فيديو الدرس: نقطة المنتصف على المستوى الإحداثي الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد إحداثيات نقطة المنتصف بين نقطتين أو إحداثيات نقطة طرفية على المستوى الإحداثي. قبل النظر إلى المستوى الإحداثي، دعونا ننظر إلى نقطة منتصف على خط الأعداد.

إذا بدأنا بخط أعداد وكانت لدينا نقطتان عند اثنين وثمانية، فأين ستقع نقطة المنتصف بين اثنين وثمانية؟ ربما تقول: «حسنًا، ستقع في منتصف المسافة بين اثنين وثمانية». وقد يقول شخص آخر: «إنها متوسط اثنين وثمانية». يقع متوسط اثنين وثمانية في منتصف المسافة بينهما. لإيجاد متوسط اثنين وثمانية، نجمع اثنين زائد ثمانية ثم نقسم على اثنين، وهو ما يساوي ١٠ على اثنين، أي خمسة. هذا يعني أن منتصف المسافة بين اثنين وثمانية أو متوسط اثنين وثمانية هو خمسة.

لإيجاد نقطة المنتصف على المستوى الإحداثي، نستخدم عملية مشابهة جدًّا. لننظر إلى هذه القطعة المستقيمة على شبكة الإحداثيات. نسمي النقطة الزرقاء ﺃ، وهي تقع عند اثنين، اثنين. ونسمي النقطة الطرفية الأخرى ﺏ، وهي تقع عند ثمانية، ستة. وﺟ هي نقطة المنتصف. يعني هذا أن المسافة من ﺃ إلى ﺟ تساوي المسافة من ﺟ إلى ﺏ. ويعني أيضًا أن ﺟ تقع في منتصف المسافة بين ﺃ وﺏ في الاتجاه الرأسي، وتقع ﺟ كذلك في منتصف المسافة بين ﺃ وﺏ في الاتجاه الأفقي. ونكتب ذلك رياضيًّا بهذا الشكل.

لإيجاد الإحداثي ﺱ لنقطة المنتصف، نأخذ إحداثيي ﺱ للنقطتين الطرفيتين ونحسب متوسطهما. تذكر أن النقطتين الطرفيتين هما النقطتان اللتان تقعان عند طرفي القطعة المستقيمة. وعليه، يمكننا إيجاد الإحداثي ﺹ لنقطة المنتصف بحساب متوسط إحداثيي ﺹ للنقطتين الطرفيتين. في هذه الحالة، سنفترض أن النقطة ﺃ هي ﺱ واحد، ﺹ واحد، والنقطة ﺏ هي ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. إذا أردنا تحديد موقع إحداثيي النقطة ﺟ، فسنعوض بالقيم التي نعرفها عن النقطتين الطرفيتين. ‏ﺱ واحد يساوي اثنين. ‏ﺱ اثنين يساوي ثمانية. ‏ﺹ واحد يساوي اثنين. ‏ﺹ اثنين يساوي ستة.

بجمع هذه القيم، نحصل على ١٠ على اثنين وثمانية على اثنين، وهو ما يمكن تبسيطه إلى خمسة، أربعة. إذن، تقع نقطة المنتصف عند النقطة خمسة، أربعة. خمسة يقع في المنتصف بين اثنين وثمانية، وأربعة يقع في المنتصف بين اثنين وستة. باستخدام هذه الصيغة، يمكننا إيجاد نقطة المنتصف إذا كان لدينا الإحداثيان. ويمكننا إيجاد إحداثيي إحدى النقطتين الطرفيتين بمعرفة إحداثيي النقطة الطرفية الأخرى وإحداثيي نقطة المنتصف.

لنلق نظرة على بعض الأمثلة.

في التمثيل البياني الموضح، أي نقطة تقع في منتصف المسافة بين واحد، ثمانية، وخمسة، اثنين؟

لدينا النقطة واحد، ثمانية — ويمكننا أن نسميها ﺃ — والنقطة خمسة، اثنان — ويمكننا أن نسميها ﺏ. ونريد معرفة النقطة التي تقع في منتصف المسافة بين النقطتين. النقطة التي تقع في منتصف المسافة بين هاتين النقطتين تسمى نقطة المنتصف. لإيجاد نقطة المنتصف، علينا إيجاد متوسط إحداثيي ﺱ للنقطتين الطرفيتين. وبعد ذلك، نوجد متوسط إحداثيي ﺹ للنقطتين الطرفيتين أيضًا. إذن، ستكون النقطة ﺃ هي ﺱ واحد، ﺹ واحد، والنقطة ﺏ هي ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. لإيجاد نقطة المنتصف، سنجمع واحدًا زائد خمسة ثم نقسم على اثنين. وبعدها سنجمع ثمانية زائد اثنين ونقسم على اثنين. سيعطينا ذلك ستة على اثنين و١٠ على اثنين، وهو ما يمكننا تبسيطه إلى ثلاثة، خمسة.

على التمثيل البياني، تقع النقطة ثلاثة، خمسة هنا. وإذا نظرنا إلى هذه النقطة، فسنرى أنها تبعد عن النقطة ﺏ بمقدار ثلاث وحدات لأعلى ووحدتين إلى اليسار. بعد ذلك، إذا أردنا الانتقال من نقطة المنتصف إلى النقطة ﺃ، فسنتحرك ثلاث وحدات لأعلى ووحدتين إلى اليسار أيضًا. وهذا يؤكد أن المسافة من ﺃ إلى نقطة المنتصف هي نفسها المسافة من نقطة المنتصف إلى ﺏ. إذن، منتصف المسافة بين واحد، ثمانية وخمسة، اثنين يقع عند النقطة ثلاثة، خمسة.

إليك مثال آخر. هذه المرة، نعرف نقطة المنتصف. لكننا نجهل جزءًا من إحداثيات النقطتين الطرفيتين.

لدينا النقاط ﺃ: ﺱ، سبعة، وﺏ: سالب أربعة، ﺹ، وﺟ: اثنان، خمسة. إذا كانت ﺟ نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ، فما قيمة كل من ﺱ وﺹ؟

أولًا، دعونا نكتب المعطيات. لدينا القطعة المستقيمة ﺃﺏ، وﺟ هي نقطة المنتصف. تقع النقطة ﺃ عند ﺱ، سبعة. وتقع النقطة ﺏ عند سالب أربعة، ﺹ. وتقع النقطة ﺟ عند اثنين، خمسة. في هذه المرحلة، قد تفكر «ألا يجب علينا تمثيل هذه القيم بيانيًّا؟» لكن بما أننا لا نعرف قيمتي ﺱ وﺹ، فليس من السهل تمثيل هذا بيانيًّا. دعونا إذن نفكر فيما نعرفه عن نقطة المنتصف.

يمكن إيجاد إحداثيي نقطة المنتصف بإيجاد متوسط إحداثيي ﺱ وإحداثيي ﺹ للنقطتين الطرفيتين. إذا كانت نقطة المنتصف اثنين، خمسة، فإن ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين على اثنين يجب أن يساوي اثنين. وكذلك ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين على اثنين لا بد أن يساوي خمسة. بهذا نكون قد كوننا معادلتين، إحداهما هي ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين على اثنين يساوي اثنين، والأخرى هي خمسة يساوي ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين على اثنين. سنفترض أن النقطة ﺃ هي ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺏ هي ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ثم نعوض بالقيم التي نعرفها.

إذن، اثنان يساوي ﺱ زائد سالب أربعة مقسومًا على اثنين، وخمسة يساوي سبعة زائد ﺹ مقسومًا على اثنين. والآن علينا إيجاد قيمة كل متغير. على اليسار، سنضرب طرفي المعادلة في اثنين، وهو ما يعطينا أربعة يساوي ﺱ زائد سالب أربعة، ويمكننا إعادة كتابة هذا بالصورة أربعة يساوي ﺱ ناقص أربعة. ثم نضيف أربعة إلى الطرفين. ونجد أن ثمانية يساوي ﺱ، أو بالصورة الأكثر شيوعًا، ﺱ يساوي ثمانية. نتبع الطريقة نفسها لإيجاد قيمة ﺹ. نضرب في اثنين. ثم نطرح سبعة من كلا الطرفين. ثلاثة يساوي ﺹ. إذن، ﺹ يساوي ثلاثة. بما أن ﺃ تقع عند ﺱ، سبعة وﺱ يساوي ثمانية، فإن النقطة ﺃ تقع عند ثمانية، سبعة. وبما أن ﺏ تقع عند سالب أربعة، ﺹ، وﺹ يساوي ثلاثة، فإن ﺏ تقع عند سالب أربعة، ثلاثة.

إليك مثالًا آخر نعرف فيه نقطة المنتصف وعلينا إيجاد إحداثيات النقطتين الطرفيتين.

أوجد النقطة ﺃ التي تقع على المحور ﺱ، والنقطة ﺏ التي تقع على المحور ﺹ، حيث ثلاثة على اثنين، سالب خمسة على اثنين نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ.

أولًا، دعونا نكتب ما نعرفه. تقع النقطة ﺃ على المحور ﺱ. تقع النقطة ﺏ على المحور ﺹ. ولدينا نقطة المنتصف وإحداثياها هما ثلاثة أنصاف، سالب خمسة أنصاف. عند هذه المرحلة، علينا أن نفكر فيما نعرفه عن المحور ﺱ والمحور ﺹ. القيم الواقعة على المحور ﺱ يكون إحداثي ﺹ لها هو صفر. وهذا يعني أنه إذا كانت النقطة ﺃ تقع على المحور ﺱ، فإننا لن نعرف موقعها على المحور ﺱ. لكننا نعرف أنها ستقع عند الصفر في اتجاه المحور ﺹ. ويمكننا كتابة إحداثيي النقطة ﺃ بالصورة ﻡ، صفر. وبطريقة مشابهة، النقاط الواقعة على المحور ﺹ يكون إحداثي ﺱ لها هو الصفر. هذا يعني أنه يمكننا كتابة النقطة ﺏ بالصورة صفر، ﻥ. وأخيرًا، نتذكر أنه يمكننا إيجاد نقطة المنتصف بحساب متوسط إحداثيي ﺱ وإحداثيي ﺹ للنقطتين الطرفيتين.

باستخدام هذه المعلومات، يمكننا صياغة معادلتين لإيجاد القيم المجهولة. نفترض أن النقطة ﺃ هي ﺱ واحد، ﺹ واحد، والنقطة ﺏ هي ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. ونعوض بهذه المعلومات في صيغة نقطة المنتصف. هذا يعني أن ثلاثة أنصاف يساوي ﻡ زائد صفر على اثنين، وسالب خمسة أنصاف يساوي صفرًا زائد ﻥ على اثنين. ‏ﻡ زائد صفر يساوي ﻡ. ثلاثة أنصاف يساوي ﻡ على اثنين. وبالطريقة نفسها، سالب خمسة أنصاف يساوي ﻥ على اثنين؛ وهو ما يعني أن ﻡ يساوي ثلاثة وﻥ يساوي سالب خمسة. بعد ذلك سنعوض بهاتين القيمتين في النقطتين. فنحصل على النقطة ثلاثة، صفر والنقطة صفر، سالب خمسة. وهاتان النقطتان لهما نقطة المنتصف المعطاة.

لنلق نظرة على حالة يمكننا فيها استخدام ما نعرفه عن نقاط المنتصف لحل مسألة.

حديقة مستطيلة بجوار منزل بجانب طريق. في الحديقة شجرة برتقال تبعد سبعة أمتار عن المنزل وثلاثة أمتار عن الطريق. هناك أيضًا شجرة تفاح تبعد خمسة أمتار عن المنزل وتسعة أمتار عن الطريق. وضعت نافورة عند منتصف المسافة بين الشجرتين. ما المسافة بين النافورة والمنزل وبينها وبين الطريق؟

لدينا حديقة بجانب منزل على طريق. ويوجد في الحديقة شجرتان؛ شجرة برتقال تقع على بعد سبعة أمتار من المنزل وثلاثة أمتار من الطريق. وتوجد شجرة تفاح على بعد خمسة أمتار من المنزل وتسعة أمتار من الطريق. ووضعت نافورة في منتصف المسافة بينهما. كيف يمكننا معرفة المسافة التي تبعدها النافورة عن البيت وعن الطريق؟

يمكننا كتابة هذه المسافات بالصورة الإحداثية، حيث الإحداثي ﺱ هو المسافة من المنزل، والإحداثي ﺹ هو المسافة من الطريق. تقع شجرة البرتقال عند النقطة سبعة، ثلاثة. أما شجرة التفاح فتقع عند خمسة، تسعة. والنافورة هي نقطة المنتصف. ونعلم أنه لإيجاد نقطة المنتصف، نجمع إحداثيي ﺱ للنقطتين الطرفيتين ونقسم على اثنين، ثم نجمع إحداثيي ﺹ للنقطتين الطرفيتين ونقسم على اثنين. وهو ما يعني أن النافورة تقع عند سبعة زائد خمسة على اثنين، وتسعة زائد ثلاثة على اثنين، أي ١٢ على اثنين، ١٢ على اثنين، أو ستة، ستة. نعلم أن الإحداثي ﺱ هو المسافة من المنزل، والإحداثي ﺹ هو المسافة من الطريق. وعليه، تقع النافورة على بعد ستة أمتار من المنزل وستة أمتار من الطريق.

في المثال الأخير، سنتناول نقطة منتصف تنصف قطعتين مستقيمتين مختلفتين في الوقت نفسه.

افترض أن ﺃ سالب سبعة، سالب أربعة، وﺏ ستة، سالب تسعة، وﺩ ثمانية، سالب اثنين. إذا كانت ﺟ تنصف كلًّا من القطعة المستقيمة ﺃﺏ والقطعة المستقيمة ﺩﻫ، فأوجد النقطة ﻫ.

لنرسم أولًا ما نعرفه. القطعة مستقيمة ﺃﺏ لها نقطة المنتصف ﺟ. والنقطة ﺟ هي نقطة المنتصف أيضًا للقطعة المستقيمة ﺩﻫ. نعلم من المعطيات إحداثيات ﺃ وﺏ وﺩ. وهدفنا النهائي هو إيجاد إحداثيي النقطة ﻫ. لكن قبل إيجاد إحداثيي ﻫ، يجب أن نعرف إحداثيي ﺟ. فبمجرد إيجاد ﺟ، سيمكننا إيجاد ﻫ. ولنفعل هذين الأمرين، نتذكر أن صيغة نقطة المنتصف تبدو هكذا.

يمكننا إيجاد الإحداثي ﺱ لنقطة المنتصف بجمع إحداثيي ﺱ للنقطتين الطرفيتين ثم القسمة على اثنين. ويمكن إيجاد الإحداثي ﺹ لنقطة المنتصف بحساب متوسط إحداثيي ﺹ للنقطتين الطرفيتين. بما أن ﺟ نقطة المنتصف لـ ﺃ وﺏ، سنفترض أن النقطة ﺃ هي ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺏ هي ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. تقع نقطة المنتصف ﺟ عند سالب سبعة زائد ستة على اثنين، سالب أربعة زائد سالب تسعة على اثنين. سالب سبعة زائد ستة على اثنين يساوي سالب نصف. وسالب أربعة زائد سالب تسعة يساوي سالب ١٣. إذن، الإحداثي ﺹ يساوي سالب ١٣ على اثنين. والآن، نعلم أين تقع ﺟ. ويمكننا الآن التفكير في ﻫ.

إذا كانت ﺟ هي نقطة المنتصف أيضًا لـ ﺩﻫ، فإن إحداثيي ﺟ يساويان متوسط إحداثيي ﺱ للنقطتين ﺩ وﻫ، ومتوسط إحداثيي ﺹ للنقطتين ﺩ وﻫ معًا. لدينا في المعطيات إحداثيا النقطة ﺩ. وهما ثمانية وسالب اثنين. سنعوض إذن بهما. ومن ثم، سنكتب معادلتين منفصلتين. نساوي سالب نصف بثمانية زائد إحداثي ﺱ للنقطة ﻫ على اثنين. وسالب ١٣ على اثنين يساوي سالب اثنين زائد الإحداثي ﺹ لـ ﻫ على اثنين. نفرغ بعض المساحة.

بما أن كلا المقامين يساوي اثنين، فإن كلا البسطين متساويان. إذن، سالب واحد يساوي ثمانية زائد الإحداثي ﺱ لـ ﻫ. ولإيجاد هذه القيمة المجهولة، نطرح ثمانية من كلا الطرفين. نرى أن الإحداثي ﺱ للنقطة ﻫ يساوي سالب تسعة. لإيجاد الإحداثي ﺹ للنقطة ﻫ، نضيف اثنين إلى كلا الطرفين. إذن، الإحداثي ﺹ للنقطة ﻫ هو سالب ١١. وفي الصورة الإحداثية، تقع النقطة ﻫ عند سالب تسعة، سالب ١١.

أوضح كل مثال من هذه الأمثلة أنه عندما يكون لديك نقطتان طرفيتان ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، يمكن إيجاد نقطة المنتصف عن طريق جمع ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين ثم القسمة على اثنين، وجمع ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين ثم القسمة على اثنين. يمكننا أيضًا استخدام هذه الصيغة لإيجاد إحدى النقطتين الطرفيتين إذا عرفنا النقطة الطرفية الأخرى ونقطة المنتصف. باستخدام هذه الصيغة، تصبح جاهزًا لحل بعض المسائل بنفسك.