فيديو السؤال: إيجاد عجلة جسم متحرك على مستوى مائل خشن الرياضيات

وضع جسم على قمة مستوى خشن مائل طوله ٢٥٩ سم، وارتفاعه ٨٤ سم. ثم بدأ الجسم في الانزلاق لأسفل المستوى. إذا علم أن معامل الاحتكاك ٠٫٢٩، فأوجد عجلة الجسم. ﺩ = ٩٫٨ م‏/‏ث^٢.

٠٧:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

وضع جسم على قمة مستوى خشن مائل طوله ٢٥٩ سنتيمترًا، وارتفاعه ٨٤ سنتيمترًا. ثم بدأ الجسم في الانزلاق لأسفل المستوى. إذا علم أن معامل الاحتكاك ٠٫٢٩، فأوجد عجلة الجسم. ‏ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

حسنًا، لنفترض أن هذا هو المستوى المائل. عرفنا أن ارتفاعه ٨٤ سنتيمترًا وطوله ٢٥٩ سنتيمترًا. ولدينا هذا الجسم الذي نعرف أنه يبدأ من أعلى المستوى المائل، ثم يبدأ في الانزلاق لأسفل. بمعرفة أن معامل الاحتكاك بين الجسم والمنحدر، الذي سنطلق عليه ﻡﻙ، يساوي ٠٫٢٩، نريد إيجاد عجلة هذا الجسم.

للبدء في ذلك، يمكننا أن نتذكر قانون نيوتن الثاني للحركة، الذي ينص على أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم ما تساوي كتلة هذا الجسم في عجلته. بالعودة إلى الرسم، إذا رسمنا الاتجاه الموجب لـ ﺱ والاتجاه الموجب لـ ﺹ على الشكل، يمكننا القول إن قانون نيوتن الثاني ينطبق في كلا هذين الاتجاهين. بعبارة أخرى، إذا نظرنا إلى جميع القوى المؤثرة على الجسم فيما أطلقنا عليه الاتجاه ﺱ، فإن محصلة هذه القوى تساوي كتلة الجسم في عجلته في هذا الاتجاه. وهذا ما نريد إيجاده. لذا، دعونا ننظر إلى القوى المؤثرة على الجسم أثناء انزلاقه لأسفل المستوى.

أولًا، نعلم أن هناك قوة الجاذبية، ﻙ في ﺩ. نحن نعلم أن هناك أيضًا قوة عمودية أو قوة رد فعل، سنسميها ﺭ، تؤثر على الجسم في اتجاه عمودي على المستوى. وأخيرًا، توجد قوة احتكاك، سنسميها ﺡﻙ. نعلم أن هذه القوة تؤثر لأعلى المستوى لأن الجسم ينزلق لأسفل على هذا السطح، والاحتكاك دائمًا يؤثر عكس اتجاه الحركة. إذن هذه هي القوى الثلاث. وإذا فكرنا تحديدًا في المركبات التي تكون في الاتجاه ﺱ لهذه القوى، فسنجد أن قوة الوزن، ﻙ في ﺩ، لها مركبة في الاتجاه ﺱ، وأن قوة الاحتكاك تؤثر بكاملها في هذا الاتجاه.

في الرسم التوضيحي، إذا أطلقنا على هذه الزاوية هنا 𝜃 حيث 𝜃 هي زاوية الميل، فإن هذه الزاوية هنا في هذا المثلث القائم الزاوية هي 𝜃 أيضًا. هذا يعني أن المركبة ﺱ لقوة الوزن ستكون ﻙ في ﺩ في جيب هذه الزاوية التي أطلقنا عليها 𝜃. نطرح بعد ذلك قوة الاحتكاك ﺡﻙ، وهو ما يعطينا كتلة الجسم مضروبة في عجلته في الاتجاه ﺱ. تذكر أننا نريد إيجاد عجلة الجسم في اتجاه المستوى، والتي أطلقنا عليها ﺟﺱ. ولمساعدتنا في فعل ذلك، دعونا نتذكر أن قوة الاحتكاك لجسم متحرك، التي أطلقنا عليها ﺡﻙ، تساوي ما يسمى معامل الاحتكاك ﻡﻙ، مضروبًا في قوة رد الفعل المؤثرة على هذا الجسم.

في هذه الحالة، لدينا ﻡﻙ يساوي ٠٫٢٩. لكن لمعرفة قيمة ﺭ، سيكون من المفيد أن نلقي نظرة على الشكل. لنفترض أن قوة رد الفعل ﺭ تؤثر بالكامل في الاتجاه الذي أطلقنا عليه الاتجاه الموجب لـ ﺹ. ونعلم أيضًا أن الجسم لا يتحرك بعجلة في هذا الاتجاه لأنه ينزلق على المستوى. وهذا يوضح لنا أن مركبة قوة الوزن في الاتجاه ﺹ، المحددة هنا، تكون حتمًا مساوية لقوة رد الفعل ﺭ في المقدار ومضادة لها في الاتجاه. وهذا المقدار يساوي قوة الوزن ﻙ في ﺩ في جيب تمام الزاوية التي سميناها 𝜃.

كل هذا يعني أنه يمكننا ضرب معامل الاحتكاك ﻡﻙ في ﻙ في ﺩ في جتا 𝜃، والتعويض عن ذلك بقوة الاحتكاك ﺡﻙ. وذلك لأن ﻙﺩ مضروبًا في جتا 𝜃، كما رأينا، يساوي قوة رد الفعل. وهذا يعطينا هذه المعادلة الخاصة بالقوى في الاتجاه ﺱ في الشكل. نلاحظ شيئًا مثيرًا للاهتمام هنا. تظهر كتلة الجسم ﻙ في الحدود الثلاثة كلها. وبما أن هذه الكتلة أكبر من صفر، يمكننا قسمة كلا الطرفين على هذا العامل المشترك وحذفه. وإذا أخرجنا العامل المشترك، وهو عجلة الجاذبية، من الطرف الأيمن، فسنحصل على هذا التعبير. ودعونا نتذكر أن لدينا قيمة ﺩ وكذلك ﻡﻙ. حسنًا، كل ما علينا فعله لإيجاد قيمة ﺟﺱ هو التعويض عن جا 𝜃 وجتا 𝜃.

بالنظر إلى الرسم، يمكننا القول إن جيب الزاوية التي سميناها 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل، الذي يبلغ ارتفاعه ٨٤ سنتيمترًا، مقسومًا على طول وتر المثلث الذي يساوي ٢٥٩ سنتيمترًا. وللحل لإيجاد قيمة جيب تمام هذه الزاوية، نستخدم نظرية فيثاغورس لنشير إلى أن طول هذا الضلع في المثلث القائم الزاوية يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٥٩ تربيع ناقص ٨٤ تربيع بوحدة السنتيمتر. وهذا يساوي ٢٤٥ سنتيمترًا، وهو ما يعني أن جتا 𝜃 يساوي ٢٤٥ مقسومًا على ٢٥٩.

إذا عوضنا بقيمتي ﻡﻙ وﺩ دون وحدتيهما، فسنحصل على ٠٫٤٩ عندما نحسب قيمة هذا التعبير. يكون هذا الناتج بوحدة المتر لكل ثانية مربعة. وبذلك نقول إن عجلة هذا الجسم المنزلق لأسفل تساوي ٠٫٤٩ متر لكل ثانية مربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.