فيديو الدرس: الضرب القياسي في بعدين

نسخة الفيديو النصية

توجد ثلاث طرق لضرب المتجه. يمكنك الضرب في قيمة قياسية حيث تضرب كمركبة من مركبات المتجه في عدد حقيقي أو قيمة قياسية. لدينا على سبيل المثال ثلاثة ﻕ، حيث نضرب كل مركبة من مركبات المتجه ﻕ في العدد ثلاثة. يمكنك أيضًا ضرب متجهات في متجهات وتوجد طريقتان مختلفتان لذلك، وهما: حاصل الضرب القياسي وحاصل الضرب الاتجاهي. في هذا الفيديو، سنتناول حاصل الضرب القياسي فقط، حيث نلقي نظرة على بعض الطرق الجيدة لاستخدامه ونحل بعض الأمثلة.

حسنًا!

لدينا المتجه ﻝ، وهو يساوي سبعة، اثنان؛ والمتجه ﻉ وهو يساوي ثلاثة، ستة ومطلوب منا إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ. هذه هي الصيغة التي نستخدمها: ﻝ ثم نقطة ثم ﻉ. والنقطة ليست على السطر. توجد النقطة في المنتصف، إذا كنت ترى ما أقصده، أي في الفراغ بين ﻝ وﻉ، وهذا هو الرمز الذي يعبر عن الضرب القياسي.

عند حساب حاصل الضرب القياسي، تكون الإجابة التي نحصل عليها قيمة قياسية أو عددًا حقيقيًّا. دعونا نلق نظرة على ذلك. نكتب المتجهين بصورتهما الإحداثية. وهي سبعة فاصلة اثنان نقطة ثلاثة فاصلة ستة. لحساب ذلك، يمكننا جمع حاصل ضرب المركبتين الأفقيتين وحاصل ضرب المركبتين الرأسيتين. أولًا، نضرب سبعة في ثلاثة، ثم نضيف اثنين في ستة.

يبدو هذا غريبًا بعض الشيء، لدينا سبعة نقطة ثلاثة زائد اثنين نقطة ستة. هذا لا يعني ثلاثة علامة عشرية سبعة زائد ستة علامة عشرية اثنين. وإنما يعني سبعة في ثلاثة واثنين في ستة، والضرب هنا هو الضرب القياسي. لا نستخدم علامة الضرب الاتجاهي العادية لأنها قد تسبب لبسًا بين هذا النوع من الضرب والضرب الاتجاهي للمتجه. لذا، أعتذر عن حدوث لبس هنا، لكن عليك أن تعتاد على استخدام هذه الصيغة لأن هذا ما نستخدمه للتعبير عن حاصل الضرب القياسي. عندما ترى هذه النقطة مرفوعة عن السطر قليلًا؛ فهذا يعني أننا نضرب العددين معًا. سبعة في ثلاثة يساوي ٢١ واثنان في ستة يساوي ١٢. عند جمع العددين معًا، نحصل على ٣٣. فكما قلنا، لإيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين، نضرب كل مركبة من المركبات المناظرة معًا ثم نجمع الناتجين، وتكون الإجابة التي نحصل عليها هي عددًا، أي قيمة قياسية.

دعونا نلخص ذلك. حاصل الضرب القياسي لمتجهين هو مجموع حواصل ضرب المركبات المناظرة، حيث نضرب مركبتي ﺱ معًا ثم نجمع حاصل ضرب مركبتي ﺹ في هذه الحالة.

تناولنا مثالًا لمتجه ثنائي الأبعاد، ولكن يمكن أيضًا توسيع نطاق ذلك ليشمل متجهات ثلاثية أو رباعية الأبعاد أو أي عدد من الأبعاد نريده. يتضح أنه يجب أن يكون للمتجهين ﻉ وﻕ عدد الأبعاد نفسه، ولكن يمكن أن يكون لدينا بعد واحد أو بعدان أو ثلاثة أو أربعة أبعاد بقدر ما نريد حتى ﻥ من الأبعاد في كل منهما، وكل ما نفعله هو ضرب المركبات المناظرة معًا. إذن، لدينا ﻉ واحد في ﻕ واحد، وهذه مجرد قيمة قياسية، أي ناتج عدد حقيقي. لدينا بعد ذلك ﻉ اثنين في ﻕ اثنين. ثم نجمع ﻉ ثلاثة في ﻕ ثلاثة وﻉ أربعة في ﻕ أربعة وﻉ خمسة في ﻕ خمسة وهكذا حتى ﻉﻥ في ﻕﻥ. وبذلك، نضرب عددًا في عدد، وعددًا في عدد، وعددًا في عدد وهكذا ونجمع كل ذلك معًا. الإجابة التي نحصل عليها هي مجرد عدد حقيقي أو قيمة قياسية. وهذه هي عملية التوسع إلى عدد ﻥ من الأبعاد بقدر ما نريد.

دعونا الآن نلق نظرة سريعة على معايير المتجهات ونتناول أمرًا آخر. لدينا هنا المتجه ﺃﺃ ومركبة ﺱ له هي خمسة ومركبة ﺹ هي ١٢. يجب أن تتذكر أنه إذا أردنا إيجاد معيار المتجه ﺃﺃ، فعلينا استخدام بعض قواعد نظرية فيثاغورس وحساب الجذر التربيعي لخمسة تربيع زائد ١٢ تربيع، وهو ما يساوي ١٣، لمن يهتم بمعرفة الإجابة. لكن هذا ليس له صلة بما سأقوله. أريد فقط إلقاء نظرة سريعة على ما بداخل هذا الجذر التربيعي، أي ما يوجد تحت الجذر، وأيضًا على هذا المقدار الذي نحصل عليه. تخيل أنه لدينا المتجه ﺃﺏ ضرب قياسي المتجه ﺃﺏ. هذا يساوي خمسة و١٢ ضرب قياسي خمسة و١٢. نضرب المركبات المتناظرة معًا ونجمع النواتج. إذن، هذا يساوي خمسة في خمسة زائد ١٢ في ١٢، وهو ما يعطينا خمسة تربيع زائد ١٢ تربيع. بذلك ما حصلنا عليه هنا هو نفسه ما حصلنا عليه هنا، إذن لدينا داخل هذا الجذر التربيعي ﺃﺏ ضرب قياسي ﺃﺏ. إذن، معيار المتجه ﺃﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃﺏ ضرب قياسي ﺃﺏ، وقد فعلنا ذلك في مثال لمتجه ثنائي الأبعاد، ولكن هذا يصلح أيضًا مع متجه ثلاثي الأبعاد ورباعي الأبعاد وأي عدد نريده من الأبعاد. هذه نتيجة بسيطة ومفيدة يمكننا استخدامها. يعني ذلك أننا نحسب مربع كل مركبة ثم نجمعهم معًا ثم نضع ذلك داخل الجذر التربيعي.

تعرفنا على حاصل الضرب القياسي وتناولنا مثالًا على ذلك، لا تقلق سنتدرب أكثر على ذلك بعد قليل. هذه نتيجة أخرى مفيدة ستساعدنا على إيجاد قياس الزاوية بين متجهين. إذا كان لدينا المتجهان ﻉ وﻕ، حيث يمكن أن يكونا ثنائيي الأبعاد أو ثلاثيي الأبعاد أو بأي عدد من الأبعاد كما قلنا سابقًا، فإن جتا الزاوية بينهما يساوي المتجه ﻉ مقسومًا على مقدار ﻉ. وهذا يساوي متجه الوحدة في اتجاه المتجه ﻉ ضرب قياسي متجه الوحدة ﻕ في اتجاه المتجه ﻕ. وبذلك، يكون 𝜃 كما قلنا هو الزاوية بين هذين المتجهين، هذه نتيجة رائعة، ويمكننا إعادة ترتيب ذلك. يتضح أنه إذا كان جتا 𝜃 يساوي هذا المقدار، فإن 𝜃 يساوي الدالة العكسية لـ جتا لذلك المقدار. هذه إذن مجرد إعادة ترتيب بسيطة أخرى للصيغة. إذا أوجدنا حاصل الضرب القياسي لمتجهي الوحدة في الاتجاهين ﻉ وﻕ، فهذا يعطينا جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما؛ ومن هنا يمكننا إيجاد قياس الزاوية بينهما. لنلق نظرة على مثالين على ذلك.

حسنًا! لدينا المتجه ﻝ يساوي أربعة، واحد والمتجه ﻉ وصورته الإحداثية اثنان، خمسة. سنقوم بأمرين فقط: . أولًا، دعونا نرسم مخططًا سريعًا لهذه المسألة. لدينا المتجه ﻝ يساوي أربعة، واحد والمتجه ﻉ يساوي اثنين، خمسة، حيث يبدو هكذا تقريبيًّا، وما نحاول إيجاده أيضًا هو قياس الزاوية 𝜃، وهي الزاوية بين المتجهين. حسنًا! نتابع ونفعل ذلك. لإيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين، تذكر أننا نضرب مركبتي ﺱ معًا ونجمع ذلك مع حاصل ضرب مركبتي ﺹ. هذا يساوي أربعة في اثنين زائد واحد في خمسة، وهو ما يساوي ثمانية زائد خمسة؛ مما يساوي ١٣. قمنا بحل هذا الجزء من المسألة سريعًا جدًّا. حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ يساوي ١٣.

لإيجاد قياس الزاوية بينهما، نعلم أن جتا الزاوية بينهما هو حاصل الضرب القياسي لمتجهي الوحدة في الاتجاه ﻝ وﻉ. ولإيجاد متجهي الوحدة، نقسم المتجه ﻝ على معياره، ونقسم المتجه ﻉ على معياره. هيا نعوض ببعض الأعداد. لإيجاد معيار المتجه ﻝ، الذي يساوي أربعة، واحد، نحسب الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد واحد تربيع. إذن، نقوم بتربيع كل مركبة ونجمع الناتج معًا ثم نحسب الجذر التربيعي لذلك. إذن، نحن نستخدم نظرية فيثاغورس في الأساس، فلنفعل الشيء نفسه مرة أخرى مع المتجه ﻉ. ولأن مركبتي ﻉ هما اثنان وخمسة، فهذا يساوي واحدًا على اثنين تربيع زائد خمسة تربيع في المتجه ﻉ. يعني هذا أنه لدينا كل مركبة من مركبتي ﻝ مقسومة على المعيار؛ ومن ثم كل مركبة من مركبتي ﻉ مقسومة على معيارها أيضًا. إذن لدينا أربعة تربيع زائد واحد تربيع، وهذا يساوي ١٦ زائد واحد. نحصل على جذر ١٧ لهذا المعيار. وفقط نقسم كلًّا من مركبة ﺱ على جذر ١٧ ومركبة ﺹ على جذر ١٧. نفعل الشيء نفسه مع المتجه ﻉ، اثنان تربيع يساوي أربعة، وخمسة تربيع يساوي ٢٥؛ ومن ثم نحصل على واحد على جذر ٢٩. وبقسمة مركبات ﺱ وﺹ على جذر ٢٩، يصبح هذا المتجه يساوي اثنين على جذر ٢٩، خمسة على جذر ٢٩. إذن، يعني إيجاد حاصل الضرب القياسي أن نضرب هذا الحد في هذا الحد، ونضرب هذا الحد في هذا الحد ونجمع الناتجين معًا. إذن، جتا 𝜃 يساوي أربعة على جذر ١٧ في اثنين على جذر ٢٩ زائد واحد على جذر ١٧ في خمسة على جذر ٢٩. أربعة في اثنين يساوي ثمانية، و١٧ في ٢٩ يساوي ٤٩٣. إذن، نحصل على ثمانية على جذر ٤٩٣. واحد في خمسة يساوي خمسة، وهذا يساوي خمسة على جذر ٤٩٣. ثمانية وخمسة يساوي ١٣، إذن جتا 𝜃 يساوي ١٣ على جذر ٤٩٣. والآن علينا إيجاد الدالة العكسية لجيب التمام لهذا المقدار. إذن، الدالة العكسية لـ جتا ١٣ على جذر ٤٩٣ يساوي ٥٤٫٢ لأقرب منزلة عشرية، وهذه هي الإجابة. حسنًا، هذه هي إجابتنا بالدرجات لأقرب منزلة عشرية واحدة؛ وعليه فقياس هذه الزاوية يساوي ٥٤٫٢ درجة لأقرب منزلة عشرية.

يعتمد هذا الجزء الثاني من المسألة كله على حقيقة أن جيب تمام الزاوية بين المتجهين يساوي حاصل الضرب القياسي لمتجهي الوحدة في الاتجاهين ﻝ وﻉ. ولإيجاد متجه الوحدة، نقسم المتجه على طوله بحيث يكون طوله واحدًا. اتبعنا ذلك وأوجدنا الدالة العكسية لـ جتا وتوصلنا إلى الإجابة النهائية.

حسنًا، لنتناول مثالًا آخر.

أوجد قياس الزاوية بين المتجه ﻝ الذي يساوي ثلاثة، سالب اثنين والمتجه ﻉ الذي يساوي سالب خمسة، سالب ثلاثة. لنرسم شكلًا سريعًا لنرى كيف يبدو ذلك.

المتجه ﻝ يساوي ثلاثة، سالب اثنين؛ والمتجه ﻉ يساوي سالب خمسة، سالب ثلاثة، ونأمل أن تكون الزاوية بينهما هي هذه الزاوية. سأسميها 𝜃، حسنًا؟ ليس علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ لبدء الحل. كان هذا في المسألة السابقة فقط. كل ما هو مطلوب منا هو استخدام النتيجة جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي لمتجهي الوحدة في الاتجاهين ﻝ وﻉ. ومن ثم، سأعيد ترتيب ذلك وأجعل 𝜃 يساوي الدالة العكسية لـ جتا لكل ذلك، فلنكتب هذا. إنها فكرة جيدة دائمًا أن تكتب النتيجة التي تبدأ بها، وهو ما يوجه العملية الحسابية التي تجريها. حسنًا! نجري بعض عمليات التعويض. نعرف كيفية إيجاد معيار ﻝ، فهو يساوي الجذر التربيعي لثلاثة تربيع في سالب اثنين تربيع، ويمكننا كتابة ذلك. نفس الشيء بالنسبة للمتجه ﻉ. يمكنك ملاحظة أن الأمر بدأ يبدو معقدًا قليلًا لأنني أعدت ترتيب ذلك إلى 𝜃 يساوي الدالة العكسية لـ جتا. نكتب هذه الأقواس الكبيرة في كل مرة حتى تتمكن من اتخاذ قرار بشأن ما إذا كنت ستستخدم هذه الصيغة مباشرة أو ستستخدم الصيغة السابقة التي استخدمتها للتو، ثم تجري التحويل في النهاية بأخذ الدالة العكسية لـ جتا. لكن دعونا نتابع التمرين على أي حال ونوجد قيمة كل حد من هذه الحدود. ثلاثة تربيع زائد سالب اثنين تربيع يساوي ١٣، إذن يصبح المتجه ﻝ ثلاثة على جذر ١٣، سالب اثنين على جذر ١٣. ننتقل بعد ذلك إلى المتجه ﻉ، حيث سالب خمسة تربيع زائد سالب ثلاثة تربيع يساوي ٣٤. إذن، مركبتا ﻉ هما سالب خمسة على جذر ٣٤ وسالب ثلاثة على جذر ٣٤. نوجد حاصل الضرب القياسي لهاتين المركبتين. هذا يساوي حاصل ضرب هذه المركبة في هذه المركبة زائد حاصل ضرب هذه المركبة في هذه المركبة، وهو ما يعطينا هذا الناتج. نحصل على ثلاثة على جذر ١٣ في سالب خمسة على جذر ٣٤، وسالب اثنين في سالب ثلاثة على جذر ١٣ في جذر ٣٤. إذن، هذا يعطينا سالب ١٥ على جذر ٤٤٢ زائد ستة على جذر ٤٤٢. نجمع هذين المقدارين معًا فنحصل على سالب تسعة على جذر ٤٤٢. إذا استخدمنا الآلة الحاسبة وحسبنا الدالة العكسية لـ جتا تسعة على جذر ٤٤٢، فسنحصل على زاوية قياسها ١١٥٫٣ درجة لأقرب منزلة عشرية. هذا هو قياس الزاوية! إذن، هذه هي الإجابة. دعونا الآن نلق نظرة سريعة على الرسم البياني للتأكد من أن الحل منطقي. حصلنا على قياس الزاوية ١١٥ درجة وهو ما يتناسب مع هذه الزاوية. ولم نحصل على قياس هذه الزوايا الخارجية. في بعض الأحيان، عليك التحقق من الزاوية الناتجة؛ لذلك نأمل أن يكون ذلك واضحًا لك.

لنلخص سريعًا ما تناولناه في هذا الفيديو. في الضرب القياسي لمتجهين، نضرب كل مركبة من المركبات المناظرة للمتجهين معًا، أي ﻉ ضرب قياسي ﻕ. نحصل على ﻉ واحد ﻕ واحد زائد ﻉ اثنين ﻕ اثنين زائد ﻉ ثلاثة ﻕ ثلاثة وهكذا حتى ﻉ ﻥ ﻕ ﻥ، وهذه حالة بسيطة كما رأينا في المثال إذا كان لدينا مثال على متجه ثنائي الأبعاد. ولكن يمكننا التوسع في ذلك إلى أي عدد من الأبعاد نريده. يكون الناتج مجرد عدد، أي عددًا حقيقيًّا أو قيمة قياسية. الضرب القياسي لمتجهي الوحدة في اتجاهات المتجهين يعطينا جيب تمام الزاوية بينهما؛ مما يتيح لنا معرفة قياس الزاوية بين المتجهين. هذا مفيد جدًّا. وبذلك نكون قد انتهينا.