فيديو السؤال: إيجاد قيمة مقدار باستخدام المتطابقات المثلثية للدوال المتكافئة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة قا 𝜃 مضروبًا في قتا 𝜃 ناقص ظتا 𝜃، إذا كانت 𝜃 أكبر من ١٨٠ درجة وأقل من ٢٧٠ درجة، وجا 𝜃 يساوي سالب ثلاثة أخماس.

دعونا نبدأ برسم مخطط الإشارات للدوال المثلثية كما هو موضح. بما أن 𝜃 تقع بين ١٨٠ درجة و٢٧٠ درجة، فمعنى ذلك أنها ستقع في الربع الثالث. ونعرف أنه لأي زاوية تقع في هذا الربع، يكون ظل الزاوية وظل تمام الزاوية موجبين، في حين تكون جميع قيم جا 𝜃 وجتا 𝜃 وقتا 𝜃 وقا 𝜃 سالبة. وبما أن جا 𝜃 يساوي سالب ثلاثة أخماس، فيمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الثالث. هذا المثلث القائم الزاوية يمثل ثلاثية فيثاغورس التي تتكون من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة، وهي ثلاثة وأربعة وخمسة، حيث ثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع يساوي خمسة تربيع. وبما أن جتا 𝛼 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر وظا 𝛼 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، إذن، من خلال المخطط، نحصل على جتا 𝛼 يساوي أربعة أخماس، وظا 𝛼 يساوي ثلاثة أرباع.

يمكننا أن نلاحظ أيضًا من المخطط أن 𝜃 تساوي ١٨٠ درجة زائد 𝛼. ومن خلال معرفتنا بالزوايا المنتسبة، نعلم أن جتا ١٨٠ درجة زائد 𝛼 يساوي سالب جتا 𝛼. وظا ١٨٠ درجة زائد 𝛼 يساوي ظا 𝛼. هذا يعني أن جتا 𝜃 يساوي سالب أربعة أخماس، وظا 𝜃 يساوي ثلاثة أرباع. يتوافق هذا مع الحقيقة التي نعلمها وهي أن ظا 𝜃 يجب أن يكون موجبًا وجتا 𝜃 يجب أن يكون سالبًا. بعد ذلك، تشير متطابقات مقلوب الدوال المثلثية إلى أن قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃، وقا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃، وظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. هذا يعني أن قتا 𝜃 يساوي سالب خمسة أثلاث، وقا 𝜃 يساوي سالب خمسة أرباع، وظتا 𝜃 يساوي أربعة أثلاث.

أصبح الآن بإمكاننا إيجاد قيمة قا 𝜃 مضروبًا في قتا 𝜃 ناقص ظتا 𝜃. وهذا يساوي سالب خمسة أرباع مضروبًا في سالب خمسة أثلاث ناقص أربعة أثلاث. سالب خمسة أرباع مضروبًا في سالب خمسة أثلاث يساوي ٢٥ على ١٢. بما أن أربعة أثلاث يساوي ١٦ على ١٢، فسيصبح لدينا ٢٥ على ١٢ ناقص ١٦ على ١٢. بما أن المقامين متساويان، فإننا سنطرح البسطين فقط، وهذا سيعطينا تسعة على ١٢. يمكن تبسيط ذلك عن طريق قسمة البسط والمقام على ثلاثة، وهكذا نحصل على الناتج النهائي وهو ثلاثة أرباع.

إذن، إذا كانت 𝜃 تقع بين ١٨٠ درجة و٢٧٠ درجة، وجا 𝜃 يساوي سالب ثلاثة أخماس، فإن قا 𝜃 مضروبًا في قتا 𝜃 ناقص ظتا 𝜃 يساوي ثلاثة أرباع.