فيديو قصير: كيف نحل الألغاز العددية؟

نسخة الفيديو النصية

هل تحب تصور المسائل العددية التي تعرض لك أو أن لا شيء يجعلك تشعر بالإثارة عند حلها أكثر من استخدام بعض الأساليب الجبرية التقليدية؟ في هذا الفيديو، سنتناول لغزًا عدديًّا بسيطًا، وسنرى طريقتين مختلفتين تمامًا لحله. إحدى هاتين الطريقتين تسمى نموذج الأعمدة الأفقية، والتي تستخدم بنحو متزايد في المدارس في جميع أنحاء العالم بعد نجاحها في سنغافورة وفي أنحاء آسيا، وتستخدم الطريقة الأخرى الجبر لإنشاء وحل بعض المعادلات.

حسنًا، ها هو اللغز.

مازن عمره ثمانية أعوام. وعمه طارق عمره ٣٢ عامًا. كم سيكون عمر مازن عندما يكون عمر طارق ضعف عمر مازن؟

حسنًا، إنها مسألة نسبة وتناسب. وهي تنطلق من عبارة محددة للغاية حول عمري مازن وطارق إلى سؤال نظري حول وقت ما في المستقبل يكون فيه عمر طارق ضعف عمر مازن. قد تبدأ في التفكير في الطرق المختلفة العديدة لحل هذه المسألة. لكن لنبدأ باستخدام طريقة الأعمدة الأفقية. إذا لم نكن نعلم جيدًا كيف نتعامل مع الأمر، فيمكننا تمثيل ما نعلمه باستخدام رسم توضيحي لتحفيز عقلنا على البدء في حل المسألة وتصور الموقف.

حسنًا، مازن عمره ثمانية أعوام، وطارق عمره ٣٢ عامًا؛ في الواقع لم يعطينا ذلك تصورًا واضحًا للأمر بقدر كبير. لكننا يمكننا أن نرى أن طارق عمره الآن يساوي عمر مازن أربع مرات، وعلينا إيجاد الوقت الذي يكون فيه عمر طارق يساوي ضعف عمر مازن. حسنًا، ربما لم يساعدنا هذا الرسم التوضيحي كثيرًا. ولكن إذا مثلنا عمريهما باستخدام الأعمدة الأفقية بمقياس ثابت، فسيكون عمر مازن ثمانية أعوام وعمر طارق ٣٢ عامًا، والفرق بين عمريهما هو ٣٢ ناقص ثمانية، أي ٢٤. وسيكون الفرق بين عمريهما دائمًا ٢٤ عامًا؛ لأن كل عام يكبره مازن، سيكبره طارق أيضًا. على سبيل المثال، بعد مرور عام، سيكون عمر مازن تسعة أعوام، وسيكون عمر طارق ٣٣ عامًا. إذن، سيظل الفرق ٢٤ عامًا.

والآن، علينا التفكير في الوقت الذي يكون فيه عمر طارق ضعف عمر مازن. لذا، رسمت ذلك في مخطط مختلف بمقياس مختلف. إن طول العمود الأفقي الذي يمثل عمر مازن يساوي هذا الفرق بين العمودين الأفقيين؛ لأن عمر طارق يساوي ضعف عمر مازن، أو عمر مازن يساوي نصف عمر طارق. حسنًا، نعرف أن الفرق بين عمريهما سيكون دائمًا ٢٤. إذن، يمكنني كتابة ذلك هنا. ولأننا نعرف أن طولي هذين الجزأين متساويان، فسنكتب هنا أيضًا ٢٤. بهذا الوقت، سيكون عمر مازن ٢٤، وسيكون عمر طارق ضعف العدد ٢٤، ما يساوي ٤٨.

والآن، تذكر أن السؤال كان كم سيكون عمر مازن عندما يكون عمر طارق ضعف عمر مازن. إذن، الإجابة هي أن عمر مازن سيكون ٢٤ عندما يكون عمر طارق ضعف عمر مازن. وهكذا، نتج عن هذا التمثيل البصري للعمرين بالأعمدة الأفقية لحظة من الإدراك الفجائي، حيث يمكنك رؤية أن طول أحد العمودين الأفقيين هنا يساوي نصف طول العمود الأفقي الآخر في حين أنك كنت تعلم أن الفرق يساوي ٢٤. بهذه الطريقة، يمكن لأي شخص حل المسألة.

حسنًا، لنحل اللغز من جديد لكن باستخدام الجبر.

مازن عمره ثمانية أعوام. وعمه طارق عمره ٣٢ عامًا. كم سيكون عمر مازن عندما يكون عمر طارق ضعف عمر مازن؟

أولًا، لنحدد بعض المتغيرات. لنفترض أن ‪𝑎‬‏ هو عمر مازن بالأعوام، و‪𝑏‬‏ هو عمر طارق بالأعوام. والآن، يمكننا حل صيغة عامة لهذه المسألة. إذا كان عمر مازن ‪𝑎‬‏ من الأعوام وعمر عمه طارق ‪𝑏‬‏ من الأعوام، فكم سيكون عمر مازن عندما يكون عمر طارق ضعف عمر مازن؟ الآن، لنفترض أن ‪𝑛‬‏ هو عدد الأعوام التي يجب أن تمر ليكون عمر طارق ضعف عمر مازن. إذن، نعرف أنه بعد مرور ‪𝑛‬‏ من الأعوام، سيكون عمر مازن ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑛‬‏ من الأعوام، وسيكون عمر طارق ‪𝑏‬‏ زائد ‪𝑛‬‏ من الأعوام. لكننا نعرف أيضًا أنه بعد ‪𝑛‬‏ من الأعوام، سيكون عمر طارق ضعف عمر مازن. لذا، يمكننا أيضًا القول بأن اثنين في عمر مازن بعد ‪𝑛‬‏ من الأعوام يساوي عمر طارق بعد ‪𝑛‬‏ من الأعوام. جبريًّا، سيساوي هذا اثنين في ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ زائد ‪𝑛‬‏.

والآن، يمكننا القيام ببعض العمليات الجبرية لحساب عدد الأعوام التي يجب أن تمر قبل أن يكون عمر طارق ضعف عمر مازن وتحديد عمر مازن حينها. نعلم أنه بعد ‪𝑛‬‏ من الأعوام سيكون اثنان في ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ زائد ‪𝑛‬‏. لذا، بضرب اثنين في ما بين القوسين على يسار المعادلة باستخدام خاصية التوزيع يصبح لدينا اثنان ‪𝑎‬‏ زائد اثنين ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ زائد ‪𝑛‬‏. ثم بطرح ‪𝑛‬‏ من طرفي المعادلة يصبح لدينا اثنان ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏. وأخيرًا، بطرح اثنين ‪𝑎‬‏ من طرفي المعادلة يصبح لدينا مقدار ‪𝑛‬‏ بدلالة ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏.

لكننا نعلم أن عمر مازن الآن ثمانية أعوام. إذن، ‪𝑎‬‏ يساوي ثمانية. كما نعلم أن عمر طارق الآن ٣٢ عامًا. إذن، ‪𝑏‬‏ يساوي ٣٢. لنعوض بهاتين القيمتين في المعادلة. وسنحصل على ‪𝑛‬‏ يساوي ٣٢ ناقص اثنين في ثمانية. واثنان في ثمانية يساوي ١٦. إذن، ‪𝑛‬‏ يساوي ٣٢ ناقص ١٦، و٣٢ ناقص ١٦ يساوي ١٦. إذن، ‪𝑛‬‏ يساوي ١٦. فبعد ١٦ عامًا سيكون عمر مازن نصف عمر طارق. ويعني ذلك أن عمر مازن سيكون ثمانية زائد ١٦. أي، إن عمره سيكون ٢٤ عامًا في ذلك الوقت.

ها قد وجدنا النتيجة. وقد حصلنا على الحل نفسه. لكننا سلكنا طريقًا مختلفًا تمامًا. إن لكل طريقة مميزاتها وعيوبها. على سبيل المثال، باستخدام الطريقة الجبرية، طورنا حلًّا عامًّا يمكن أن نكيفه بسهولة مع أي معطيات إذا كان لدينا أعداد مختلفة، وطورنا أيضًا مهارات من شأنها أن تساعدنا في إنشاء جداول بيانات أو تطوير برامج كمبيوتر. أما باستخدام طريقة الأعمدة الأفقية، فيمكننا تصور المسألة وحلها والتحقق من الحل بسهولة دون الحاجة إلى التفكير في صيغ نظرية.

من المرجح أن لكل منا طرقه المفضلة لحل المسائل. فبعضنا يفضل اتباع طريقة محددة وتصور مسألة معينة، بينما يفضل آخرون الحل بطريقة مجردة وعامة باستخدام الجبر. وفي كلتا الحالتين، قد يكون من المفيد أن نخصص وقتًا لمحاولة حل المسائل باستخدام طريقة أخرى تمكننا من رؤية العالم حولنا وتحليله بطريقة مختلفة.