فيديو: إيجاد التقريب الخطي لدالة كثيرة الحدود

أوجد التقريب الخطي للدالة ‪𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 𝑥² + 3‬‏ عند ‪𝑥 = −2‬‏.

٠٣:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد التقريب الخطي للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑥 تكعيب ناقص 𝑥 تربيع زائد ثلاثة عند النقطة 𝑥 يساوي سالب اثنين.

لإيجاد التقريب الخطي عند 𝑥 يساوي 𝑎، علينا إيجاد قيمة الدالة الأصلية عند 𝑥 يساوي 𝑎، أي 𝑓 لـ 𝑎. ثم تجمع هذه القيمة مع قيمة مشتقة الدالة الأصلية عند 𝑥 يساوي 𝑎. ونضرب هذه القيمة في 𝑥 ناقص 𝑎. نأخذ معادلة التقريب الخطي هذه ونقسمها إلى ثلاثة أجزاء، ثم نحلها لإيجاد قيمة كل جزء على حدة.

أولًا، سنوجد قيمة الدالة الأصلية عند 𝑎. قيمة 𝑎، أي النقطة التي نريد عندها إيجاد التقريب الخطي، تساوي سالب اثنين. ثم نوجد قيمة الدالة الأصلية عند سالب اثنين: سالب اثنين تكعيب ناقص سالب اثنين تربيع زائد ثلاثة. سالب اثنين تكعيب، وهو ما يساوي سالب ثمانية، ناقص سالب اثنين تربيع، وهو ما يساوي أربعة، زائد ثلاثة. ‏𝑓 لسالب اثنين يساوي سالب ثمانية ناقص أربعة زائد ثلاثة. إذن قيمة الدالة، عند 𝑥 يساوي سالب اثنين، هي سالب تسعة. أوجدنا قيمة الجزء الأول، وهي سالب تسعة.

والآن، علينا إيجاد مشتقة الدالة الأصلية. المشتقة بالنسبة إلى 𝑥 لـ 𝑥 تكعيب ناقص 𝑥 تربيع زائد ثلاثة يساوي ثلاثة في 𝑥 تربيع ناقص اثنين 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية واحد زائد صفر. ‏𝑓 شرطة في المتغير 𝑥 تساوي ثلاثة 𝑥 تربيع ناقص اثنين 𝑥. ونحن نحاول إيجاد قيمة هذا عند سالب اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة في سالب اثنين تربيع ناقص اثنين في سالب اثنين.

ثلاثة في سالب اثنين تربيع يساوي ثلاثة في أربعة، وهو ما يعطينا 12. وحاصل ضرب سالب اثنين في سالب اثنين يساوي موجب أربعة. 12 زائد أربعة يساوي 16. قيمة مشتقة الدالة عند سالب اثنين تساوي 16. يمكننا المتابعة وإضافة هذا الناتج إلى معادلة التقريب الخطي.

الجزء الثالث والأخير هو 𝑥 ناقص 𝑎. ‏𝑥 ناقص 𝑎 يساوي 𝑥 ناقص سالب اثنين وسنبسطها إلى 𝑥 زائد اثنين. 16 في 𝑥 زائد اثنين هو الجزء المفقود. معادلة التقريب الخطي إذن هي سالب تسعة زائد 16 في 𝑥 زائد اثنين.

ونريد تبسيطها، فنضرب 16 في كل من 𝑥 واثنين، ليصبح لدينا 16𝑥 زائد 32. إذن المقدار الجديد هو: سالب تسعة زائد 16𝑥 زائد 32. يمكننا تجميع الحدود المتشابهة. سالب تسعة زائد 32 يساوي 23 زائد 16𝑥. نريد البدء بالحد 𝑥، لذا نحركه ونقول 16𝑥 زائد 23. التقريب الخطي للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑥 تكعيب ناقص 𝑥 تربيع زائد ثلاثة، عند 𝑥 يساوي سالب اثنين، هو 16𝑥 زائد 23.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.