فيديو السؤال: إيجاد جيب الزاوية وظلها في المثلثات القائمة الزاوية عندما يكون طول الوتر ضعف طول الضلع المقابل الرياضيات

أوجد جا ﺃ، ‏ظا ﺃ، إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا قائم الزاوية عند ﺏ؛ حيث ٢ﺟﺏ = ﺃﺟ.

٠٣:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد جا ﺃ وظا ﺃ إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا قائم الزاوية عند ﺏ؛ حيث اثنان ﺟﺏ يساوي ﺃﺟ.

حسنًا، لدينا معلومات عن هذا المثلث القائم الزاوية ﺃﺏﺟ، لذا دعونا نبدأ برسمه. تقع الزاوية القائمة في المثلث عند ﺏ، بعبارة أخرى: الضلعان ﺃﺏ وﺏﺟ متعامدان. علمنا أيضًا أن اثنين ﺟﺏ يساوي ﺃﺟ؛ لذا دعونا نفترض أن الضلع ﺟﺏ يساوي ﺱ وحدة طول. إذن طول الضلع ﺃﺟ يجب أن يساوي اثنين ﺱ وحدة طول. والآن سنحسب جا ﺃ وظا ﺃ. نحن نعلم أنه بالنسبة إلى المثلث القائم الزاوية الذي يحتوي على زاوية محصورة، 𝜃، توضح النسبتان المثلثيتان الجيب والظل أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. وظل الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور.

نحن نحاول إيجاد جا ﺃ وظا ﺃ؛ أي جيب هذه الزاوية الموجودة هنا وظلها. بالنسبة إلى هذه الزاوية المحصورة، نحن نعرف طول الضلع المقابل. أي طول الضلع ﺏﺟ؛ الذي يساوي ﺱ وحدة. والوتر في هذا المثلث يساوي اثنين ﺱ وحدة. هذا يعني أنه يمكننا حساب قيمة جا ﺃ سريعًا. لكننا بحاجة إلى بذل جهد أكثر قليلًا لإيجاد قيمة ظا ﺃ.

دعونا نبدأ بإيجاد قيمة جا ﺃ. وهي تساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. هذا يعني ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ. لكن بالطبع، يمكننا تبسيط هذا المقدار بقسمة البسط والمقام على ﺱ. إذن يبسط ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ إلى نصف، وعليه فإن جا ﺃ يساوي نصفًا. وبالطبع ظا ﺃ يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور. لذا دعونا نوجد مقدارًا يعبر عن طول الضلع المجاور.

للقيام بذلك، سنستخدم نظرية فيثاغورس. وهي تنص على أن مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصرين في المثلث يساوي مربع طول الوتر. بعبارة أخرى: ﺱ تربيع زائد ﺃﺏ تربيع يساوي اثنين ﺱ تربيع. اثنان ﺱ الكل تربيع يساوي أربعة ﺱ تربيع. والآن سنجعل ﺃﺏ تربيع في طرف بمفرده بطرح ﺱ تربيع من الطرفين. ‏ﺃﺏ تربيع يساوي ثلاثة ﺱ تربيع، وهو ما يعني أن ﺃﺏ يساوي موجب الجذر التربيعي لثلاثة ﺱ تربيع. ويمكن كتابة ذلك بطريقة أخرى في صورة الجذر التربيعي لثلاثة في ﺱ. إذن طول الضلع ﺃﺏ يساوي جذر ثلاثة ﺱ وحدة.

يمكننا الآن إيجاد مقدار يعبر عن ظا ﺃ. بما أن ظا ﺃ يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، فإنه يساوي ﺱ على جذر ثلاثة ﺱ. يمكننا مرة أخرى تبسيط المقدار بقسمة البسط والمقام على ﺱ، فنحصل على واحد على جذر ثلاثة. ثم يمكننا تبسيط المقدار بشكل أكثر بإنطاق مقام هذا الكسر. للقيام بذلك، نضرب البسط والمقام في الجذر التربيعي لثلاثة. إذن جذر ثلاثة في جذر ثلاثة يساوي ثلاثة. ومن ثم، نجد أن ظا ﺃ يساوي جذر ثلاثة على ثلاثة. وبذلك نكون قد أوجدنا قيمتي جا ﺃ وظا ﺃ. ‏‏جا ﺃ يساوي نصفًا، وظا ﺃ يساوي جذر ثلاثة على ثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.