فيديو الدرس: متباينة المثلث: المقارنة بين الزوايا الرياضيات • الصف الثاني الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نكون متباينات تتضمن قياسات الزوايا في مثلث بمعلومية أطوال أضلاع المثلث. لفعل ذلك، دعونا نتناول مثلثًا مختلف الأضلاع. نتذكر أن المثلث المختلف الأضلاع هو المثلث الذي أضلاعه الثلاثة جميعًا مختلفة الطول. في هذا المثلث، الضلع الوردي — أي الضلع واحد — هو الأقصر، والضلع الأصفر — أي الضلع اثنان — هو الضلع المتوسط الطول، والضلع الأزرق — أي الضلع ثلاثة — هو الأطول. توضح لنا متباينة الزوايا والأضلاع أنه إذا عرفنا ترتيب أطوال الأضلاع من الأكبر إلى الأصغر أو من الأصغر إلى الأكبر، يمكننا معرفة ترتيب قياسات الزوايا من الأكبر إلى الأصغر أو من الأصغر إلى الأكبر أيضًا. لنلق نظرة فاحصة على ذلك.

دعونا نطلق على الزاوية المقابلة للضلع واحد «الزاوية واحدًا»، والزاوية المقابلة للضلع اثنين «الزاوية اثنين»، والزاوية المقابلة للضلع ثلاثة «الزاوية ثلاثة». ما يمكننا فعله هنا هو مقارنة الضلع واحد بالضلع اثنين، وبما أن الضلع اثنين أكبر من الضلع واحد، فسيكون قياس الزاوية المقابلة للضلع اثنين أكبر من قياس الزاوية المقابلة للضلع واحد. يمكننا كتابة ذلك على هذا النحو. في أي مثلث، إذا كان أحد الأضلاع أطول من ضلع آخر، فإن قياس الزاوية المقابلة للضلع الأقصر يكون أصغر من قياس الزاوية المقابلة للضلع الأطول. في المقابل، إذا كان قياس إحدى زوايا مثلث أصغر من قياس زاوية أخرى، فإن الضلع المقابل للزاوية الأصغر يكون أقصر من الضلع المقابل للزاوية الأكبر.

ومن ثم، يمكننا القول إن الضلع ثلاثة أطول من الضلع اثنين. إذن، قياس الزاوية ثلاثة أكبر من قياس الزاوية اثنين. وبما أن الضلع اثنين أطول من الضلع واحد، فإن قياس الزاوية اثنين سيكون أكبر من قياس الزاوية واحد. يمكننا أيضًا عكس هذه العبارة؛ حيث نبدأ بترتيب قياسات الزوايا ونستنتج من ذلك ترتيب أطوال الأضلاع. إذن، إذا كان قياس الزاوية ثلاثة أكبر من الزاوية اثنين، التي قياسها أكبر من قياس الزاوية واحد، فلا بد أن يكون الضلع ثلاثة أطول من الضلع اثنين الذي يكون حتمًا أطول من الضلع واحد.

حسنًا، كيف يمكننا أن نستخدم متباينة الزوايا والأضلاع هذه؟ دعونا نتناول حالتين. الحالة الأولى هي أننا إذا علمنا أطوال أضلاع مثلث، يمكننا ترتيب زواياه وفقًا لقياساتها. والحالة الثانية هي أننا إذا علمنا قياسات زوايا المثلث، يمكننا ترتيب أضلاعه حسب أطوالها. بعد أن عرفنا كيفية استخدام متباينة الزوايا والأضلاع، دعونا الآن نلق نظرة على بعض الأمثلة. في المثال الأول لدينا، سنرتب زوايا المثلث فقط.

أي المتباينات الآتية يمثلها هذا الشكل؟ أ: قياس الزاوية ﺏ أصغر من قياس الزاوية ﺏﺃﺟ، الذي يكون أصغر من قياس الزاوية ﺟ. ب: قياس الزاوية ﺩﺃﺟ أصغر من قياس الزاوية ﺏ، الذي يكون أصغر من قياس الزاوية ﺟ. ج: قياس الزاوية ﺏﺃﺟ أصغر من قياس الزاوية ﺟ، الذي يكون أصغر من قياس الزاوية ﺩﺃﺟ. د: قياس الزاوية ﺩﺃﺟ أصغر من قياس الزاوية ﺏ، الذي يكون أصغر من قياس الزاوية ﺏﺃﺟ. هـ: قياس الزاوية ﺟ أصغر من قياس الزاوية ﺏ، الذي يكون أصغر من قياس الزاوية ﺏﺃﺟ.

لكي نتمكن من ترتيب قياسات هذه الزوايا، علينا إيجاد قياسي الزاويتين المجهولين. نحن الآن لا نعلم قياس الزاوية ﺟ ولا نعلم قياس الزاوية ﺏﺃﺟ. ونلاحظ أن الزاويتين ﺏﺃﺟ وﺩﺃﺟ يكونان خطًّا مستقيمًا. إذا كونت هاتان الزاويتان خطًّا مستقيمًا، فهما زاويتان متكاملتان، ومجموعهما ١٨٠ درجة. إذا عوضنا بقياس الزاوية ﺩﺃﺟ، الذي نعلم أنه يساوي ٩٢ درجة، فإن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ زائد ٩٢ درجة يساوي ١٨٠ درجة. وإذا طرحنا ٩٢ درجة من طرفي هذه المعادلة، فسنجد أن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي ٨٨ درجة. يمكننا إضافة ذلك إلى الشكل.

وبذلك ندرك أن لدينا المثلث ﺃﺏﺟ. في أي مثلث، يجب أن يكون مجموع قياسات زواياه الداخلية الثلاث ١٨٠ درجة. ومن ثم، يمكننا القول إن قياس الزاوية ﺏ زائد قياس الزاوية ﺏﺃﺟ زائد قياس الزاوية ﺟ يجب أن يساوي ١٨٠ درجة. الزاوية ﺏ قياسها ٥٢ درجة، والزاوية ﺏﺃﺟ قياسها ٨٨ درجة، ونريد إيجاد قياس الزاوية ﺟ. إذا جمعنا ٥٢ و٨٨، نحصل على ١٤٠ درجة. علينا بعد ذلك طرح ١٤٠ درجة من طرفي المعادلة لإيجاد قياس الزاوية ﺟ؛ فنجد أن قياس الزاوية ﺟ يساوي ٤٠ درجة. يمكننا إضافة ذلك إلى الشكل أيضًا.

يمكننا الآن كتابة قياسات الزوايا التي نعرفها مرتبة من الأصغر إلى الأكبر. أصغر زاوية لدينا هي الزاوية ﺟ التي قياسها ٤٠ درجة، تليها الزاوية ﺏ التي قياسها ٥٢ درجة، تليها الزاوية ﺏﺃﺟ التي قياسها ٨٨ درجة. وأكبر الزوايا التي نراها في هذا الشكل هي الزاوية ﺩﺃﺟ، التي قياسها ٩٢ درجة. باستخدام هذه المتباينة المركبة، يمكننا تحديد الإجابة الصحيحة. الخيار الوحيد الذي يوضح الزوايا بالترتيب الصحيح هو الخيار ه؛ حيث يوضح أن قياس الزاوية ﺟ أصغر من قياس الزاوية ﺏ، الذي يكون أصغر من قياس الزاوية ﺏﺃﺟ.

في المثال التالي، مطلوب منا ربط متباينة أطوال أضلاع مثلث بمتباينة زواياه.

أكمل ما يأتي باستخدام علامة أصغر من أو يساوي أو أكبر من. في المثلث ﺩﻫﻭ، إذا كان ﺩﻫ أكبر من ﻫﻭ، فإن قياس الزاوية ﻭ (فراغ) قياس الزاوية ﺩ.

علينا التفكير في بعض الأمور عند حل هذه المسألة. نعلم أن لدينا مثلثًا وهو ﺩﻫﻭ، ونعلم أن ﺩﻫ أكبر من ﻫﻭ. دعونا الآن نرسم المثلث ﺩﻫﻭ، بحيث يكون الضلع ﺩﻫ أكبر من الضلع ﻫﻭ. في هذه الحالة، سنقارن الزاوية ﻭ بالزاوية ﺩ. لذا علينا أن نتذكر متباينة الزوايا والأضلاع في المثلث، التي تنص على أنه إذا كان لدينا ضلع أطول من ضلع آخر في المثلث، فإن قياس الزاوية المقابلة للضلع الأطول سيكون أكبر من قياس الزاوية المقابلة للضلع الأصغر. وبما أن الضلع ﺩﻫ أكبر من الضلع ﻫﻭ، فإن قياس الزاوية ﻭ سيكون أكبر من قياس الزاوية ﺩ. ولذلك نضع في الفراغ علامة أكبر من.

من المهم هنا أن نوضح أنه لم يكن لدينا أي معلومة عن طول الضلع ﺩﻭ. وهذا يعني أنه لا يمكننا معرفة ترتيب طول الضلع ﺩﻭ أو قياس الزاوية ﻫ. نحتاج إلى مزيد من المعلومات لمعرفة أي أمر يتعلق بهاتين القيمتين. وبما أننا لا نعرف إلا قيمة متباينة القطعتين المستقيمتين، فلا يمكننا التحدث إلا عن متباينة الزاويتين.

في المثال الآتي، نريد إيجاد قيمة متباينة أطوال أضلاع مثلث إذا كان لدينا بعض قياسات زواياه.

من الشكل الآتي، حدد المتباينة الصحيحة. أ: ﺃﺟ أصغر من ﺟﺏ، ب: ﺃﺏ أكبر من ﺃﺟ، ج: ﺃﺏ أصغر من ﺟﺏ، د: ﺃﺏ أكبر من ﺟﺏ.

أولًا: علينا النظر إلى الشكل. لدينا أحد قياسات الزوايا الداخلية للمثلث. وللمقارنة بين أطوال أضلاع هذا المثلث، علينا معرفة قياسي الزاويتين الداخليتين الأخريين للمثلث. نحن نلاحظ أن القطعة المستقيمة ﺟﺏ توازي الشعاع ﺃﺩ. نتذكر أنه عندما يقطع مستقيم قاطع مستقيمين متوازيين، يمكننا استنتاج أمر ما يتعلق بالعلاقات بين الزوايا. الزاوية ﺩﺃﺏ والزاوية ﺃﺏﺟ زاويتان متبادلتان داخليًّا. وعندما يقطع مستقيم قاطع مستقيمين متوازيين، تكون هاتان القيمتان متساويتين، وهو ما يعني أن الزاوية ﺃﺏﺟ تساوي ٦٦ درجة أيضًا.

وبذلك يصبح لدينا قياسا زاويتين من الزوايا الثلاث الداخلية للمثلث. ونحن نعلم أن مجموع الزوايا الثلاث الداخلية للمثلث تساوي ١٨٠ درجة. يمكننا كتابة ذلك بهذه الطريقة، ثم التعويض بالقيم التي نعرفها. قياس الزاوية ﺟﺃﺏ يساوي ٥٢ درجة، زائد قياس الزاوية ﺃﺏﺟ، ويساوي ٦٦ درجة، زائد قياس الزاوية ﺏﺟﺃ يساوي ١٨٠ درجة. لتبسيط ذلك، نجد أن ٥٢ زائد ٦٦ يساوي ١١٨، ونكتب بعد ذلك كل ما تبقى من المعادلة. ولإيجاد قياس الزاوية ﺏﺟﺃ، علينا طرح ١١٨ درجة من ١٨٠ درجة، وهو ما يعطينا ٦٢ درجة.

بعد ذلك نفكر فيما نعرفه عن متباينة الزوايا والأضلاع في مثلث، وهي تخبرنا أنه إذا عرفنا قيم زوايا مثلث، يمكننا ترتيب أطوال أضلاعه. الضلع ﺟﺏ يقابل أصغر زاوية، وهو ما يشير إلى أن الضلع ﺟﺏ هو أقصر ضلع. والضلع ﺃﺏ يقابل الزاوية المتوسطة القياس، وهو ما يعني أن ﺟﺏ أصغر من ﺃﺏ. والضلع الثالث ﺃﺟ يقابل أكبر زاوية؛ ومن ثم فإنه أطول ضلع. ويمكننا القول إن ﺟﺏ أصغر من ﺃﺏ أصغر من ﺃﺟ. هذه الأضلاع مرتبة من الأصغر إلى الأكبر. يمكننا أيضًا كتابتها من الأكبر إلى الأصغر على الصورة ﺃﺟ أكبر من ﺃﺏ الذي يكون أكبر من ﺟﺏ. باستخدام هاتين العبارتين، يمكننا معرفة الإجابة الصحيحة. وهي الخيار الذي يوضح أن ﺃﺏ أكبر من ﺟﺏ.

دعونا نتناول مثالًا آخر.

أكمل العبارة الآتية باستخدام علامة أصغر من أو يساوي أو أكبر من. إذا كان طول ﺃﺏ يساوي ٦٢، وطول ﺃﺟ يساوي ٦٣، وقياس الزاوية ﺃﺱﺹ يساوي قياس الزاوية ﺃﺹﺱ، فقارن القطعة المستقيمة ﺹﺟ بالقطعة المستقيمة ﺱﺏ.

دعونا نستعرض أولًا المعطيات التي يتضمنها السؤال ونضيفها إلى الشكل. نحن نعلم أن طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ يساوي ٦٢ وطول القطعة المستقيمة ﺃﺟ يساوي ٦٣. ونلاحظ أيضًا أن قياس الزاوية ﺃﺱﺹ يساوي قياس الزاوية ﺃﺹﺱ، كما هو موضح بالفعل في الشكل. ولكن بما أن الزاوية ﺃﺱﺹ تساوي الزاوية ﺃﺹﺱ، يمكننا القول إن القطعة المستقيمة ﺃﺱ تساوي القطعة المستقيمة ﺃﺹ؛ وذلك لأنه في المثلث، عندما يكون هناك زاويتان لهما القياس نفسه، فإن طولي الضلعين المقابلين لهاتين الزاويتين متساويان أيضًا.

إذا كان هذا كله صحيحًا، فكيف نقارن القطعة المستقيمة ﺹﺟ بالقطعة المستقيمة ﺱﺏ؟ نعلم أن ﺃﺟ أكبر من ﺃﺏ، لكن إذا كان طولا القطعتين المستقيمتين ﺃﺹ، ﺃﺱ متساويين، فلا بد أن تكون القطعة المستقيمة ﺹﺟ أكبر من القطعة المستقيمة ﺱﺏ. على سبيل المثال، إذا كان طول كل من ﺃﺹ، ﺃﺱ يساوي خمسة، فسنجد أن طول ﺹﺟ يساوي ٥٨، ولكن طول ﺱﺏ يساوي ٥٧. ماذا نلاحظ إذا كان طول كل من القطعتين المتساويتين يساوي ١٠ ؟ سنجد أن طول ﺹﺟ يساوي ٥٣، وطول ﺱﺏ يساوي ٥٢. إذن، القطعة المستقيمة ﺹﺟ ستكون دائمًا أكبر من القطعة المستقيمة ﺱﺏ.

تجدر الإشارة أيضًا إلى أمر آخر لا تتضمنه معطيات السؤال. وهو أنه بما أن القطعة المستقيمة ﺃﺟ أكبر من القطعة المستقيمة ﺃﺏ، فسيكون قياس الزاوية ﺏ أكبر من قياس الزاوية ﺟ. لكن لم يطلب منا السؤال سوى المقارنة بين ﺹﺟ، ﺱﺏ، وهو ما فعلناه. إننا وجدنا أن ﺹﺟ أكبر من ﺱﺏ.

دعونا نتناول مثالًا آخر يوضح متباينة مثلث.

أكمل باستخدام علامة أصغر من أو يساوي أو أكبر من، للمقارنة بين طول الضلع ﺏﺟ وطول الضلع ﺃﺟ.

سنحدد أولًا طولي الضلعين اللذين نريد مقارنتهما ببعضهما. نحن نريد المقارنة بين طول الضلع ﺏﺟ وطول الضلع ﺃﺟ. هناك طريقة يمكننا اتباعها وهي استخدام متباينة الزوايا والأضلاع في مثلث. ولفعل ذلك، علينا مقارنة قياسي الزاويتين المقابلتين لطولي الضلعين اللذين نريد مقارنتهما. قد يبدو أننا ليس لدينا أي معلومات عن الزوايا. ولكن يمكننا استخدام بعض خواص المثلثات لإيجاد بعض المعلومات عن قياسات الزوايا. في المثلث، إذا كان هناك ضلعان متساويان في الطول، فإن قياسي الزاويتين المقابلتين لهما متساويان، وهو ما يعني هنا أن قياس الزاوية ﺃﺏﻭ يساوي قياس الزاوية ﻭﺃﺏ، وقياس الزاوية ﺃﺩﻭ يساوي قياس الزاوية ﺩﺃﻭ.

المثلث ﺃﺏﻭ والمثلث ﺃﺩﻭ متساويا الساقين؛ ومن ثم يحتويان على ضلعين متساويين. وهذا يجعلنا نقول إن طول القطعة المستقيمة ﺃﺩ سيساوي طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ؛ لأن هذين المثلثين متطابقان. وهو ما يشير إلى أن قياس الزاوية ﺃﻭﺏ سيساوي قياس الزاوية ﺃﻭﺩ. هذا يعني أننا وجدنا أن طول الضلع ﺃﺏ يجب أن يكون أصغر من طول الضلع ﺃﺟ. ولكن كيف يمكننا استنتاج معلومة عن طول الضلع ﺏﺟ؟ لفعل ذلك، سنفكر في القطعة المستقيمة ﺃﻭ. نلاحظ أن القطعة المستقيمة ﺃﻭ تنصف القطعة المستقيمة ﺏﺩ. ومن ثم، فإن القطعة المستقيمة ﺃﻭ هي منصف في المثلث المتساوي الساقين ﺃﺏﺩ. وعندما يتحقق ذلك يكون المنصف عموديًّا، وهو ما يعني أن قياس كل من هاتين الزاويتين يساوي ٩٠ درجة. وإذا تحقق ذلك في المثلثين الأصغرين المتساويي الساقين، يجب أن تكون الزوايا الأصغر المحددة باللون الأزرق متساوية؛ ومن ثم يكون قياس كل منها يساوي ٤٥ درجة.

إذا كان قياس كل من هذه الزوايا الصغيرة يساوي ٤٥ درجة، فإن الزاوية الكبيرة التي نريد إيجاد قياسها، أي الزاوية ﺏﺃﺟ، زاوية قائمة. وبما أن القطعة المستقيمة ﺏﺟ مقابلة للزاوية القائمة، فهي الوتر في المثلث الأكبر ﺃﺏﺟ؛ ومن ثم تكون أطول ضلع في هذا المثلث. إذن، ترتيب أطوال أضلاع المثلث الأكبر ﺃﺏﺟ هو: ﺃﺏ أصغر من ﺃﺟ، وﺃﺟ أصغر من ﺏﺟ. وبما أن الضلع ﺏﺟ هو الوتر وأكبر ضلع في هذا المثلث، فإن ﺏﺟ أكبر من ﺃﺟ.

لتلخيص هذا الفيديو، دعونا نراجع النقاط الرئيسية. في أي مثلث، إذا كان لدينا ضلع أطول من ضلع آخر، فإن الزاوية المقابلة للضلع الأصغر سيكون قياسها أصغر من قياس الزاوية المقابلة للضلع الأطول. في المقابل، إذا كان قياس زاوية في مثلث أصغر من قياس زاوية أخرى، فإن الضلع المقابل للزاوية الأصغر يكون أقصر من الضلع المقابل للزاوية الأكبر، وهو ما يمكننا تمثيله على النحو الآتي. الضلع ثلاثة أكبر من الضلع اثنين، والضلع اثنان أكبر من الضلع واحد. إذن، قياس الزاوية ثلاثة أكبر من قياس الزاوية اثنين، وقياس الزاوية اثنين أكبر من قياس الزاوية واحد.