فيديو السؤال: إيجاد النقطة التي تزيد من دالة الهدف بمعلومية التمثيل البياني للقيود الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

باستخدام البرمجة الخطية، أوجد القيمتين العظمى والصغرى للدالة ﺭ يساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ، علمًا بأن ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، ﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا، ﺱ زائد ﺹ أصغر من أو يساوي تسعة، ﺹ أكبر من أو يساوي خمسة.

لدينا أربع متباينات خطية للمتغيرين ﺱ وﺹ، وهذه هي القيود في المسألة. وبالإضافة إلى نص المسألة، لدينا كذلك تمثيل بياني ظللت فيه منطقة الحل، والتي تمثل مجموعة الحلول الممكنة. توضح هذه المنطقة المظللة منطقة تحقق القيود. فهذه مجموعة من الحلول الممكنة، التي تشكل مجالًا لدالة الهدف التي علينا إيجاد القيمتين العظمى أو الصغرى لها، أو كلتيهما كما هو مطلوب في هذه المسألة.

في هذه المسألة، تظهر منطقة الحل في شكل مثلث. وفي العادة تكون منطقة الحل في شكل مضلع في مسائل البرمجة الخطية. والمطلوب في المسألة إيجاد القيمتين العظمى والصغرى لدالة الهدف ﺭ يساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ في منطقة الحل هذه، حيث يعبر المتغيران ﺱ وﺹ عن الإحداثي ﺱ والإحداثي ﺹ لنقطة في منطقة الحل. قد تعتقد أن هذا سيكون صعبًا؛ لأنه يجب علينا التحقق من قيمة هذه الدالة لكل نقطة في هذا المثلث، ولكن كل ما علينا التحقق منه في الواقع هو الرؤوس.

إذ تتحقق دائمًا القيمتان العظمى والصغرى لدالة الهدف الخطية، مثل هذه الدالة، في رؤوس منطقة الحل. فما علينا إذن إلا إيجاد قيمة هذه الدالة في الرؤوس الثلاثة للمثلث. إذن ما قيمة الدالة في الرأس صفر، وتسعة؟ في دالة الهدف هذه ﺭ يساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ. وقيمة ﺱ هي صفر، وقيمة ﺹ هي تسعة. إذن نضرب أربعة في صفر ناقص ثلاثة في تسعة، وهذا يساوي سالب ٢٧.

نستخدم الخطوات نفسها للرأس صفر، وخمسة. فدالة الهدف لدينا تساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ. وبالتعويض عن القيمتين ﺱ وﺹ، نجد أن قيمة دالة الهدف في هذه النقطة هي سالب ١٥. وأخيرًا، لدينا الرأس أربعة، وخمسة الذي تكون فيه دالة الهدف أربعة في أربعة ناقص ثلاثة في خمسة، وهذا يساوي واحدًا.

ومن ثم، فإن قيم دالة الهدف في الرؤوس هي سالب ٢٧ وسالب ١٥ وواحد. ومن بين هذه القيم الثلاثة، تكون القيمة الصغرى سالب ٢٧ والقيمة العظمى واحدًا. وهاتان القيمتان لا تمثلان القيمة الصغرى والعظمى في رؤوس منطقة الحل فحسب، بل هما القيمتان الصغرى والعظمى في منطقة الحل بأكملها، بما في ذلك المنطقة الداخلية والحدود.

وبذلك تكون القيمتان الصغرى والعظمى للدالة ﺭ يساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ علمًا بأن ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، وﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا، وﺱ زائد ﺹ أصغر من أو يساوي تسعة، وﺹ أكبر من أو يساوي خمسة؛ هما سالب ٢٧ وواحد.