فيديو السؤال: إيجاد تكامل دالة عن طريق توزيع القسمة وتطبيق قاعدة القوة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل سبعة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة الكل مقسوم على ستة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة تكامل دالة كسرية. ويصعب إجراء هذا التكامل عندما تكون الدالة في صورتها الحالية. لذا، دعونا بدلًا من ذلك نبسط هذا التعبير. ولكي نفعل ذلك، سنقسم كل حد في البسط على المقام على حدة. هذا يعطينا تكامل سبعة ﺱ تربيع على ستة ﺱ ناقص ثلاثة على ستة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. والآن يمكننا تبسيط الدالة التي سنوجد تكاملها. في الحد الأول، يمكننا حذف العامل المشترك ﺱ. وفي الحد الثاني، يمكننا القسمة على العامل المشترك ثلاثة في البسط والمقام. وهذا يعطينا تكامل سبعة أسداس ﺱ ناقص واحد على اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

يمكننا الآن إيجاد تكامل كل حد على حدة. دعونا نبدأ بالحد الأول. نلاحظ أن هذه دالة كثيرة الحدود. ويمكننا إيجاد تكامل الدوال الكثيرات الحدود باستخدام قاعدة القوة للتكامل، التي تنص على أنه لأي ثابتين ﺃ وﻥ؛ حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإن تكامل ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. ما يعني أننا نضيف واحدًا إلى أس ﺱ، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. وفي هذه الدالة، يمكننا كتابة أس ﺱ على صورة العدد واحد. ومن ثم، نضيف واحدًا إلى أس ﺱ لنحصل على أس اثنين، ثم نقسم على هذا الأس الجديد؛ أي اثنين. وهذا يعطينا سبعة على ستة مضروبًا في ﺱ تربيع على اثنين.

ننتقل الآن إلى عملية إيجاد تكامل الحد الثاني. للقيام بذلك، قد يكون من الأسهل إعادة كتابة هذا الحد على الصورة سالب نصف مضروبًا في واحد على ﺱ. بعد ذلك، نلاحظ أننا نوجد تكامل عدد ثابت في دالة المقلوب. ويمكننا فعل ذلك بتذكر أن لأي ثابت حقيقي ﺃ، فإن تكامل ﺃ على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وفي هذه الحالة، قيمة ﺃ تساوي سالب نصف. ومن ثم، فإن تكامل هذا الحد يساوي سالب نصف في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ. وتذكر أنه علينا إضافة ثابت التكامل ﺙ. يمكننا تبسيط الحد الأول لهذا التعبير للحصول على الإجابة النهائية. سبعة على ستة في ﺱ تربيع على اثنين يساوي سبعة ﺱ تربيع على ١٢.

وبذلك، نكون قد أوجدنا أن تكامل سبعة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة الكل مقسوم على ستة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سبعة ﺱ تربيع على ١٢ ناقص نصف في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.