فيديو الدرس: الزوايا الداخلية والخارجية للمثلثات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعرف على كيفية إكمال البراهين الهندسية باستخدام مجموع زوايا مثلث، كما سنوجد الزوايا الداخلية والخارجية للمثلثات.

دعونا نبدأ بالحقيقة التي تفيد بأن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة. وبالطبع، ربما نكون استخدمنا هذه الحقيقة عدة مرات في الرياضيات. ولكن هل فكرنا من قبل في سبب صحتها؟

لمعرفة سبب صحة تلك الحقيقة، سنبدأ بتناول إحدى الحقائق الهندسية. مجموع قياسات الزوايا التي تقع على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. على سبيل المثال، في هذا الشكل، يمكننا القول إن ﺱ درجة زائد ﺹ درجة يساوي ١٨٠ درجة. إذن دعونا نتخيل أن لدينا هذا المثلث ﺃﺏﺟ ونريد إيجاد مجموع قياسات زواياه. يمكننا تسمية قياسات هذه الزوايا ﺱ درجة وﺹ درجة وﻉ درجة. ونريد معرفة مجموع ﺱ درجة زائد ﺹ درجة زائد ﻉ درجة.

لإيجاد مجموع قياسات هذه الزوايا، سنرسم قطعة مستقيمة إضافية في الشكل. ويمكننا تسمية هذه القطعة المستقيمة ﺩﻫ. لا بد أن تكون القطعة المستقيمة ﺩﻫ موازية للقطعة المستقيمة ﺃﺏ. ويجب أن تكون هاتان القطعتان المستقيمتان متوازيتين؛ لأننا نعلم حينها أنه يمكننا تطبيق بعض الخواص الهندسية التي نعرف أنها تنطبق على الخطوط المتوازية. على سبيل المثال، نحن نعلم أن الزاويتين المتبادلتين داخليًّا متساويتان في القياس. إذن قياس الزاوية ﺩﺟﺃ سيساوي قياس الزاوية عند الرأس ﺃ. وقياسها سيساوي ﺱ درجة أيضًا. بالطريقة نفسها، باستخدام القاطع ﺟﺏ، يمكننا القول إن الزاوية ﺏﺟﻫ يجب أن تكون متطابقة مع الزاوية عند الرأس ﺏ. وقياس كل منهما يساوي ﺹ درجة.

نلاحظ أن الزوايا ﺱ وﺹ وﻉ كلها تقع على خط مستقيم. إذن مجموع قياساتها لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. وهذه الزوايا الثلاث ﺱ وﺹ وﻉ التي تقع على الخط المستقيم هي نفسها الزوايا الثلاث ﺱ وﺹ وﻉ درجة الموجودة داخل المثلث. وبما أننا أوضحنا ذلك دون استخدام أي قياس زاوية محدد، يمكننا إذن القول إن هذا ينطبق على جميع المثلثات. وبذلك نكون أثبتنا هذه النظرية التي نستخدمها يوميًّا في الرياضيات، وهي أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث يساوي ١٨٠ درجة.

سنتناول الآن مثالًا أكثر تحديدًا حول كيفية تطبيق هذه الطريقة لإيجاد قياسات زوايا مجهولة في مثلث.

في الشكل الآتي، إذا كان ﺃﺟ يوازي ﺩﻫ، وقياس الزاوية ﺃﺏﻫ يساوي ٥٥ درجة، وقياس الزاوية ﺟ يساوي ٧٥ درجة، فأوجد قياس الزاوية ﺃﺏﺟ.

أول معلومة لدينا هنا هي أن ﺃﺟ يوازي ﺩﻫ. يمكننا أيضًا كتابة قياسي الزاويتين المعطيين، فلدينا قياس الزاوية ﺃﺏﻫ يساوي ٥٥ درجة وقياس الزاوية ﺟ يساوي ٧٥ درجة. يمكننا بعد ذلك تحديد أن الزاوية التي نريد حساب قياسها تقع هنا، أي قياس الزاوية ﺃﺏﺟ.

هناك طريقتان يمكن من خلالهما إيجاد قياس هذه الزاوية المجهولة. ولكن كلتا الطريقتين ستستخدمان حقيقة أن لدينا هاتين القطعتين المستقيمتين المتوازيتين. باستخدام الخطين المستقيمين المتوازيين ﺃﺟ وﻫﺩ والقاطع ﺏﺟ، يمكننا تحديد زاويتين متبادلتين داخليًّا. وبما أن الزاويتين المتبادلتين داخليًّا متطابقتان، يمكننا القول إن قياس الزاوية ﺩﺏﺟ يساوي قياس الزاوية ﺟ. وقياس كل منهما يساوي ٧٥ درجة.

يمكننا ملاحظة أن هذه الزوايا الثلاث التي تكونت عند الرأس ﺏ تقع جميعها على خط مستقيم. ولعلنا نتذكر أن قياس الزوايا التي تقع على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. ومن ثم يمكننا القول إن قياس الزاوية ﺃﺏﻫ زائد قياس الزاوية ﺃﺏﺟ زائد قياس الزاوية ﺩﺏﺟ يجب أن يساوي ١٨٠ درجة. يمكننا بعد ذلك كتابة المعطيات التي نعلمها عن الزاويتين. بجمع ٥٥ درجة و٧٥ درجة، نحصل على ١٣٠ درجة. يمكننا بعد ذلك تبسيط هذه المعادلة بطرح ١٣٠ درجة من كلا الطرفين، وبذلك نحصل على قياس الزاوية ﺃﺏﺟ وهو يساوي ٥٠ درجة. بذلك نكون أوجدنا قياس هذه الزاوية المجهولة.

لكن دعونا نتناول الطريقة البديلة التي كان بإمكاننا استخدامها. نعود إلى السؤال لدينا مرة أخرى. كما ذكرنا من قبل، ما زلنا نستخدم المستقيمين المتوازيين لمساعدتنا في هذه الطريقة. لكن هذه المرة، نفكر في القاطع ﺃﺏ. سنستخدم مرة أخرى الخاصية التي تنص على أن الزاويتين المتبادلتين داخليًّا متطابقتان للتوصل إلى أن قياس هذه الزاوية عند الرأس ﺃ يساوي قياس الزاوية ﺃﺏﻫ. وقياس كل منهما يساوي ٥٥ درجة.

الخاصية الهندسية التي سنطبقها هي أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث يساوي ١٨٠ درجة. وعليه، إذا جمعنا ٥٥ درجة و٧٥ درجة وقياس الزاوية ﺃﺏﺟ، فسنحصل على ١٨٠ درجة. وكما فعلنا سابقًا، إذا جمعنا ٥٥ درجة و٧٥ درجة وطرحنا الناتج من ١٨٠ درجة، فسيتبقى لدينا ٥٠ درجة. ومن ثم فإن كلتا الطريقتين تعطينا الإجابة نفسها، وهي أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي ٥٠ درجة.

في المثال الآتي، سنتناول خاصية هندسية يمكننا إثباتها باستخدام قياسات الزوايا الداخلية في مثلث.

في المثلث الآتي: ﺃﺏﺟ، إذا كان قياس الزاوية ﺟ يساوي قياس الزاوية ﺟﺃﺩ يساوي ٤٣ درجة، وقياس الزاوية ﺏ يساوي قياس الزاوية ﺏﺃﺩ، فأوجد قياس الزاوية ﺏﺃﺟ.

يمكننا البدء في حل هذا السؤال بتحديد زوجين من قياسات الزوايا المتطابقة. لدينا قياس الزاوية ﺟ يساوي قياس الزاوية ﺟﺃﺩ، وكل منهما يساوي ٤٣ درجة. لدينا أيضًا قياس الزاوية ﺏ يساوي قياس الزاوية ﺏﺃﺩ، لكننا لا نعلم قياسي هاتين الزاويتين. يمكننا بعد ذلك تحديد أن الزاوية التي نريد إيجاد قياسها هي الزاوية ﺏﺃﺟ، التي تقع عند الرأس ﺃ في المثلث الأكبر ﺃﺏﺟ.

إحدى الخواص التي يمكننا تطبيقها في هذا السؤال هي أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة. وعليه، بالنظر إلى المثلث الكبير ﺃﺏﺟ، يمكننا القول إن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ زائد قياس الزاوية ﺏ زائد قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٨٠ درجة. نلاحظ من الشكل أن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ يتكون من زاوية قياسها ٤٣ درجة وقياس الزاوية ﺏﺃﺩ.

بعد ذلك، نعلم من معطيات السؤال أن قياس الزاوية ﺏ يساوي قياس الزاوية ﺏﺃﺩ. وبإضافة قياس الزاوية ﺟ، الذي يساوي ٤٣ درجة، يمكننا جمع الطرف الأيسر، الذي سيساوي ١٨٠ درجة. يمكننا بعد ذلك تبسيط هذا المقدار بجمع ٤٣ درجة زائد ٤٣ درجة، وهو ما يساوي ٨٦ درجة. نعلم أنه سيكون لدينا اثنان في قياس الزاوية ﺏﺃﺩ. وبطرح ٨٦ درجة من كلا طرفي المعادلة، نحصل على اثنين في قياس الزاوية ﺏﺃﺩ يساوي ٩٤ درجة. وأخيرًا: بقسمة الطرفين على اثنين، نجد أن قياس الزاوية ﺏﺃﺩ يساوي ٤٧ درجة. وبما أننا علمنا الآن قياس هذه الزاوية، يمكننا حساب قياس الزاوية ﺏﺃﺟ. وهو يساوي ٤٣ درجة زائد ٤٧ درجة، وهذا يعطينا الإجابة النهائية؛ وهي ٩٠ درجة.

سنتناول الآن ما نعنيه بالزاوية الخارجية لمثلث. تعرف الزاوية الخارجية بأنها الزاوية التي تتكون خارج المثلث بين أي ضلع وامتداد ضلع آخر. تجدر الإشارة إلى أن هناك زاويتين خارجيتين عند كل رأس بالمثلث. على سبيل المثال، إذا أسمينا هذا المثلث ﺃﺏﺟ، فيمكننا مد الضلع ﺃﺏ أو الضلع ﺏﺟ. ولكن بما أن الزاويتين الخارجيتين عند ﺏ تكون كل منهما زاوية مستقيمة مع الزاوية ﺃﺏﺟ، فإن قياسيهما متساويان. ونظرًا لأن الزاويتين الخارجيتين عند الرأس متطابقتان، فإننا نشير إلى أي من الزاويتين الخارجيتين بالزاوية الخارجية. ولأن مجموع قياسي الزاويتين الداخلية والخارجية يساوي ١٨٠ درجة، نقول إن الزاوية الخارجية عند رأس أي مثلث متكاملة مع الزاوية الداخلية المجاورة.

سنعرف الآن كيف يمكننا استنتاج الخاصية الهندسية المهمة التالية حول الزوايا الخارجية. دعونا نواصل استخدام المثلث ﺃﺏﺟ. لعلنا نتذكر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمثلث يساوي ١٨٠ درجة. إذن يمكننا القول إن قياس الزاوية ﺃ زائد قياس الزاوية ﺏ زائد قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٨٠ درجة. وإذا أسمينا النقطة التي تقع على الخط المستقيم هنا ﺩ، يمكننا القول أيضًا إن قياس الزاوية ﺟﺏﺩ زائد قياس الزاوية ﺏ يساوي ١٨٠ درجة؛ لأن هاتين الزاويتين تقعان على خط مستقيم.

بالرجوع بعد ذلك إلى المعادلة الأولى، نجد أنه يمكننا إعادة ترتيبها بحيث يصبح لدينا قياس الزاوية ﺏ يساوي ١٨٠ درجة ناقص قياس الزاوية ﺃ زائد قياس الزاوية ﺟ. وفي المعادلة الثانية، يمكننا أيضًا أن نجعل قياس الزاوية ﺏ المتغير التابع؛ بحيث يساوي ١٨٠ درجة ناقص قياس الزاوية ﺟﺏﺩ. بمساواة الطرف الأيمن من كل من هاتين المعادلتين بعضهما ببعض، يصبح لدينا ١٨٠ درجة ناقص قياس الزاوية ﺃ زائد قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٨٠ درجة ناقص قياس الزاوية ﺟﺏﺩ. وبطرح ١٨٠ درجة من كلا الطرفين، ثم قسمتهما على سالب واحد، نجد أن قياس الزاوية ﺃ زائد قياس الزاوية ﺟ يساوي قياس الزاوية ﺟﺏﺩ.

دعونا الآن نستعرض ما أوضحناه من خلال هذه المعادلة الأخيرة. حسنًا، نحن نقول إن قياس هذه الزاوية الخارجية ﺟﺏﺩ يساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين الأخريين في المثلث. ويمكننا تعريف هذه الخاصية على النحو الموضح. قياس أي زاوية خارجية لمثلث يساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين المتقابلتين في المثلث. والآن سنتناول مثالًا على كيفية استخدام هذه الخاصية لإيجاد قياس زاوية خارجية.

في الشكل الآتي، أوجد قياس الزاوية الخارجية، أي الزاوية ﺟ.

عند النظر إلى الشكل المعطى، يمكننا ملاحظة أن لدينا قياسي الزاويتين الداخليتين في المثلث ﺃﺏﺟ. قياس الزاوية ﺃ يساوي ٥٠ درجة، وقياس الزاوية ﺏ يساوي ٥٥ درجة. وعلينا حساب قياس هذه الزاوية الخارجية عند ﺟ المشار إليها بالحرف ﺱ.

الطريقة الأكثر فاعلية للإجابة عن هذا السؤال هي تذكر الخاصية التي تنص على أن قياس أي زاوية خارجية لمثلث يساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين المتقابلتين. يعني هذا أنه بما أن ﺃ وﺏ هما الزاويتان الداخليتان المتقابلتان للزاوية الخارجية عند ﺟ، يمكننا القول إن ﺱ يساوي ٥٠ درجة زائد ٥٥ درجة. ومن ثم نحصل على الإجابة ١٠٥ درجات.

بدلًا من ذلك، كان بإمكاننا استخدام حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الثلاث الداخلية في المثلث يساوي ١٨٠ درجة. يمكننا إذن كتابة أن قياس الزاوية الداخلية ﺏﺟﺃ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ٥٠ درجة زائد ٥٥ درجة. وهذا يعطينا ٧٥ درجة. علينا بعد ذلك إجراء عملية حسابية أخرى باستخدام حقيقة أن مجموع قياسي الزاويتين عند الرأس ﺟ يجب أن يساوي ١٨٠ درجة؛ نظرًا لأنهما تقعان على خط مستقيم. وعليه، فإن ﺱ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ٧٥ درجة، وهذا يعطينا الإجابة ١٠٥ درجات. ومن ثم فإن كلتا الطريقتين تعطينا الإجابة ١٠٥ درجات.

سنستعرض الآن سؤالًا آخر يوضح الخاصية الهندسية الأخيرة التي سنتناولها في هذا الفيديو.

ما مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمثلث؟

للتفكير في حل هذا السؤال، دعونا نرسم مثلثًا. لدينا هنا المثلث ﺃﺏﺟ. وبما أننا نتعامل مع الزوايا الخارجية للمثلث، يمكننا تحديد هذه الزوايا وتسمية قياساتها ﺱ درجة وﺹ درجة وﻉ درجة. وعلى الرغم من أننا سنتناول الزوايا الخارجية للمثلث، فإن معرفة هذه الخاصية عن الزوايا الداخلية ستفيدنا في حل السؤال، وهي تنص على أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث يساوي ١٨٠ درجة.

وعليه، يمكننا تكوين المعادلة التي توضح أن قياس الزاوية ﺃ زائد قياس الزاوية ﺏ زائد قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٨٠ درجة. قبل أن نجري أي عملية على هذه المعادلة، دعونا نفكر في كل رأس. بما أننا نعلم أن الزاويتين الخارجية والداخلية عند أي رأس متكاملتان، يمكننا كتابة أن ﺱ درجة زائد قياس الزاوية ﺃ يساوي ١٨٠ درجة. وبالمثل، يمكننا القول إن ﺹ درجة زائد قياس الزاوية ﺏ يساوي ١٨٠ درجة. وﻉ درجة زائد قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٨٠ درجة. يمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب كل معادلة من هذه المعادلات الثلاث بحيث يصبح قياس الزاوية الداخلية هو المتغير التابع.

أصبح لدينا الآن هذه المعادلات الثلاث، التي يمكننا التعويض بها في المعادلة الأولى. هذا يعطينا: ١٨٠ درجة ناقص ﺱ درجة زائد ١٨٠ درجة ناقص ﺹ درجة زائد ١٨٠ درجة ناقص ﻉ درجة يساوي ١٨٠ درجة. يمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب هذه المعادلة. بطرح ١٨٠ درجة وإضافة ﺱ وﺹ وﻉ في طرفي المعادلة، يصبح لدينا ٣٦٠ درجة يساوي ﺱ زائد ﺹ زائد ﻉ. بالحصول على هذه المعادلة، نكون أوضحنا أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية الثلاث للمثلث، أي ﺱ وﺹ وﻉ، يساوي ٣٦٠ درجة. يوضح لنا هذا السؤال خاصية هندسية مهمة للغاية وهي أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمثلث يساوي ٣٦٠ درجة.

يمكننا الآن أن نختتم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية. مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث يساوي ١٨٠ درجة. ولقد عرفنا كيف يمكننا إثبات هذا الناتج عن طريق رسم خط مستقيم مواز لقاعدة المثلث يمر بالرأس الآخر، واستخدام حقيقة أن الزاويتين المتبادلتين داخليًّا متطابقتان. الزاوية الخارجية لمثلث هي الزاوية التي تتكون خارج المثلث بين أي ضلع وامتداد ضلع آخر. وتكون الزاويتان الخارجيتان عند رأس المثلث متطابقتين. الزاوية الداخلية في مثلث والزاوية الخارجية المجاورة لها متكاملتان. عرفنا أيضًا أن قياس أي زاوية خارجية لمثلث يساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين المتقابلتين. وأخيرًا: مجموع قياسات الزوايا الخارجية في مثلث يساوي ٣٦٠ درجة، كما عرفنا في المثال الأخير.