نسخة الفيديو النصية
أي من الآتي هو التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ ناقص ٩٠؟
هيا نبدأ برسم تمثيل بياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ. القيمتان العظمى والصغرى لـ جتا ﺱ هما واحد وسالب واحد. إذن، هاتان هما القيمتان العظمى والصغرى على المحور ﺹ. تظهر النقاط الرئيسية على التمثيل البياني عند مضاعفات ٩٠ درجة على المقياس الأفقي. وهي ٩٠ و١٨٠ و٢٧٠ و٣٦٠ وهكذا، بالإضافة إلى سالب ٩٠ وسالب ١٨٠ وهكذا. يبدأ منحنى الدالة عند واحد على المحور ﺹ؛ لأن جتا صفر يساوي واحدًا.
ينحدر بعد ذلك المنحنى، الذي يكون على شكل موجة، إلى صفر عند ٩٠ درجة، وسالب واحد عند ١٨٠ درجة، ثم يرتفع من صفر عند ٢٧٠ درجة، ويعود مرة أخرى إلى واحد عند ٣٦٠ درجة. إذن التمثيل البياني هنا لدالة دورية، وطول دورتها ٣٦٠ درجة. يتكرر هذا الشكل نفسه إلى يمين ٣٦٠ درجة وإلى يسار الصفر.
حسنًا، إننا في الواقع لم نسأل عن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ. فالسؤال عن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ ناقص ٩٠. إذن، علينا تحديد نوع التحويل الهندسي الذي حدث. لعلنا نتذكر أنه، بوجه عام، إذا كانت لدينا الدالة ﺩﺱ فإن الدالة ﺩﺱ ناقص ﺃ هي انتقال للتمثيل البياني لـ ﺩﺱ عدد ﺃ من الوحدات إلى اليمين. وهي إزاحة أفقية للمنحنى.
وعليه، فإن ﺹ يساوي جتا ﺱ ناقص ٩٠ هو انتقال لمنحنى ﺹ يساوي جتا ﺱ بمقدار ٩٠ درجة إلى اليمين. حيث تتحرك كل نقطة بمقدار ٩٠ درجة إلى اليمين. إذن، النقطة صفر، واحد ستصبح النقطة ٩٠، واحدًا. والنقطة ٩٠، صفر ستصبح النقطة ١٨٠، صفرًا، وهكذا. يمكننا رسم المنحنى المحول باللون الوردي.
دعونا الآن ننظر إلى التمثيلات البيانية الأربعة التي تعبر عن احتمالات التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ ناقص ٩٠. نلاحظ هنا أن التمثيل الثاني له الشكل الصحيح والسمات الصحيحة، وهو نفس التمثيل البياني الذي رسمناه لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ ناقص ٩٠. إذن، هذا هو التمثيل البياني الذي نبحث عنه.
يمكننا أيضًا إيجاد معادلات التمثيلات البيانية الأخرى المعطاة. التمثيل البياني الأول هو في الواقع التمثيل البياني الذي لم تحدث له إزاحة لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ. أما في التمثيل البياني الرابع، فحدثت إزاحة لكل نقطة إلى أعلى بمقدار وحدة واحدة. إذن، يعد ذلك انتقالًا رأسيًّا لمنحنى ﺹ يساوي جتا ﺱ بمقدار وحدة واحدة لأعلى. وعليه، فإن معادلة هذا التمثيل البياني هي ﺹ يساوي واحدًا زائد جتا ﺱ.
التمثيل البياني الثالث أصعب قليلًا. لكن بالنظر إلى النقطة ٩٠، صفر، التي كانت في الأصل النقطة ٢٧٠، صفر على التمثيل البياني لجيب التمام، نجد أنه عبارة عن تمدد أفقي له معامل مقياس يساوي واحدًا على ثلاثة. وعليه، فإن معادلة هذا التمثيل البياني هي ﺹ يساوي جتا ثلاثة ﺱ.
قد تلاحظ أن التمثيل البياني الذي اخترناه لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ ناقص ٩٠ يطابق في الواقع التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جا ﺱ. وهذا صحيح؛ لأن كلًّا من منحنيي الجيب وجيب التمام هو انتقال للآخر. وللحصول على التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جا ﺱ، فإننا ننقل منحنى ﺹ يساوي جتا ﺱ بمقدار ٩٠ درجة إلى اليمين. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن التمثيل البياني الذي يمثل ﺹ يساوي جتا ﺱ ناقص ٩٠ هو التمثيل البياني الثاني.
