فيديو السؤال: استخدام دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي متصل لإيجاد الاحتمالات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺱ متغير عشوائي متصل، دالة كثافة الاحتمال له هي: ﺩ ﺱ تساوي ثمنًا مضروبًا في ستة ﺱ ناقص سبعة، إذا كان ﺱ يقع بين اثنين وثلاثة وكذلك هذان العددان، أو صفرًا فيما عدا ذلك. أوجد احتمال أن يكون ﺱ بين اثنين و٢٫٥.

يتميز المتغير العشوائي المتصل بأن له دالة كثافة احتمال. وهي دالة قيمها غير سالبة، ومساحة المنطقة الواقعة أسفل منحنى هذه الدالة تساوي واحدًا، وهي تمثل احتمال فضاء العينة كاملًا. لذلك، فإننا عادة ما نستخدم التكامل عند إيجاد احتمال من دالة كثافة احتمال لمتغير عشوائي متصل. دالة كثافة الاحتمال تلك معطاة على صورة صيغة. ومن ثم، يمكننا استخدام التكامل لإيجاد الاحتمال المطلوب. احتمال أن يقع ﺱ بين اثنين و٢٫٥ يساوي التكامل بين اثنين و٢٫٥ في الدالة ﺩ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

في الفترة التي لدينا بين اثنين و٢٫٥، ﺩ ﺱ تساوي ثمنًا مضروبًا في ستة ﺱ ناقص سبعة؛ لأننا نعلم من معطيات السؤال أن هذه هي الدالة ﺩ ﺱ عندما يقع ﺱ بين اثنين وثلاثة. وعليه، سنوجد التكامل بين اثنين و٢٫٥ لثمن مضروبًا في ستة ﺱ ناقص سبعة بالنسبة إلى ﺱ. دعونا نبدأ حل هذا السؤال بنقل المعامل ثمن خارج علامة التكامل. أصبح لدينا الآن ثمن مضروبًا في التكامل بين اثنين و٢٫٥ لستة ﺱ ناقص سبعة بالنسبة إلى ﺱ. والآن، يمكننا استخدام قواعد التكامل المعتادة لإيجاد تكامل ستة ﺱ ناقص سبعة.

نحن نعلم أنه لإيجاد تكامل أي دالة في المتغير ﺱ، فإننا نضيف واحدًا إلى الأس ونقسم على الأس الجديد. ونفعل ذلك في كل حد على حدة. إذن، تكامل ستة ﺱ هو ستة ﺱ تربيع على اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة ﺱ تربيع. سالب سبعة ثابت، وبذلك يكون تكامله سالب سبعة ﺱ. حسنًا، لقد أوشكنا على الانتهاء. ليس علينا إلا تطبيق حدي التكامل. ونفعل ذلك بالتعويض أولًا بالحد العلوي للتكامل، وهو٢٫٥. بعد ذلك نطرح التكامل بعد التعويض بالحد السفلي، وهو اثنان.

والآن، علينا التبسيط. ‏٢٫٥ تربيع يساوي ٢٥ على أربعة. ومن ثم، عندما نضرب ذلك في ثلاثة، فإننا نحصل على ٧٥ على أربعة. سبعة مضروبًا في ٢٫٥ يساوي ٣٥ على اثنين. لاحظ أننا نحتفظ بكل قيمة هنا على صورة كسر. ثلاثة مضروبًا في اثنين تربيع يعني ثلاثة في أربعة. وهذا يساوي ١٢. وسبعة مضروبًا في اثنين يعطينا ١٤.

حسنًا، لتبسيط زوج الأقواس الأول، دعونا نعد كتابة ٣٥ على اثنين على صورة عدد ما على أربعة. يصبح لدينا ٧٠ على أربعة. وبتبسيط ما لدينا هنا، نجد أن ٧٥ على أربعة ناقص ٧٠ على أربعة يساوي خمسة على أربعة. إذن، لدينا ثمن مضروبًا في خمسة على أربعة. بعد ذلك نطرح ما بداخل هذين القوسين؛ أي ١٢ ناقص ١٤. وهذا يساوي سالب اثنين. وبما أن سالب اثنين هو نفسه سالب ثمانية على أربعة، يصبح لدينا ثمن مضروبًا في خمسة على أربعة ناقص سالب ثمانية على أربعة. لكن عندما نطرح عددًا سالبًا، فإنه يمكننا جمعه بدلًا من طرحه. وهذا يساوي ثمنًا مضروبًا في ١٣ على أربعة. وبضرب البسطين والمقامين، نحصل على ١٣ على ٣٢.

إذن، هذه هي الإجابة النهائية. احتمال أن يقع ﺱ بين اثنين و٢٫٥ وكذلك هذان العددان هو ١٣ على ٣٢.