فيديو السؤال: إيجاد نهاية تركيب الدوال الكسرية والجذرية عند ما لا نهاية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية الجذر التربيعي لـ ١٦ﺱ زائد ثمانية على تسعة ﺱ زائد ثلاثة عندما يقترب ﺱ من‎ ما لا نهاية.

نكتب النهاية المطلوب إيجاد قيمتها مرة أخرى. وأول قوانين النهايات الذي نستخدمه هنا أن نهاية الجذر التربيعي لدالة ما هي الجذر التربيعي لنهاية الدالة. وهذا في الواقع ينطبق بشكل أعم على الجذور بدرجاتها. بتطبيق قانون النهايات هذه، نجد أن كل ما علينا فعله هو إيجاد نهاية الدالة الكسرية ١٦ﺱ زائد ثمانية على تسعة ﺱ زائد ثلاثة، عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. وبالوصول إلى هذا الناتج، ستكون النهاية هي الجذر التربيعي لهذا الناتج، لكن كيف نستطيع إيجاد نهاية الدالة الكسرية التي لدينا عند ما لا نهاية؟ في مرحلة ما، سنرغب في تطبيق قانون خارج القسمة للنهايات، والذي ينص على أن نهاية خارج القسمة للدوال هي خارج قسمة نهايات هذه الدوال. لكن إذا حاولنا تطبيق هذا القانون مباشرة، فسيحدث خطأ ما. دعونا نر ما هو.

بتطبيق هذا القانون تحت علامة الجذر، نحصل على نهاية ١٦ﺱ زائد ثمانية عندما يقترب ﺱ من‎ ما لا نهاية، على نهاية تسعة ﺱ زائد ثلاثة، عندما يقترب ﺱ من‎ ما لا نهاية. والآن، ما قيمة النهاية في البسط؟ حسنًا، يقترب ﺱ من ما لا نهاية. إذن، قيمة ﺱ تصبح أكبر فأكبر بلا حدود. وبالتالي، نتوقع أن يصبح ١٦ﺱ زائد ثمانية أكبر وأكبر بلا حدود. ومن ثم، فإن قيمة هذه النهاية هي ما لا نهاية. ويحدث الشيء نفسه تمامًا في المقام. يقترب ﺱ من ما لا نهاية. لذا، فإن قيمة ﺱ تزيد بلا حدود. ومن ثم، فإن قيمة تسعة ﺱ، وبالتالي تسعة ﺱ زائد ثلاثة، لا بد أنها تزيد أيضًا بلا حدود.

ويمكننا أن نجعل هذا الاستنتاج الاستنباطي نوعًا ما أكثر تحديدًا. لكننا لن نشغل أنفسنا بذلك. الفكرة هي أنه تحت علامة الجذر، أصبح لدينا الصيغة غير المعينة: ما لا نهاية على ما لا نهاية. وصيغة ما لا نهاية على ما لا نهاية لا تمنحنا أي تصور للقيمة الفعلية للنهاية. لا يمكننا حذف علامات ما لا نهاية ببساطة من البسط والمقام لنقول إن النهاية هي الجذر التربيعي للعدد واحد. للأسف الأمر ليس بهذه البساطة.

وإذا حصلنا على صيغة غير معينة عند محاولتنا إيجاد قيمة نهاية ما، فإن الشيء الوحيد الذي يمكننا فعله هو إعادة المحاولة وتجربة طريقة أخرى، آملين هذه المرة ألا نحصل على صيغة غير معينة. في الواقع، الأمر ليس ميئوسًا منه إلى هذا الحد، فلدينا طريقة لإيجاد نهايات دالة كسرية في المتغير ﺱ، عندما يقترب ﺱ من‎ ما لا نهاية. نعيد كتابة الدالة الكسرية التي نحاول إيجاد نهايتها عن طريق قسمة كل من البسط والمقام على أكبر قوة للمتغير ﺱ، تظهر في المقام.

فما هي أكبر قوة للمتغير ﺱ في المقام؟ المقام هنا هو الدالة كثيرة الحدود تسعة ﺱ زائد ثلاثة. وأكبر قوة للمتغير ﺱ تظهر في تسعة ﺱ زائد ثلاثة، هي ﺱ أس واحد، أو ﺱ. نقسم كلًا من البسط والمقام على ﺱ، وبعد ذلك يمكننا التبسيط. يمكننا أن نقسم البسط، ومن ثم نحصل على ١٦ﺱ على ﺱ زائد ثمانية على ﺱ. و١٦ﺱ على ﺱ يساوي ١٦. وبالمثل، يمكننا تبسيط المقام، ومن ثم نحصل على تسعة زائد ثلاثة على ﺱ.

والآن، يمكننا تطبيق خاصية خارج القسمة للنهايات. هذه المرة، لن نحصل على صيغة غير معينة. نحصل على الجذر التربيعي للنهاية ١٦ زائد ثمانية على ﺱ، عندما يقترب ﺱ من‎ ما لا نهاية، على نهاية تسعة زائد ثلاثة على ﺱ، عندما يقترب ﺱ من‎ ما لا نهاية. والآن، ما قيمة النهاية في البسط؟ كلما أصبحت قيمة ﺱ أكبر فأكبر، أصبحت قيمة ثمانية على ﺱ أصغر فأصغر، وهكذا يقترب أكثر وأكثر من الصفر. إذن ١٦ زائد ثمانية على ﺱ يقترب أكثر فأكثر من ١٦.

يمكننا إثبات ذلك بدقة باستخدام حقيقة أن نهاية مجموع عدد من الدوال هو مجموع نهاياتها، وأن قيمة نهاية دالة ثابتة مثل ١٦ هي الثابت نفسه، وأن نهاية حاصل ضرب عدد ما في دالة هو حاصل ضرب نفس العدد في نهاية الدالة. يتيح لنا ذلك كتابة هذه النهاية بدلالة نهاية دالة المقلوب واحد على ﺱ، عندما يقترب ﺱ من‎ ما لا نهاية. وهذا قانون آخر من قوانين النهايات حيث نهاية دالة المقلوب عندما يقترب ﺱ من‎ موجب أو سالب ما لا نهاية هي صفر. ومن ثم، النهاية التي لدينا هي ١٦ زائد ثمانية في صفر يساوي ١٦.

وإذ وجدنا أن النهاية في البسط هي ١٦، يمكننا فعل شيء مشابه كثيرًا لذلك في المقام. فكلما أصبحت قيمة ﺱ أكبر فأكبر بلا حدود، أصبح ثلاثة على ﺱ أصغر فأصغر، وأقرب فأقرب إلى الصفر. إذن المقدار تسعة زائد ثلاثة على ﺱ يقترب أكثر فأكثر من تسعة. وبذلك، تكون قيمة نهايتنا هي الجذر التربيعي لـ ١٦ على تسعة. وبما أن كلًا من ١٦ وتسعة أعداد مربعة لأن ١٦ هو أربعة تربيع، وتسعة هو ثلاثة تربيع. يمكننا إذن التبسيط للحصول على الناتج النهائي، وهو أربعة على ثلاثة.

ومفتاح حل هذه المسألة هو نفس مفتاح حل جميع الأسئلة المتعلقة بنهايات الدوال الكسرية، عندما يقترب ﺱ من‎ ما لا نهاية أو سالب ما لا نهاية. إذن، قبل تطبيق قانون خارج القسمة للنهايات، عليك أولًا أن تقسم كلًا من بسط الدالة الكسرية ومقامها على أكبر قوة للمتغير ﺱ، تظهر في الدالة كثيرة الحدود المشكلة لمقام الدالة الكسرية لدينا.