فيديو السؤال: إيجاد المساحة أسفل منحنى دالة مقلوب ذات أس زوجي سالب الرياضيات

أوجد مساحة المنطقة المستوية المحددة بالمنحنى ﺹ = ٨‏/‏ﺱ^٤ والخطوط المستقيمة ﺱ = ١، ﺱ = ٨، ﺹ = ٠، مقربة لأقرب جزء من مائة.

٠٥:٢٧

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مساحة المنطقة المستوية المحددة بالمنحنى ﺹ يساوي ثمانية مقسومًا على ﺱ أس أربعة، والخطوط المستقيمة ﺱ يساوي واحدًا، وﺱ يساوي ثمانية، وﺹ يساوي صفرًا، مقربة لأقرب جزء من مائة.

يطلب منا السؤال إيجاد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنى ﺹ يساوي ثمانية مقسومًا على ﺱ أس أربعة، والخطوط المستقيمة ﺱ يساوي واحدًا، وﺱ يساوي ثمانية، وﺹ يساوي صفرًا. ومطلوب منا أيضًا تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة.

نتذكر هنا أنه يمكننا حساب مساحة المنطقة أعلى المحور ﺱ والمحددة بالمنحنى ﺹ يساوي ﺩس، والخطين المستقيمين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ عندما يكون ﺃ أصغر من ﺏ باستخدام التكامل من ﺃ إلى ﺏ لـ ﺩس بالنسبة إلى ﺱ. وفي الحقيقة، يمكننا أيضًا استخدام هذا التكامل لحساب مساحة المنطقة أسفل المحور ﺱ والمحددة بالمنحنى ﺹ يساوي ﺩس، والخطين المستقيمين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ؛ حيث ﺃ أصغر من ﺏ. نفعل ذلك بحساب سالب التكامل من ﺃ إلى ﺏ لـ ﺩس بالنسبة إلى ﺱ.

والآن بما أن لدينا طريقة لحساب مساحة المنطقة أعلى المحور ﺱ أو أسفله، دعونا نرسم تمثيلًا بيانيًّا للمنطقة المعطاة لنا في السؤال. سنبدأ برسم الخطين الرأسيين ﺱ يساوي واحدًا وﺱ يساوي ثمانية، والخط الأفقي ﺹ يساوي صفرًا، وهو منطبق على المحور ﺱ. بعد ذلك، سنرسم التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ثمانية مقسومًا على ﺱ أس أربعة. نعرف أن التمثيل البياني لواحد مقسوم على ﺱ أس أربعة هو تمثيل بياني لدالة مقلوب. وﺱ مرفوع لأس زوجي. ومن ثم، سيقع تمامًا فوق المحور ﺱ. وبضرب ذلك في ﺃ، نحصل على تمدد رأسي بالعامل ثمانية. ومن ثم، فإنه سيظل أعلى المحور ﺱ.

حسنًا، لدينا الآن رسم توضيحي للمنطقة، التي سنسميها ﻡ. وبما أننا نعرف أن المنحنى ﺹ يساوي ثمانية مقسومًا على ﺱ أس أربعة سيظل أعلى المحور ﺱ، فإننا نعلم أن هذه المنطقة تقع أعلى المحور ﺱ. ومن الجدير بالذكر هنا أن هذه الصيغة لحساب المساحة لن تجدي نفعًا إذا حاولنا إجراء التكامل على منطقة يكون فيها المنحنى غير متصل. لكن المنحنى ﺹ يساوي ثمانية مقسومًا على ﺱ أس أربعة هو منحنى دالة كسرية. والحالة الوحيدة التي يمكن أن تكون فيها هذه الدالة غير متصلة هي عندما يساوي مقامها صفرًا. وهنا ستكون الدالة غير متصلة عند ﺱ يساوي صفرًا. لكن في حالتنا هذه، لدينا حدا التكامل حيث ﺱ يساوي واحدًا وﺱ يساوي ثمانية. إذن، المنحنى متصل خلال هذه المنطقة.

أصبحنا الآن مستعدين لمحاولة حساب مساحة المنطقة. نعرف أن هذه المساحة تساوي التكامل من واحد إلى ثمانية لثمانية مقسوم على ﺱ أس أربعة بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا إعادة كتابة ثمانية مقسوم على ﺱ أس أربعة على صورة ثمانية مضروب في ﺱ أس سالب أربعة. والآن، يمكننا حساب هذا التكامل بتذكر الثابتين ﺃ وﻥ، حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، ولإيجاد تكامل ﺃ مضروب في ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ، نضيف واحدًا إلى الأس ونقسم على هذا الأس الجديد. بعد ذلك، نضيف ثابت التكامل ﺙ.

وبإضافة واحد إلى الأس، نحصل على سالب ثلاثة. ثم نقسم ثمانية ﺱ أس سالب ثلاثة على سالب ثلاثة. وبما أننا نحسب تكاملًا محددًا، فلن نحتاج إلى إضافة ثابت التكامل. بحساب قيمة ذلك عند الحدين ﺱ يساوي واحدًا، وﺱ يساوي ثمانية، نحصل على ثمانية مضروب في ثمانية أس سالب ثلاثة على سالب ثلاثة ناقص ثمانية مضروب في واحد أس سالب ثلاثة على سالب ثلاثة. ما يساوي، مقربًا لأقرب جزء من مائة، ٢٫٦٦.

وبذلك، نكون قد أثبتنا أن المنطقة المحددة بالمنحنى ﺹ يساوي ثمانية مقسومًا على ﺱ أس أربعة والخطوط المستقيمة ﺱ يساوي واحدًا، وﺱ يساوي ثمانية، وﺹ يساوي صفرًا، مساحتها لأقرب جزء من مائة تساوي ٢٫٦٦.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.