. إذن يقع الرأس في (ج) عند ٣٫١٢٥. نلاحظ أيضًا أن قيمة ﺃ سالبة. وهذا يعني أن المنحنى يجب أن يكون مفتوحًا لأسفل. المنحنى في الخيار (أ) مفتوح لأعلى ورأسه يقع في موضع خاطئ. وبذلك، يمكننا القول إن الخيار (ج) هو التمثيل البياني الصحيح هنا.

إليك مثال آخر سنستخدم فيه تمثيلًا بيانيًا لكتابة معادلة تربيعية.

اكتب المعادلة التربيعية الممثلة في التمثيل البياني الموضح.

لدينا الصورة العامة للمعادلة التربيعية ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، وصيغة رأس المنحنى ﺃ في ﺱ ناقص ﻫ الكل تربيع زائد ﻙ. لإيجاد المعادلة، سنتناول بعض خصائص التمثيل البياني. شكل هذا المنحنى مفتوح لأسفل. وهذا يعني أننا نعرف أن قيمة ﺃ ستكون أصغر من صفر. بعبارة أخرى، ستكون سالبة. ولدينا تقاطع مع المحور ﺹ عند النقطة صفر، اثنين. عندما يتعلق الأمر بالجذور، لا يمكننا معرفتها بقدر كبير من الدقة. لذلك سنتركها الآن. الرأس هنا نقطة قيمة عظمى. ونعرف أين تقع هنا؛ فهي تقع عند النقطة واحد، ثلاثة.

ولأننا نعرف الرأس، يمكننا أن نبدأ بصيغة رأس المنحنى. رأس المنحنى هو ﻫ، ﻙ. ومن ثم، نعوض عن ﻫ بواحد وعن ﻙ بثلاثة. الشيء الوحيد الناقص لدينا الآن هو قيمة هذا المتغير ﺃ. فنحن نعلم أنه أصغر من صفر، لكننا لا نعرف قيمته بالضبط. ولإيجادها، يمكننا التعويض بنقطة أخرى من التمثيل البياني نعرفها بالفعل. إذا عوضنا عن ﺱ بصفر وعن ﺩﺱ باثنين، فسنتمكن من الحل لإيجاد قيمة ﺃ. صفر ناقص واحد تربيع يساوي واحدًا، وواحد في ﺃ يساوي ﺃ؛ وهو ما يعني أن ﺃ زائد ثلاثة يساوي اثنين. واثنان ناقص ثلاثة يساوي سالب واحد، لذا يمكننا القول إن ﺃ يساوي سالب واحد.

نعود للمعادلة لنعوض بهذه القيمة. بدلًا من سالب واحد، يمكننا كتابة إشارة السالب فقط؛ ومن ثم نقول إن ﺩﺱ تساوي سالب ﺱ ناقص واحد الكل تربيع زائد ثلاثة. هذه هي صيغة رأس المنحنى الذي لدينا. إذا أردنا كتابة ذلك في الصورة العامة، فيمكننا فك ﺱ ناقص واحد الكل تربيع، وهو ما سيعطينا سالب ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد واحد زائد ثلاثة. ثم نوزع السالب. وعند تجميع الحدود المتشابهة، تصبح لدينا الصورة العامة سالب ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد اثنين. إذن، كل صورة من هاتين الصورتين هي الدالة التربيعية التي يمثلها هذا التمثيل البياني.

في المثال الأخير، لن نبحث عن صيغة رأس المنحنى أو الصورة القياسية لدالة تربيعية. وإنما سنبحث عن الصورة التحليلية.

اكتب المعادلة التربيعية الممثلة في التمثيل البياني الموضح. اكتب الإجابة في الصورة التحليلية.

لكي نفعل ذلك، دعونا ننظر في بعض خصائص التمثيل البياني للدوال التربيعية، مثل الشكل والجزء المقطوع من المحور ﺹ والجذور والرأس. شكل هذا القطع المكافئ مفتوح لأعلى. وهذا يعني أن قيمة ﺃ ستكون موجبة، أي أكبر من صفر. ولدينا التقاطع مع المحور ﺹ عند النقطة صفر، صفر. لإيجاد الجذور، نبحث عن الموضع الذي يتقاطع فيه المنحنى مع المحور ﺱ. لدينا هنا جذران عند صفر، صفر وعند خمسة، صفر. ورأس هذا المنحنى محدد. وهو إحداثي نقطة قيمة صغرى يقع عند اثنين ونصف، سالب ٦٫٢٥.

ما نريد فعله الآن هو التفكير في الجذور. تسمى الجذور أحيانًا بالحلول. وهي الموضع الذي تساوي فيه قيمة الدالة صفرًا. لدينا هنا حلان عند ﺱ يساوي صفرًا وعند ﺱ يساوي خمسة. يمكننا أخذ هذين الحلين وتحويلهما إلى عاملين. ولأن ﺱ هو نفسه ﺱ ناقص صفر، فإن ﺱ يساوي صفرًا هو أحد العاملين. وبالنسبة للعامل الثاني، سنقول إن ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا. بذلك، أصبح لدينا عاملان. لكننا ما زلنا لا نعرف قيمة ﺃ لأنه يوجد العديد من المعادلات التي بها العاملان ﺱ وﺱ ناقص خمسة. هذا يعني أن ﺩﺱ لا بد أن تساوي ﺃ في ﺱ في ﺱ ناقص خمسة.

لإيجاد قيمة ﺃ، يمكننا التعويض بإحداثيات نقاط نعرف أنها تقع على هذا التمثيل البياني. نعلم أنه عند ﺱ يساوي ٢٫٥، فإن قيمة ﺩﺱ تساوي سالب ٦٫٢٥. اثنان ونصف ناقص خمسة يساوي سالب اثنين ونصف. واثنان ونصف في سالب اثنين ونصف يساوي سالب ٦٫٢٥. وإذا قسمنا كلا طرفي المعادلة على سالب ٦٫٢٥، نرى أن ﺃ يساوي واحدًا. وإذا كان ﺃ يساوي واحدًا، فإن الصورة التحليلية لدينا هي ﺩﺱ تساوي ﺱ في ﺱ ناقص خمسة. علينا التحقق دائمًا من قيمة ﺃ هذه لأن، كما رسمت للتو أعلى هذا التمثيل البياني، لدينا هنا معادلة لها العوامل نفسها. ومع ذلك، في هذه الحالة، تكون قيمة ﺃ أصغر من الصفر لأن المنحنى مفتوح لأسفل؛ مما يعني أن معرفة العوامل فقط غير كافية. فعليك أيضًا التحقق من قيمة ﺃ.

قبل أن ننهي حديثنا، سنلخص ما تعلمناه في هذا الفيديو. باستخدام صورتي الدوال التربيعية، ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، وﺩﺱ تساوي ﺃ في ﺱ ناقص ﻫ الكل تربيع زائد ﻙ، يمكننا تحديد خصائص التمثيل البياني. بالنسبة للصورة العامة، ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، عندما تكون قيمة ﺃ أكبر من الصفر، يكون القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى. وعندما تكون قيمة ﺃ أصغر من الصفر، يكون القطع المكافئ مفتوحًا لأسفل. والتقاطع مع المحور ﺹ يقع عند النقطة صفر، ﺟ.

لإيجاد الإحداثي ﺱ لرأس المنحنى، نقسم سالب ﺏ على اثنين ﺃ. ولإيجاد الإحداثي ﺹ للرأس، عليك إيجاد الإحداثي ﺱ ثم التعويض به في الدالة. وبالنسبة للصورة ﺩﺱ تساوي ﺃ في ﺱ ناقص ﻫ الكل تربيع زائد ﻙ، فهي صيغة رأس المنحنى. وعندما تكون فيها قيمة ﺃ أكبر من الصفر، يكون القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى. وعندما تكون قيمة ﺃ أصغر من الصفر، يكون القطع المكافئ مفتوحًا لأسفل. ويقع الرأس عند النقطة ﻫ، ﻙ.