فيديو: تحويلات التمثيلات البيانية لدوال المقلوب

يوضح الفيديو ما الصورة العامة لدالة المقلوب، وخصائصها، وكيفية تمثيلها بيانيًّا بعد إجراء التحويلات الهندسية عليها، وأمثلةً عليها.

١١:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

تحويلات التمثيلات البيانية لدوال المقلوب؛ ده موضوع الفيديو معانا.

هنلاقي دلوقتي إن دالة المقلوب الرئيسية هي عبارة عن إن د س تساوي واحد على س. هي عبارة عن قِطْع زائد زيّ ما إحنا شايفين. ودي هي دالة المقلوب الرئيسية. طب إيه هو الشكل العام بتاع دوال المقلوب؟ الشكل العام عبارة عن إن: د س تساوي أ على، س ناقص ب؛ زائد ج. ده الشكل العام. هنستفيد إيه مِ الشكل العام؟

أول حاجة هنقدر نعرف خصائص دوال المقلوب دي زيّ ما هنشوف دلوقتي. بعد ما نعرف الخصائص ممكن نرسمها بسهولة بعد ما اتعرّفنا على كل الخصائص بتاعتها. يبقى إحنا بندرس الشكل العام عشان الرسم، وعشان نعرف خصائص الدالة دي، دالة المقلوب دي. خلّينا نشوف معانا أول حاجة.

زيّ ما إحنا شايفين في الشكل العام فيه أ، وفيه ب، وفيه ج. دلوقتي ب بتمثّل عندنا إزاحة أفقية، يعني إيه إزاحة أفقية؟ شايفين الدالة بتاعة المقلوب؛ الدالة الرئيسية دي؟ ممكن يحصل لها إزاحة أفقية؛ يعني يمين وشِمال. طب ده بيكون بُناءً على إيه؟ بُناءً على إشارة ب نفسها. يبقى إحنا بنسيب الـ س، والإشارة بتاعة الناقص اللي جنبها، ونشوف الـ ب؛ الـ ب إشارتها كام؟

إشارتها لو كانت موجبة، فبيحصل إزاحة مقدارها ب ناحية اليمين؛ يبقى فيه إزاحة كده مقدارها ب ناحية اليمين. طب لو كانت الـ ب سالبة، بيحصل إزاحة مقدارها مقياس الـ ب. يبقى ما فيش حاجة اسمها إزاحة بالسالب. لأ إحنا بناخد المقياس بتاعها؛ وهو عبارة عن مقياس ب وحدة ناحية اليسار، يبقى في الاتجاه ده.

طب تعالى نشوف إيه اللي نقدر نطلّعه كمان من خلال ب، هي الخط التقاربي الرأسي؛ وهو عبارة عن إن س تساوي ب. يبقى ده الخط التقاربي الرأسي بتاعنا، ممكن نعرفه مِ الشكل العام.

طب خلّينا نشوف ج بتمثّل إيه. ج تمثّل إزاحة رأسية، إزاحة رأسية يعني لفوق أو لتحت. لو كانت ج إشارتها موجبة، فبنلاحظ إن الإزاحة لأعلى؛ يبقى الإزاحة بتكون لأعلى. نفس الدالة دي، اللي هي الدالة الرئيسية؛ اللي هي واحد على س، بيحصل لها إزاحة لأعلى مقدارها كام؟ مقدارها ج.

طب لو كانت الـ ج سالبة، بيحصل إزاحة مقدارها مقياس الـ ج، ولأسفل. بتبقى لأسفل مقياسها مقدارها؛ معذرة مقدارها مقياس الـ ج. يبقى إحنا بنشوف بنسيب علامة الزائد، ونمسك الـ ج ونشوف إشارتها، وبناخد المقياس بتاعها.

حاجة كمان إن الـ ج دي بتعرّفني الخط التقاربي الأفقي، عبارة عن إن هو د س تساوي ج. وده عبارة عن الخط التقاربي الأفقي. يبقى إحنا من خلال الشكل العام قدِرنا فعلًا نطلّع الخصائص. تعالى نشوف معانا أ بيمثّل إيه، وهيقدر يفيدنا بإيه. مع بعض هنفتح صفحة جديدة.

لو جينا نشوف أ، فهنلاقي إن أ عندنا بيمثّل الشكل والدوران زيّ ما إحنا شايفين. إيه موضوع الشكل والدوران؟ أول حاجة لو كانت قيمة أ سالبة، فالدالة بتنعكس حول محور الـ س.

المفروض الدالة كانت مرسومة هنا، ومرسومة هنا. القِطْع الزائد مرسوم هنا، وهنا. في الربع الأول، والربع التالت. بيحصل انعكاس حول محور الـ س. يبقى اللي كان مرسوم هنا في الربع الأول يصبح مرسوم في الربع الرابع. واللي كان مرسوم هنا في الربع التالت يصبح مرسوم هنا في الربع التاني. يبقى بيحصل انعكاس حول محور الـ س لو كانت الـ أ إشارتها سالبة.

يبقى إشارة الـ أ هي اللي بتحدّد لي الدوران. طب الشكل بقى؛ شكله بيكون عامل إزّاي؟ لو لقينا إن مقياس الـ أ أكبر من الواحد، فبنقول إن الدالة بتتمدّد رأسيًّا. ولو كان مقياس الـ أ ما بين الصفر والواحد، يعني رقم كسري، فبنلاقي إن الدالة بتتقلّص رأسيًّا.

فمن الواضح كده لو كان مثلًا س هنا باتنين، ورُحنا نضرب لسَّه في الـ أ أو مقدار الـ أ اللي فوق ده. فبنلاقي إن قيمة الدالة طلعت كبيرة. في حين لو هنا كانت نفس الاتنين برضو، ورُحنا نعوّض؛ فبنلاقي إن قيمة الدالة صغيرة. لأن الـ أ أو مقياس الـ أ ده محصور ما بين الصفر، والواحد؛ يعني عدد كسري.

فالعدد اللي قدّامنا ده أو العدد الكسري ده هيصغّر قيمة الدالة، فيبدأ يحصل لها تقلّص. زيّ ما إحنا شايفين هنا بيحصل تمدّد، بنلاقي إن القِطْع الزائد تمدّد زيّ ما إحنا شايفين كده. إنما هنا هنلاقي إن القِطْع الناقص حصل له تقلّص، أو الدالة نفسها أو شكل الدالة حصل له تقلّص. يبقى ده على حسب مقياس الـ أ بيحدّد لي الشكل.

إنما إشارة الـ أ بتحدّد لي الدوران؛ سواء كنت مرسوم في الربع الأول … الربع الأول، والربع التالت. أو كنت مرسوم عندي في الربع التاني، والربع الرابع. يبقى الإشارة هي اللي بتحدّد لي. يبقى الـ أ عندنا بيمثّل الشكل والدوران. خلّينا نشوف مثال يوضّح لنا الكذا فكرة دول، ويربطهم ببعض.

المثال اللي عندنا بيقول: ارسم دالة المطلوب الآتية، وحدّد خصائصها. د س تساوي اتنين على، س ناقص أربعة؛ زائد اتنين.

زيّ ما إحنا شايفين مكتوبة على الصورة العامة بتاع دالة المطلوب. خلّينا نشوف إزّاي نقدر نطلّع الخصائص بتاعتها. فأول حاجة لازم نشوف الـ أ، والـ ب، والـ ج بكام، ونشوف إشاراتهم، وبكده نقدر نحدّد الخصائص زيّ ما شرحنا. تعالى نشوف مع بعض.

لقينا إن أ يساوي اتنين، وإشارته موجبة. والـ ب برضو بأربعة، وإشارتها موجبة. وبنلاقي إن الـ ج باتنين، وبرضو إشارتها موجبة. خلّينا واحدة واحدة كده نبدأ نطلّع الخصائص. فأول حاجة تعالى نشوف الـ ب.

طبعًا من خلال الـ ب بنلاقي إن فيه إزاحة أفقية مقدارها أربعة. طب يمين ولّا شِمال؟ هنلاقي إنها لليمين؛ لأن الـ ب الإشارة بتاعتها موجبة. تاني حاجة فيه خط تقاربي رأسي عند الـ س تساوي أربعة. خلّينا نروح للـ ج ونشوف.

لو جينا نشوف الـ ج، هنلاقي إن ج بتمثّل لي إزاحة رأسية لأعلى، ليه لأعلى؟ عشان الـ ج إشارتها موجبة. طب مقدار الإزاحة إيه؟ اتنين؛ يبقى اتنين لأعلى. تاني حاجة بتمثّل لي خط تقاربي أفقي عند الـ د س تساوي اتنين. فاضل الـ أ، خلّينا نشوف الـ أ هنقدر نطلّع خصائص منه إيه.

أ عندنا بنلاقي إن هو موجب، وبالتالي لا يوجد دوران حول محور الـ س. تاني حاجة أو الحاجة اللي بعد كده بنطلع منها من أ. إن بنلاقي إن أ مقياسه أكبر مِ الواحد؛ لأن هو أصلًا مقداره باتنين، فبنقول إن الدالة بتتمدّد رأسيًّا. خلّينا نشوف إزّاي نقدر نرسم بعد ما طلّعنا الخصائص دي.

بعد ما عرفنا كل الخصائص اللي طلّعناها من أ، وَ ب، وَ ج؛ نقدر نرسم. فبنلاقي من خلال الشكل اللي قدّامنا إن فيه خط تقاربي أفقي عند الاتنين؛ زيّ ما شُفنا. وبنلاقي إن فيه خط تقاربي رأسي عند الأربعة. وبنلاحظ إن فيه إزاحة مقدارها أربعة إلى اليمين، ليه؟ عشان الـ ب عندنا بأربعة بالموجب. وبنلاحظ إن فيه إزاحة رأسية مقدارها اتنين؛ لأن الـ ج عندنا موجبة، ومقدارها اتنين بالموجب؛ فبتبقى الإزاحة لأعلى.

بنلاقي إن ما فيش دوران؛ فبتترسم في الربع الأول، والربع التالت؛ طبعًا بالنسبة للخطوط التقاربية، مش بالنسبة للمحاور بتاعتنا. الخطوط التقاربية أهي عندنا زيّ ما إحنا شايفين، آدي شكلها. وبالتالي بيبقى في الربع الأول، والربع التالت؛ لأن إشارة الـ أ موجبة.

طبعًا الـ أ بنلاحظ إن هو باتنين. باتنين ده يعني أكبر من الواحد، بس مش كبير أوي؛ فهي مش هتتمدّد أوي. مش هيحصل لها تمدّد كبير؛ لأن الاتنين دي أكبر من الواحد بشوية صغيرين. إنما لو كانت عشرين مثلًا، فهنلاحظ التمدّد هيكون كبير. يبقى التمدّد عندنا هنا مش هنلاحظه أوي؛ بسبب إن الـ أ مش كبيرة أوي، بس فيه تمدّد. آخِر حاجة عايزين نطلّعها من هنا هي: المجال، والمدى. خلّينا نقدر نشوف إزّاي نطلّع المجال والمدى بتوع دالة المقلوب اللي قدّامنا.

المجال عندنا هو قيم س اللي الدالة تصبح غير معرّفة لو عوّضنا بيها. فإحنا شايفين هنا الأربعة، لو رُحنا عوّضنا بيها، هنلاقي إن فيه مشكلة في المقام؛ هيكون بصفر. وبالتالي برضو من خلال الرسم هنلاقي لو رحت أعوّض بأربعة، فقيمة الدالة مش معرّفة زيّ ما إحنا شايفين. عند الأربعة لا يقابلها نقطة على الرسم. بعكس التمنية مثلًا؛ لو التمنية رُحنا شفنا، هنلاقي إنه بيقابلها نقطة على الرسم. طيّب يبقى الأربعة مش معانا في المجال؛ فبنقول إن المجال هو جميع القيم الحقيقية، جميع قيم س، بس الـ س لا تساوي أربعة. خلّينا نشوف المدى برضو معانا.

لو جينا نشوف المدى بقى، هنلاقي إن عند تمنية مثلًا بنلاقي إن قصادها قيمة على الرسمة. يبقى د س لمَّا كانت بتمنية قصادها قيمة على الرسمة؛ يعني قصادها قيمة في المجال. لو جينا نشوف برضو الأربعة، بنلاقي إن قصادها قيمة على الرسمة، وبالتالي قصادها قيمة في المجال.

طب خلّينا نشوف بقى لو كانت باتنين. لو كانت الـ د س باتنين، فبنلاقي إن لأ دي ما فيش قيمة قصادها على الرسمة؛ حيث أن ده خط تقاربي. فبالتالي ما ينفعش قيمة المدى تساوي اتنين. قيمة الدالة تقرّب منه، اللي هو الخط التقاربي؛ ممكن، إنما عمرها ما هتقطعه. وبالتالي المدى هو جميع قيم الـ د س، بس ما ينفعش إن تكون الـ د س باتنين. خلّينا نكتب ده في صفحة جديدة مع بعض.

يبقى عندنا المجال هو جميع قيم س؛ بحيث إن الـ س لا تساوي أربعة. والمدى هو جميع قيم الـ د س، بس الـ د س لا تساوي اتنين. هنلاحظ إن الخط التقاربي فعلًا، اللي هو الرأسي عند الـ س تساوي أربعة، فبالتالي بيكون عندي مشكلة في المجال. وبنلاقي برضو إن الخط التقاربي الأفقي عند الـ د س تساوي اتنين، وده برضو بيعمل لنا مشكلة.

وبكده إحنا عرفنا الصورة العامة لدالة المقلوب. لو جات لنا أيّ دالة مقلوب فيها: أ، وَ ب، وَ ج؛ نقدر نرسمها. نقدر نطلّع الخصائص عن طريق الإزاحات، وعن طريق الدوران. والـ أ لو كان موجب أو سالب، فبالتالي نقدر نعرف إذا كان فيه دوران ولّا لأ. لو كان ما بين الصفر والواحد، المقياس بتاع قيمة أ، فبنقدر نقول لأ ده ما فيش تمدّد فيه تقلّص رأسيًّا. ولو كان أكبر من الواحد، لأ بنقول ده فيه تمدّد رأسيًّا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.