فيديو الدرس: خواص النهايات الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

خواص النهايات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص النهايات، مثل نهايات الجمع والطرح وحاصل الضرب وخارج القسمة لدالتين أو أكثر، ونهايات بعض الدوال المركبة. سوف نتناول أمثلة متنوعة حول كيفية استخدام هذه الخواص. فلنبدأ بتعريف بعض الخواص.

افترض أن ﺩﺱ وﻕﺱ دالتان، وﺃ قيمة ما؛ حيث إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ والنهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻕﺱ موجودتان. إذن، لدينا هنا خاصية لنهايات مجموع عدد من الدوال، والتي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ زائد الدالة ﻕﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ زائد النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻕﺱ. لدينا أيضًا خاصية لنهايات الفروق بين الدوال. وهي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ ناقص الدالة ﻕﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ ناقص النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻕﺱ. ويمكننا ملاحظة أنه يمكن استخدام هاتين الخاصيتين معًا. فلننظر الآن إلى مثال حول كيفية استخدام هاتين الخاصيتين.

إذا كانت النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين للدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة، وكانت النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين للدالة ﻉﺱ تساوي سالب سبعة، وكانت النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين للدالة ﻱﺱ تساوي سالب واحد، فأوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين للدالة ﺩﺱ زائد الدالة ﻉﺱ ناقص الدالة ﻱﺱ.

لإيجاد قيمة هذه النهاية، يمكننا البدء بتقسيمها باستخدام خواص النهايات. لدينا خاصية لنهايات مجموع عدد من الدوال، والتي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ زائد الدالة ﻉﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ زائد النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻉﺱ. ولدينا أيضًا خاصية نهايات الفروق بين الدوال. وهي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ ناقص الدالة ﻉﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ ناقص النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻉﺱ. والآن، يمكننا تطبيق هاتين الخاصيتين على النهاية التي نحاول إيجادها.

يمكننا البدء باستخدام قاعدة نهايات مجموع الدوال. في هذه الحالة، قيمة ﺃ تساوي اثنين. يمكننا تقسيم ما بداخل النهاية لدينا؛ حيث نجمع دالتين، وهما الدالة ﺩﺱ والدالة ﻉﺱ ناقص الدالة ﻱﺱ. تصبح النهاية لدينا تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين للدالة ﺩﺱ زائد النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين للدالة ﻉﺱ ناقص الدالة ﻱﺱ. بعد ذلك، يمكننا استخدام قاعدة نهايات الفروق بين الدوال. مرة أخرى، قيمة ﺃ تساوي اثنين. وبداخل النهاية، لدينا فرق بين دالتين وهما الدالة ﻉﺱ والدالة ﻱﺱ. بتطبيق القاعدة، تصبح النهاية لدينا تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين للدالة ﺩﺱ زائد النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين للدالة ﻉﺱ ناقص النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين للدالة ﻱﺱ.

يمكننا الآن ملاحظة أننا نعلم قيمة كل نهاية من تلك النهايات الثلاث، فهي من معطيات المسألة. إذن، بالتعويض بثلاثة وسالب سبعة وسالب واحد، نستنتج أن النهاية المطلوبة تساوي ثلاثة زائد سالب سبعة ناقص سالب واحد. وبتبسيط ذلك، نحصل على الحل: النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين للدالة ﺩﺱ زائد الدالة ﻉﺱ ناقص الدالة ﻱﺱ تساوي سالب ثلاثة.

والآن، فلنبدأ بتناول المزيد من خواص النهايات.

مرة أخرى، لدينا الدالة ﺩﺱ والدالة ﻕﺱ مع وجود قيمتين ثابتتين ﺃ وﺟ؛ حيث إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ والنهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻕﺱ موجودتان. هذه المرة، لدينا قيمة ثابتة إضافية، وهي ﺟ. وسوف نعرف سبب وجودها هنا في الخاصية الأولى. هذه الخاصية الأولى تدور حول الثوابت المضروبة داخل نهاية ما. وهي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للثابت ﺟ مضروبًا في الدالة ﺩﺱ تساوي ﺟ مضروبًا في النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ. وبشكل أساسي، ما تخبرنا به تلك الخاصية هو أنه إذا كان لدينا عامل ثابت داخل النهاية، فيمكننا ببساطة إخراجه خارج النهاية. الخاصية التالية هي نهاية حاصل ضرب الدوال. وهي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ مضروبة في الدالة ﻕﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ مضروبة في النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻕﺱ. الخاصية الثالثة هنا تعني بنهايات خارج قسمة الدوال. وهي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ على الدالة ﻕﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ على النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻕﺱ. ومن المهم أيضًا ملاحظة أن كل قاعدة من تلك القواعد يمكن استخدامها مع الأخرى، بما في ذلك القاعدتان اللتان تناولناهما في البداية. فلننظر الآن إلى أمثلة حول كيفية استخدام تلك القواعد.

افترض أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة للدالة ﺩﺱ تساوي خمسة، والنهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة للدالة ﻉﺱ تساوي ثمانية، والنهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة للدالة ﻱﺱ تساوي تسعة. أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة للدالة ﺩﺱ مضروبة في الدالة ﻉﺱ ناقص الدالة ﻱﺱ.

يمكننا البدء بتقسيم النهاية المعطاة في السؤال باستخدام خواص النهايات. أولًا، يمكننا استخدام قاعدة نهايات الفروق بين الدوال. وهي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ ناقص الدالة ﻉﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ ناقص النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻉﺱ. بالنظر إلى النهاية لدينا، يمكننا ملاحظة أن قيمة ﺃ تساوي ثلاثة. ويمكننا ملاحظة أن هناك فرقًا بين دالتين داخل النهاية لدينا. فلدينا هنا الدالة ﺩﺱ مضروبة في الدالة ﻉﺱ ناقص الدالة ﻱﺱ. ومن ثم، يمكننا تطبيق القاعدة، فتصبح النهاية تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة للدالة ﺩﺱ في الدالة ﻉﺱ ناقص النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة للدالة ﻱﺱ.

ولتقسيم هذه النهاية أكثر من ذلك، سنحتاج إلى استخدام خاصية أخرى للنهايات. وتكون هذه الخاصية هي خاصية نهايات حاصل ضرب الدوال، والتي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من الثابت ﺃ لحاصل ضرب دالتين، — وليكونا الدالة ﺩﺱ في الدالة ﻉﺱ — تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ في النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻉﺱ. مرة أخرى، قيمة ﺃ لدينا هي ثلاثة. ويمكننا ملاحظة أن لدينا حاصل ضرب دالتين داخل النهاية. وهما الدالة ﺩﺱ في الدالة ﻉﺱ. بتطبيق هذه الخاصية، نجد أن النهاية لدينا تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة للدالة ﺩﺱ مضروبة في النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة للدالة ﻉﺱ ناقص النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة للدالة ﻱﺱ.

ويمكننا ملاحظة أن لدينا معطيات لقيم النهايات الثلاث هذه في السؤال. فلدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة للدالة ﺩﺱ تساوي خمسة، والنهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة للدالة ﻉﺱ تساوي ثمانية، والنهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة للدالة ﻱﺱ تساوي تسعة. لذلك، نعوض بهذه القيم عن النهاية لدينا، ليكون الناتج أن النهاية تساوي خمسة في ثمانية ناقص تسعة. ويمكن تبسيط هذا للحصول على الحل، وهو أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة للدالة ﺩﺱ مضروبة في الدالة ﻉﺱ ناقص الدالة ﻱﺱ تساوي ٣١.

في المثال التالي، سنرى كيفية استخدام خاصية خارج قسمة الدوال.

إذا كانت النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين للدالة ﺩﺱ على ثلاثة ﺱ تربيع تساوي سالب ثلاثة، فأوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين للدالة ﺩﺱ.

في هذه المسألة، معلوم لدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين للدالة ﺩﺱ على ثلاثة ﺱ تربيع. يمكننا تقسيم هذه النهاية باستخدام خواص النهايات. لدينا خاصية لنهايات خارج قسمة الدوال، والتي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ على الدالة ﻕﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ على النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻕﺱ. بالنسبة إلى النهاية التي نتحدث عنها، لدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين. وعليه، فإن قيمة ﺃ تساوي سالب اثنين. ولدينا كذلك خارج قسمة دالتين. في البسط، لدينا الدالة ﺩﺱ. وفي المقام، لدينا ثلاثة ﺱ تربيع. بتطبيق هذه القاعدة الخاصة بنهايات خارج قسمة الدوال، نستنتج أن النهاية لدينا تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين للدالة ﺩﺱ على النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لثلاثة ﺱ تربيع.

فلننظر الآن إلى النهاية الموجودة في مقام الكسر. وهي النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لثلاثة ﺱ تربيع. إذن، يمكننا التعويض مباشرة في هذه النهاية، ويكون الناتج أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لثلاثة ﺱ تربيع تساوي ثلاثة في سالب اثنين تربيع. سالب اثنين تربيع يساوي أربعة. ثم نبسط لتصبح هذه النهاية تساوي ١٢. يمكننا التعويض بالقيمة ١٢ هذه في مقام الكسر، ويكون الناتج أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين للدالة ﺩﺱ على ثلاثة ﺱ تربيع تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين للدالة ﺩﺱ، الكل على ١٢.

ولكن انتبه أنه معلوم لدينا في السؤال أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين للدالة ﺩﺱ على ثلاثة ﺱ تربيع تساوي سالب ثلاثة. وبما أن هذا يمثل الطرف الأيسر من المعادلة، يمكننا أن نجعل المعادلة تساوي سالب ثلاثة. ومن ثم، يمكننا القول: إن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين للدالة ﺩﺱ على ١٢ تساوي سالب ثلاثة. نضرب ببساطة طرفي المعادلة في ١٢. وبهذا نكون قد توصلنا إلى الحل، وهو أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين للدالة ﺩﺱ تساوي سالب ٣٦.

هناك خاصيتان إضافيتان للنهايات سنتناولهما في هذا الفيديو، وهما كما يلي.

افترض أن لدينا دالة ﺩﺱ وقيمة ﺃ وعددًا صحيحًا ﻥ؛ حيث إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ موجودة.

لدينا هنا خاصية لنهايات القوى الخاصة بالدوال، وتخبرنا هذه الخاصية أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ أس ﻥ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ، الكل أسﻥ. لذلك، بشكل أساسي، إذا كان لدينا قوة دالة ما داخل النهاية، فيمكننا إخراج الأس خارج النهاية ورفع النهاية كلها ببساطة إلى تلك القوة. فلننوه في عجالة إلى أن قيمة العدد الصحيح لـ ﻥ هنا يمكن أن تكون موجبة أو سالبة. وستطبق هذه القاعدة في هذه الحالة. يمكننا ملاحظة كيف يمكن استنتاج خاصية النهاية هذه من خاصيتي نهايات حاصل ضرب الدوال ونهايات خارج قسمة الدوال. فإذا كررنا أيًّا من تلك الخصائص عددًا ﻥ من المرات باستخدام دالة واحدة فقط، وهي الدالة ﺩﺱ، فإننا نحصل إذن على هذه الخاصية.

خاصية النهايات الأخيرة لدينا هنا هي خاصية نهايات جذور الدوال. وهي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للجذر ﻥللدالة ﺩﺱ تساوي الجذر ﻥ للنهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ. لذلك، وبشكل أساسي، إذا كان لدينا جذر ﻥ لدالة داخل النهاية، فيمكننا إذن إخراج الجذر ﻥ خارج النهاية، وبدلًا من ذلك، نأخذ الجذر ﻥ لنهاية الدالة. يمكن أيضًا الجمع بين تلك الخاصيتين وبين أي خواص سابقة. فلننظر إلى بعض الأمثلة حول كيفية استخدام تلك الخواص.

افترض أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة للدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة، والنهاية عندما يقترب ﺱ من ستة للدالة ﻉﺱ تساوي ثمانية. أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة للجذر التربيعي للدالة ﻉﺱ ناقص الدالة ﺩﺱ.

نحتاج إلى إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة للجذر التربيعي للدالة ﻉﺱ ناقص الدالة ﺩﺱ. يمكننا تقسيم هذه النهاية باستخدام خواص النهايات. لدينا خاصية نهايات جذور الدوال. وهي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثابت ﺃ للجذر ﻥ للدالة ﺩﺱ تساوي الجذر ﻥ للنهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لدالة ﺩﺱ. النهاية التي نحاول إيجادها هي النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة للجذر التربيعي للدالة ﻉﺱ ناقص الدالة ﺩﺱ. إذن لدينا نهاية جذر تربيعي لدالة. يمكننا إذن تطبيق قاعدة نهايات جذور الدوال. وهي تخبرنا أن النهاية لدينا تساوي الجذر التربيعي للنهاية عندما يقترب ﺱ من ستة للدالة ﻉﺱ ناقص الدالة ﺩﺱ.

الآن، يمكننا ملاحظة أن لدينا نهاية فرق بين دالتين؛ حيث إن النهاية لدينا هي نهاية الدالة ﻉﺱ ناقص الدالة ﺩﺱ. يمكننا تطبيق قاعدة نهاية الفرق بين دالتين، والتي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثابت ﺃ لفرق بين دالتين — ولتكن الدالة ﺩﺱ ناقص الدالة ﻉﺱ — تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ ناقص النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻉﺱ. يمكننا تطبيق هذه القاعدة على النهاية الموجودة داخل الجذر التربيعي، فيكون الناتج هو أن النهاية تساوي الجذر التربيعي للنهاية عندما يقترب ﺱ من ستة للدالة ﻉﺱ ناقص النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة للدالة ﺩﺱ.

يمكننا الآن ملاحظة أن النهايات داخل الجذر التربيعي موجودة ضمن معطيات السؤال. فلدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة للدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة، والنهاية عندما يقترب ﺱ من ستة للدالة ﻉﺱ تساوي ثمانية، فيصبح الناتج أن النهاية لدينا تساوي الجذر التربيعي لثمانية ناقص ثلاثة. ومن خلال تبسيط ذلك، نحصل على الحل، وهو أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة للجذر التربيعي للدالة ﻉﺱ ناقص الدالة ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لخمسة.

بعد ذلك، سننتقل إلى المثال الأخير الذي سنلاحظ فيه كيفية استخدام خواص النهايات حتى عندما تكون الدالة معرفة بيانيًّا.

انظر إلى التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ. أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺱ مضروبًا في الدالة ﺩﺱ، الكل تربيع.

المطلوب هنا هو إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺱ مضروبًا في ﺩﺱ، الكل تربيع. يمكننا ملاحظة أن لدينا قوة لدالة. لذلك، يمكننا استخدام قاعدة نهايات القوى للدوال. وهي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ أسﻥ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ، الكل أس ﻥ. في حالة النهاية لدينا، قيمة ﺃ تساوي واحدًا والقوة التي نرفع الدالة إليها تساوي اثنين. إذن قيمة ﻥ تساوي اثنين. والآن يمكننا تطبيق هذه القاعدة. وهي تخبرنا أن النهاية لدينا تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺱ مضروبًا في ﺩﺱ، الكل تربيع.

بعد ذلك، يمكننا تبسيط النهاية داخل التربيع لدينا أكثر من ذلك. لدينا قاعدة نهايات حاصل ضرب الدوال. وهي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ مضروبة في الدالة ﻕﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ مضروبة في النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻕﺱ. الآن، حاصل ضرب الدالتين لدينا يساوي ﺱ مضروبًا في ﺩﺱ. لذلك، عند تطبيق هذه القاعدة على النهاية لدينا، سيكون لدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺱ مضروبًا في النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد للدالة ﺩﺱ، الكل تربيع.

الآن، انظر إلى النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺱ. يمكننا التعويض مباشرة في هذه النهاية. وسنجد أنها تساوي واحدًا. لذلك، يمكننا التعويض بهذا مرة أخرى في النهاية لدينا، فينتج عن ذلك أن النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺱ مضروبًا في الدالة ﺩﺱ تربيع تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد للدالة ﺩﺱ، الكل تربيع. الآن كل ما نحتاجه هو إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد للدالة ﺩﺱ. لكي نفعل هذا، علينا استخدام التمثيل البياني. نحتاج إلى إيجاد قيمة الدالة ﺩﺱ عندما ﺱ يساوي واحدًا. نلاحظ أنه عندما ﺱ يساوي واحدًا، فإن الدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة. وأن التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ بالقرب من قيمة ﺱ التي تساوي واحدًا هو خط مستقيم. إذن، النهاية اليمنى للدالة ﺩﺱ والنهاية اليسرى للدالة ﺩﺱ متطابقان، وهذه النهاية تساوي ثلاثة. لذلك، يمكننا التعويض بثلاثة عن النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد للدالة ﺩﺱ. إذن، نجد أن النهاية لدينا تساوي ثلاثة تربيع. يمكننا تربيع الثلاثة للحصول على الحل، وهو أن النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺱ مضروبًا في الدالة ﺩﺱ تربيع تساوي تسعة.

الآن وقد تناولنا مجموعة متنوعة من الأمثلة، فلنلخص بعض النقاط الرئيسية في الفيديو.

النقاط الرئيسية

إذا كانت الدالة ﺩﺱ والدالة ﻕﺱ والقيم ﺃ وﺟ والعدد الصحيح ﻥ، حيث إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ، والنهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻕﺱ موجودتان، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ زائد الدالة ﻕﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ زائد النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻕﺱ. النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ ناقص الدالة ﻕﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ ناقص النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻕﺱ. النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺟ مضروبًا في الدالة ﺩﺱ تساوي ﺟ مضروبًا في النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ. النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ في الدالة ﻕﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ مضروبة في النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻕﺱ. النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ على الدالة ﻕﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ على النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﻕﺱ. النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ أس ﻥ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ، الكل أس ﻥ. النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للجذر ﻥ للدالة ﺩﺱ تساوي الجذر ﻥ للنهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ. ويمكن استخدام جميع خواص النهايات هذه معًا.