فيديو: امتحان الإحصاء للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال التاسع

امتحان الإحصاء للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال التاسع

٠٦:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان س متغيّرًا عشوائيًّا طبيعيًّا متوسطه 𝜇، وانحرافه المعياري 𝜎. فأوجد ل، س أكبر من أو يساوي 𝜇 زائد واحد وخمسة من عشرة 𝜎.

يعني في البداية معطى إن س متغيّرًا عشوائيًّا طبيعيًّا. والمتغيّر العشوائي الطبيعي هو متغيّر عشوائي متصل؛ مداه الفترة المفتوحة من سالب لا نهاية إلى لا نهاية. ودالة كثافة الاحتمال له بتعتمد على قيمتين؛ همَا: متوسطه اللي هو 𝜇، وانحرافه المعياري اللي هو 𝜎. والمطلوب في السؤال إننا نوجد ل، س أكبر من أو يساوي 𝜇 زائد واحد وخمسة من عشرة 𝜎.

فعشان نقدر نوجدها، يبقى محتاجين الأول إننا نكتب المتغيّر العشوائي الطبيعي س في صورة متغيّر عشوائي طبيعي معياري، اللي هو ص. وفي البداية خلّينا نفتكر إن ص بتساوي س ناقص 𝜇 الكل على 𝜎.

فبالتالي لمّا نيجي نكتب الاحتمال ده، باستخدام المتغيّر ص؛ فهيبقى عندنا ل، ص أكبر من أو يساوي … وهنيجي عند المقدار ده، وهنطرح منه 𝜇، وهنقسم الكل على 𝜎. يعني هيبقى 𝜇 زائد واحد وخمسة من عشرة 𝜎، ناقص 𝜇؛ الكل على 𝜎.

فهيبقى بيساوي ل، ص أكبر من أو يساوي … بعد كده هنلاحظ إن عندنا 𝜇 ناقص 𝜇، واللي هتساوي صفر، فيتبقّى عندنا واحد ونُصّ 𝜎 مقسومة على 𝜎. فنقدر نختصر 𝜎 مع 𝜎، فيتبقّى عندنا واحد وخمسة من عشرة. فبالتالي هيبقى عندنا ل، ص أكبر من أو يساوي واحد وخمسة من عشرة.

بعد كده عايزين نمثّل الاحتمال ده على المنحنى الطبيعي المعياري، فبيبقى عندنا المنحنى بالشكل ده. ومن خواص المنحنى الطبيعي المعياري هو إن بيبقى المساحة فوق محور السينات وتحت المنحنى بتساوي واحد. وفي نفس الوقت المنحنى بيكون متماثل بالنسبة للمحور الرأسي س يساوي صفر.

يعني معنى كده إن المحور الرأسي، س بيساوي صفر، هيقسّم المنحنى إلى قسمين متماثلين. وبما إن المساحة فوق محور السينات وتحت المنحنى بتساوي واحد، فبالتالي هتبقى مساحة كل قسم فيهم هي نُصّ.

بعد كده لمّا نيجي نشوف المساحة تحت المنحنى، اللي بتمثّل الاحتمال ده، فهنفرض مثلًا إن هنا واحد وخمسة من عشرة. فَـ ل، ص أكبر من أو يساوي واحد وخمسة من عشرة، هتبقى ممثّلة بالمنطقة المظلّلة دي. لأن ص أكبر من أو يساوي واحد وخمسة من عشرة.

فبالتالي علشان نوجد الاحتمال ده، اللي هو في نفس الوقت الاحتمال ده. فمعنى كده إننا عايزين نوجد مساحة المنطقة المظلّلة دي، واللي هي هتبقى بتمثّل الاحتمال ل، ص أكبر من أو يساوي واحد وخمسة من عشرة.

وعشان نقدر نوجد المساحة دي، بنستخدم جدول المساحات أسفل المنحنى الطبيعي المعياري. لكن علشان نقدر ندوّر في الجدول عن مساحة معينة. فلازم يكون شكل الاحتمال، اللي أنا عايز أوجد المساحة اللي بتمثّله من الجدول، بتبدأ من الصفر. يعني بتقع ما بين الصفر والعدد اللي عندي، اللي هو واحد وخمسة من عشرة، اللي هي المنطقة المظلّلة دي.

فمعنى كده إننا لمّا نيجي ندوّر في الجدول، هنقدر نوجد مساحة المنطقة دي. لكن المطلوب منّنا في السؤال إننا نوجد مساحة المنطقة دي. فأول حاجة هنعملها إننا هندخل في الجدول وندوّر على مساحة المنطقة دي. اللي هي بتمثّل الاحتمال ل؛ ص أكبر من أو يساوي صفر، وأقل من أو يساوي واحد وخمسة من عشرة. اللي هي المنطقة دي؛ عشان بتقع بين صفر وواحد وخمسة من عشرة.

فالشكل ده أقدر أدوّر بيه في جدول المساحات اللي عندي. وبيبقى عندنا جدول المساحات أسفل المنحنى الطبيعي المعياري بالشكل ده. فعشان نقدر نوجد مساحة المنطقة المظلّلة دي، يبقى هندوّر في الجدول عن واحد وخمسة من عشرة.

بيبقى عندنا في الجدول أول عمود ده هو اللي مكتوب فيه الأعداد. وأمّا الصف اللي فوق ده بيبقى مكتوب فيه الأجزاء من مائة للأعداد اللي في العمود ده. وبما إن العدد اللي عندنا هو واحد وخمسة من عشرة، فهنيجي في العمود ده وهندوّر عن واحد وخمسة من عشرة. فهتبقى المساحة اللي بندوّر عليها موجودة في الصف ده.

وأمّا بالنسبة للأعمدة فهي بتمثّل الأجزاء من مائة، لكن العدد هنا واحد وخمسة من عشرة، فمعنى كده إن الأجزاء من مائة هي صفر. يعني هنيجي عند العمود الأول. فلمّا نيجي نشوف تقاطع الصف والعمود، فيبقى عندنا الخانة دي. فلمّا هنبصّ في الجدول، هنلاحظ إن مكتوب فيها أربع آلاف تلتمية اتنين وتلاتين من عشر آلاف.

فمعنى كده إن هيبقى العدد ده هو مساحة المنطقة المظلّلة هنا. فبالتالي علشان نوجد مساحة المنطقة دي، فإحنا عرفنا من خواص المنحنى الطبيعي المعياري إن مساحة نصف المنحنى هي خمسة من عشرة. فمعنى كده إن هتبقى مساحة المنطقة دي هي خمسة من عشرة، اللي هي مساحة نصف المنحنى كله، ناقص مساحة المنطقة دي.

فبالتالي هيبقى ل، ص أكبر من أو يساوي واحد وخمسة من عشرة. بتساوي نُصّ ناقص ل؛ ص أكبر من أو يساوي صفر، وأقل من أو يساوي واحد وخمسة من عشرة. واللي هتبقى بتساوي نُصّ ناقص أربع آلاف تلتمية اتنين وتلاتين من عشر آلاف.

فلمّا نحسبها هتبقى بتساوي ستمية تمنية وستين من عشر آلاف. وبالتالي هتبقى هي دي المساحة اللي بتمثّل الاحتمال ل، س أكبر من أو يساوي 𝜇 زائد واحد وخمسة من عشرة 𝜎. فهتبقى هي دي إجابة السؤال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.