فيديو الدرس: تشابه المضلعات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد تشابه المضلعات ونثبته، ونكتب ترتيب الرءوس المتناظرة، ونستخدم التشابه لحل المسائل. دعونا نبدأ بتذكر أن المضلعات هي أشكال ثنائية الأبعاد لها أضلاع مستقيمة. على سبيل المثال، المربعات والمستطيلات والمثلثات وحتى الأشكال السداسية جميعها مضلعات. من المهم أن نتذكر أن المضلعات التي لها نفس الشكل والقياسات تسمى مضلعات متطابقة، في حين أن المضلعات المتشابهة يكون لها نفس الشكل ولكن ربما يكون لها قياسات مختلفة. لذا دعونا نحدد ما نعنيه بالضبط بالمضلعات المتشابهة. نقول إن مضلعين متشابهان إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة، أي متساوية في القياس، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة.

دعونا نتناول مثالًا يوضح ما نعنيه بهذا. لدينا هنا شكلان رباعيان ﺃﺏﺟﺩ، وﻡﻥﺭﺱ. إذا أردنا قول إن هذين الشكلين متشابهان، يمكننا استخدام هذا الخط المتموج، ما يعني أنهما متشابهان. إذن، الشكل ﺃﺏﺟﺩ يشابه الشكل ﻡﻥﺭﺱ. ولأن الشكلين متشابهان، فإننا نعرف أن الزوايا المتناظرة متطابقة. على سبيل المثال، قياس الزاوية ﺃ يساوي قياس الزاوية ﻡ. الزاوية المناظرة للرأس ﺏ هي تلك الزاوية عند الرأس ﻥ. إذن، قياس الزاوية ﺏ يساوي قياس الزاوية ﻥ. قياس الزاوية ﺟ مطابق لقياس الزاوية ﺭ. وقياس الزاوية ﺩ مطابق لقياس الزاوية ﺱ.

يمكننا أيضًا التفكير في الأضلاع المتناظرة. الأضلاع المتناظرة هنا هما القطعتان المستقيمتان ﺃﺏ، وﻡﻥ والقطعتان المستقيمتان ﺏﺟ، وﻥﺭ والقطعتان المستقيمتان ﺟﺩ، وﺭﺱ، والقطعتان المستقيمتان ﺩﺃ، وﺱﻡ. وبما أننا نعلم أن الأضلاع المتناظرة متناسبة، يمكننا قول إن ﺃﺏ على ﻡﻥ يساوي ﺏﺟ على ﻥﺭ يساوي ﺟﺩ على ﺭﺱ يساوي ﺩﺃ على ﺱﻡ. لكن لا يهم إذا قمنا بتبديل جميع حدود البسط والمقام في صيغة التشابه لتصبح بالصورة الموضحة؛ لأننا في الحقيقة نكتب علاقة التناسب بين الأضلاع المتناظرة.

قبل أن نتناول بعض الأمثلة، هناك نقطة أخيرة يجب الإشارة إليها بشأن صيغة التشابه. كتبنا من قبل أن الشكل ﺃﺏﺟﺩ يشابه الشكل ﻡﻥﺭﺱ، لكن هناك طرقًا أخرى كان يمكننا من خلالها التعبير عن هذا التشابه. على سبيل المثال، كان بإمكاننا قول إن الشكل ﺏﺟﺩﺃ يشابه الشكل ﻥﺭﺱﻡ أو الشكل ﺟﺏﺃﺩ يشابه الشكل ﺭﻥﻡﺱ. الأمر المهم هو أن تكتب الرءوس المتناظرة في نفس الموضع في علاقة التشابه. بذلك نكون قد عرفنا الترميز المستخدم في التشابه. سنتعرف الآن على كيفية استخدام تعريف المضلعات المتشابهة هذا لتحديد إذا ما كان مضلعان متشابهين أم لا.

هل المضلعان متشابهان؟

نعلم أن أي مضلعين يكونان متشابهين إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة وأضلاعهما المتناظرة متناسبة. حسنًا، دعونا نلق نظرة على الشكلين الرباعيين المعطيين. نلاحظ أن لدينا زاويتين في مضلع تطابقان نظيرتيهما في المضلع الآخر. قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي قياس الزاوية ﻭﺯﺡ؛ لأن كلًّا منهما يساوي ١٠٣ درجات. وقياس الزاوية ﺏﺟﺩ يساوي قياس الزاوية ﺯﺡﻫ؛ لأن كلًّا منهما يساوي ٨٤ درجة. يمكننا حساب قياس الزاوية عند ﺩﺃﺏ بتذكر أن مجموع قياسات الزوايا في أي شكل رباعي يساوي ٣٦٠ درجة. إذن، إذا جمعنا قياسات الزوايا الثلاثة هذه، ٩٥ درجة و١٠٣ درجات و٨٤ درجة، وطرحنا الناتج من ٣٦٠ درجة، فسنحصل على قياس الزاوية ﺩﺃﺏ. وعندما نفعل ذلك نحصل على زاوية قياسها ٧٨ درجة.

يمكننا استخدام الطريقة نفسها، وحقيقة أن مجموع قياسات الزوايا في أي شكل رباعي يساوي ٣٦٠ درجة لحساب قياس الزاوية ﻭﻫﺡ. لكن إذا فكرنا في ذلك منطقيًّا فسنجد أننا نعلم بالفعل أنه إذا كان لدينا ثلاث زوايا قياساتها ٧٨ درجة و١٠٣ درجات و٨٤ درجة، فعلينا إضافة ٩٥ درجة لنحصل على الناتج ٣٦٠ درجة. إذن، لا بد أن قياس الزاوية ﻭﻫﺡ يساوي ٩٥ درجة.

يمكننا الآن ملاحظة أننا حققنا الجزء الأول من شروط التشابه هذه، وهو أن الزوايا المتناظرة متطابقة. لكن علينا أيضًا التحقق من أن الأضلاع المتناظرة متناسبة. الضلع الذي يناظر الضلع ﺃﺏ هو ﻭﺯ. والضلع المناظر للضلع ﺏﺟ هو ﺯﺡ. زوجا الأضلاع المتناظرة المتبقيان هما ﺟﺩ وﺡﻫ، وﺩﺃ وﻭﻫ. إذا استطعنا قول إن جميع هذه النسب متساوية، فسيكون المضلعان متشابهين. يمكننا التحقق من ذلك بكتابة المعطيات المتعلقة بالأطوال لدينا. سنبدأ بـ ﺃﺏ، وﻭﺯ حيث ﺃﺏ يساوي ٢٠ سنتيمترًا، وﻭﺯ يساوي ١٤ سنتيمترًا. يمكن تبسيط النسبة ٢٠ على ١٤ إلى ١٠ على سبعة. لدينا بعد ذلك ﺏﺟ على ﺯﺡ، وهو ما يساوي ١٦ على ١١.

يمكننا في هذه المرحلة الاستمرار في كتابة النسب الأخرى بالطريقة الموضحة. لكننا نعلم أن ١٦ على ١١ لا يساوي ١٠ على سبعة. وهذا يكفي لإثبات أن الأضلاع المتناظرة في هذين المضلعين ليست متناسبة. على الرغم من أن لدينا ضلعين آخرين بنفس تناسب ﺃﺏ على ﻭﺯ، لكن ليست جميع الأضلاع المتناظرة متناسبة. إذن، الإجابة هي لا، المضلعان ليسا متشابهين.

سنفكر الآن في كيفية اعتبار المضلعات المتشابهة تمددًا بعضها لبعض. إذا كان معامل قياس التشابه أو نسبة التكبير تساوي واحدًا، فإن المضلعات تكون متطابقة. دعونا نفكر الآن في كيفية إيجاد نسبة التكبير، التي ستكون مفيدة عند إيجاد طول ضلع مجهول. سنفترض أننا نعلم أن المثلث ﺃﺏﺟ يشابه المثلث ﻡﻥﻭ. وتشابه هذين المثلثين يعني أن أضلاعهما المتناظرة متناسبة. بما أن الضلعين ﺃﺏ، وﻡﻥ متناظران، يمكننا كتابة التناسب على الصورة ﻡﻥ على ﺃﺏ، وهو ما يساوي ثمانية على أربعة، ويمكن تبسيط ذلك إلى اثنين. نسبة التكبير أو معامل قياس التشابه من المثلث ﺃﺏﺟ إلى المثلث ﻡﻥﻭ هي اثنان.

يمكننا إيجاد معامل قياس التشابه بصورة عكسية بجعل ضلع المثلث ﺃﺏﺟ هو البسط وضلع المثلث ﻡﻥﻭ هو المقام. وتكون النسبة هذه المرة أربعة على ثمانية؛ أي نصفًا. بدلًا من ذلك، إذا أردنا إيجاد معامل قياس التشابه بصورة عكسية؛ حيث إننا في هذا الاتجاه نضرب في اثنين، علينا أن نوجد المقلوب أو نقسم على اثنين. لكن يجب أن يعطى معامل قياس التشابه بدلالة مضاعف، والقسمة على اثنين تكافئ الضرب في نصف.

دعونا نفترض على سبيل المثال أننا نريد إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ. حسنًا، نحن نعلم أن طول الضلع المناظر ﻡﻭ يساوي ١١ سنتيمترًا، ونسبة التكبير من المثلث ﻡﻥﻭ إلى المثلث ﺃﺏﺟ تساوي نصفًا. ‏١١ مضروبًا في نصف يساوي ٥٫٥ سنتيمترات. تجدر الإشارة إلى أن هذا يكافئ إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ بكتابة معادلة واحدة. على سبيل المثال، يمكننا قول إن ﺃﺟ على ﻡﻭ يساوي ﺃﺏ على ﻡﻥ. عند كتابة أطوال الأضلاع، يصبح لدينا ﺃﺟ على ١١ يساوي أربعة أثمان. بإعادة الترتيب والتبسيط، نجد أن ﺃﺟ يساوي ٥٫٥ سنتيمترات. لذا، إذا أردنا إيجاد طول ضلع مجهول، فستنجح أي من الطريقتين. سنتناول الآن مثالًا آخر.

إذا كان ﺃﺏﺟﺩ يشابه ﻉﺹﺱﻝ، فأوجد قياس الزاوية ﺱﻝﻉ وطول القطعة المستقيمة ﺟﺩ.

نحن نعلم أن ﺃﺏﺟﺩ يشابه ﻉﺹﺱﻝ. وهذا يعني أن زواياهما المتناظرة متطابقة وأضلاعها المتناظرة متناسبة. مطلوب منا أولًا إيجاد قياس الزاوية ﺱﻝﻉ. لكننا لاحظنا أنه ليس لدينا معطيات كافية عن قياسات زوايا المضلع ﻉﺹﺱﻝ لإيجاد قياس هذه الزاوية. لكن بما أن هذين المضلعين متشابهان، فإننا نعلم أن قياس الزاوية ﺏﺟﺩ يناظر قياس الزاوية ﺹﺱﻝ؛ ومن ثم فإن قياس الزاوية ﺹﺱﻝ يجب أن يساوي ٨٥ درجة. يمكننا بعد ذلك استخدام حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي شكل رباعي يساوي ٣٦٠ درجة لنجد أن قياس الزاوية ﺱﻝﻉ يجب أن يساوي ٣٦٠ درجة ناقص ٨٥ درجة زائد ١٠٩ درجات زائد ١٠٥ درجات. هذا يعطينا ٦١ درجة.

بعد ذلك، علينا إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺟﺩ. نلاحظ أن طول الضلع ﺟﺩ يناظر طول الضلع ﺱﻝ في المضلع ﻉﺹﺱﻝ. تناسب هذين الضلعين يساوي تناسب جميع أزواج الأضلاع المتناظرة الأخرى في المضلع. عند حل مسائل تتضمن مضلعات متشابهة، علينا البحث عن ضلعين آخرين من الأضلاع المتناظرة أو أن نكون قادرين على حساب طوليهما. نعلم هنا أن طول ﺃﺏ يساوي ٧٥ سنتيمترًا، وطول ﻉﺹ يساوي ١٥٠ سنتيمترًا. يمكننا إذن كتابة أن ﺟﺩ على ﺱﻝ يساوي ﺃﺏ على ﻉﺹ.

عند كتابة الأطوال، نجد أن ﺟﺩ على ٢٤٦٫٢ يساوي ٧٥ على ١٥٠. يمكننا أخذ ٧٥ عاملًا مشتركًا من البسط والمقام في الطرف الأيسر. بعد ذلك، يمكننا إعادة الترتيب بضرب الطرفين في ٢٤٦٫٢. إذن، طول ﺟﺩ يساوي ١٢٣٫١ سنتيمترًا. بدلًا من ذلك، كان بإمكاننا إيجاد معامل قياس التشابه أو نسبة التكبير بين المضلعين. باستخدام طولي الضلعين ﺱﺹ، وﺃﺏ، وجدنا أنه للانتقال إلى المضلع ﺃﺏﺟﺩ من المضلع ﻉﺹﺱﻝ، نضرب في نصف. بضرب الطول ٢٤٦٫٢ سنتيمترًا في نصف، نحصل على نفس القيمة، وهي ١٢٣٫١ سنتيمترًا.

بما أننا أجبنا الآن عن جزأي هذا السؤال، يمكننا قول إن قياس الزاوية ﺱﻝﻉ يساوي ٦١ درجة وطول ﺟﺩ يساوي ١٢٣٫١ سنتيمترًا.

سنتناول الآن التشابه في المضلعات المنتظمة. نعلم أن المضلع المنتظم هو مضلع تكون جميع زواياه متطابقة وجميع أضلاعه متطابقة. من الأمثلة على المضلعات المنتظمة: المثلثات المتساوية الأضلاع، والمربعات، والأشكال الخماسية المنتظمة، والأشكال السداسية المنتظمة، وهكذا. دعونا نتناول مربعين أطوال أضلاعهما مختلفة. بما أننا نعلم أن جميع الزوايا في كل مربع متطابقة، فإن كل زاوية من هذه الزوايا تكون أيضًا متطابقة مع كل زاوية من الزوايا المناظرة لها في المربع الآخر. نعلم أيضًا أن أطوال الأضلاع المتناظرة يكون لها نفس التناسب. يمكننا إذن قول إن هذين المربعين متشابهان.

في الواقع، يمكننا قول إن أي مضلع منتظم له عدد ﻥ من الأضلاع يشابه مضلعًا منتظمًا آخر له عدد ﻥ من الأضلاع؛ حيث يكون لهما نفس قيمة ﻥ. بعبارة أخرى، هذا يعني أن جميع المثلثات المتساوية الأضلاع متشابهة. وجميع المربعات متشابهة. وجميع الأشكال الخماسية المنتظمة متشابهة، وهكذا. لكن هذا بالطبع لا ينطبق إلا على المضلعات المنتظمة. وبما أن المضلعات المتشابهة لا بد أن تكون زواياها المتناظرة متطابقة وأضلاعها المتناظرة متناسبة، فلا يمكننا القول، على سبيل المثال، إن هذا المربع وهذا المستطيل متشابهان لمجرد أن قياس كل زاوية من الزوايا في كل منهما يساوي ٩٠ درجة. سنتناول الآن مثالًا أخيرًا.

مضلع أطوال أضلاعه هي سنتيمتران، وأربعة سنتيمترات، وثلاثة سنتيمترات، وثمانية سنتيمترات، وأربعة سنتيمترات. ومضلع آخر مشابه له محيطه ٣١٫٥ سنتيمترًا. ما أطوال أضلاعه؟

دعونا نبدأ بتذكر أن المضلعات المتشابهة تكون زواياها المتناظرة متطابقة وأضلاعها المتناظرة متناسبة. لدينا هنا أطوال الأضلاع الخمسة لهذا المضلع، الذي من الواضح أنه شكل خماسي، وعلينا إيجاد أطوال أضلاع المضلع الثاني باستخدام المعلومة المعطاة عن محيطه. نظرًا لأن أطوال أضلاع المضلعات المتشابهة متناسبة، فإن المحيط، وهو مقياس للطول، سيكون له نفس التناسب. يمكننا حساب معامل قياس التشابه من المضلع الأول إلى المضلع الثاني عن طريق حساب محيط المضلع الثاني مقسومًا على محيط المضلع الأول. نعلم من المعطيات أن محيط المضلع الثاني يساوي ٣١٫٥ سنتيمترًا.

ويمكننا حساب محيط المضلع الأول عن طريق جمع أطوال أضلاعه. اثنان زائد أربعة زائد ثلاثة زائد ثمانية زائد أربعة سنتيمترات يعطينا المحيط ٢١ سنتيمترًا. إذن، معامل قياس التشابه هو ٣١٫٥ على ٢١، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ثلاثة على اثنين. لإيجاد طول كل ضلع في المضلع الثاني، نضرب طول كل ضلع مناظر له بالمضلع الأول في معامل قياس التشابه ثلاثة على اثنين. يمكن بهذه الطريقة حساب طول الضلع الأول؛ حيث نحصل على اثنين في ثلاثة على اثنين. وهذا يساوي ثلاثة سنتيمترات. لدينا بعد ذلك أربعة سنتيمترات في ثلاثة على اثنين، ما يساوي ستة سنتيمترات. طول الضلع الثالث يساوي ثلاثة سنتيمترات في ثلاثة على اثنين، وهو ما يساوي ٤٫٥ سنتيمترات. يمكن حساب طولي الضلعين الرابع والخامس بالطريقة نفسها، ونحصل بذلك على ١٢ سنتيمترًا وستة سنتيمترات.

للتحقق من إجابتنا، سنستعين بالمعلومة التي توضح أن محيط المضلع الثاني يساوي ٣١٫٥. وعندما نجمع ثلاثة سنتيمترات وستة سنتيمترات و٤٫٥ سنتيمترات و١٢ سنتيمترًا وستة سنتيمترات، نحصل بالفعل على محيط قيمته ٣١٫٥ سنتيمترًا، وهو ما يؤكد إجاباتنا بشأن أطوال الأضلاع الخمسة.

يمكننا الآن أن نختتم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية التي وردت به. يتشابه المضلعان إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة وأضلاعهما المتناظرة متناسبة. علينا التأكد من ترتيب الحروف بطريقة صحيحة عند كتابة علاقة تشابه بين مضلعين. يمكننا حساب طول ضلع مجهول بكتابة علاقة التناسب بين زوجين من الأضلاع المتناظرة أو بحساب معامل قياس التمدد أولًا. عرفنا أيضًا أن جميع المضلعات المنتظمة تشابه المضلعات المنتظمة الأخرى التي لها نفس عدد الأضلاع. وأخيرًا، كما عرفنا في المثال السابق، معامل قياس التشابه بين محيطي مضلعين متشابهين هو نفسه معامل قياس التشابه بين أطوال الأضلاع المتناظرة.