فيديو السؤال: استخدام قانون الجيب لحساب جميع القياسات الممكنة لزاوية في مثلث الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في المثلث ﺃﺏﺟ، ﺃ شرطة يساوي سنتيمترين، وﺏ شرطة يساوي خمسة سنتيمترات، وقياس الزاوية ﺏ يساوي ٤٠ درجة. أوجد جميع القياسات الممكنة للزاوية ﺃ لأقرب درجة.

في هذا السؤال، نعلم من المعطيات طولي ضلعين في المثلث، بالإضافة إلى قياس إحدى الزوايا. والمطلوب منا إيجاد جميع القياسات الممكنة لزاوية أخرى، وهي الزاوية ﺃ. إذا كان المثلث ﺃﺏﺟ موجودًا بالقياسات المعطاة، فإننا نعلم أنه يمكننا إيجاد قياس واحد ممكن للزاوية ﺃ باستخدام قانون الجيب. هذا القانون ينص على أن جا ﺃ مقسومًا على ﺃ شرطة يساوي جا ﺏ مقسومًا على ﺏ شرطة، الذي يساوي جا ﺟ مقسومًا على ﺟ شرطة، حيث ﺃ وﺏ وﺟ هي قياسات الزوايا الثلاث، وﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة هي أطوال الأضلاع المقابلة للزوايا المناظرة.

التعويض بالقيم المعطاة لنا بهذا السؤال في قانون الجيب يعطينا جا ﺃ مقسومًا على اثنين يساوي جا ٤٠ درجة مقسومًا على خمسة. يمكننا ضرب طرفي المعادلة في اثنين؛ بحيث يكون جا ﺃ مساويًا لاثنين مضروبًا في جا ٤٠ درجة الكل مقسوم على خمسة. وإدخال هذا المقدار إلى الآلة الحاسبة يعطينا ٠٫٢٥٧١ وهكذا مع توالي الأرقام. يمكننا بعد ذلك أن نأخذ الدالة العكسية للجيب لكلا طرفي هذه المعادلة، ويعطينا هذا ﺃ يساوي ١٤٫٨٩ وهكذا مع توالي الأرقام. المطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب درجة. لذا، فإن أحد القياسات الممكنة للزاوية ﺃ هو ١٥ درجة.

ولإيجاد إذا ما كان هناك حل ثان ممكن، نتذكر أن جا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃. وبما أن ١٨٠ درجة ناقص ١٥ درجة يساوي ١٦٥ درجة، فإن جا ١٦٥ درجة لا بد أن يساوي جا ١٥ درجة. هذا يعني أن علينا التحقق إذا ما كان ١٦٥ درجة حلًّا صحيحًا. نظرًا لأن زوايا المثلث مجموع قياساتها ١٨٠ درجة، و١٦٥ زائد ٤٠ يساوي ٢٠٥، فإن ١٦٥ درجة ليس حلًّا صحيحًا لهذه المسألة. إذن، يمكن أن نستنتج أن القياس الوحيد الممكن للزاوية ﺃ هو ١٥ درجة لأقرب درجة.

جدير بالملاحظة أنه كان بإمكاننا إثبات أن هناك حلًّا واحدًا فقط ممكنًا من القياسات المعطاة في السؤال، نظرًا لأنه إذا كانت الزاوية ﺏ حادة، وطول الضلع ﺏ شرطة أكبر من طول الضلع ﺃ شرطة، فلا يوجد سوى مثلث واحد. وهذا يعني أن هناك قياسًا ممكنًا واحدًا فقط للزاوية ﺃ.