نسخة الفيديو النصية
صفيحة مثلثة الشكل طول قاعدتها ضعف ارتفاعها، تتمدد محافظة على شكلها. أوجد متوسط تغير مساحة الصفيحة عندما يتغير ارتفاعها من ١٤ سنتيمترًا إلى ٢٣ سنتيمترًا.
يطلب منا السؤال إيجاد متوسط تغير مساحة صفيحة مثلثة الشكل. نعلم من المعطيات أن الصفيحة المثلثة الشكل طول قاعدتها ضعف ارتفاعها، وتتمدد محافظة على شكلها. لعلنا نتذكر أنه لإيجاد متوسط تغير دالة ﺩﺱ من ﺱ يساوي ﺃ إلى ﺱ يساوي ﺏ، فإننا نستخدم متوسط ﺩ يساوي ﺩ عند ﺏ ناقص ﺩ عند ﺃ الكل مقسومًا على ﺏ ناقص ﺃ. وبما أن السؤال يطلب منا إيجاد متوسط تغير مساحة الصفيحة المثلثة الشكل عندما يتغير الارتفاع من ١٤ إلى ٢٣، فإننا نريد إيجاد المساحة بدلالة الارتفاع ﻉ. وفي صيغة متوسط التغير، نريد أن يكون ﺃ يساوي ١٤، وﺏ يساوي ٢٣، وﺩ يساوي المساحة بدلالة الارتفاع ﻉ.
إذا رسمنا الصفيحة المثلثة الشكل بالارتفاع ﻉ، فإننا نعلم أن طول القاعدة يساوي اثنين ﻉ. وفي الواقع، بما أن هذا المثلث يتمدد محافظًا على شكله، فستظل القاعدة بهذا الطول دائمًا. نتذكر أن مساحة أي مثلث تساوي نصفًا في ارتفاع المثلث في طول القاعدة. ومن ثم، يمكننا حساب مساحة هذا المثلث بضرب نصف في الارتفاع ﻉ في طول القاعدة اثنين ﻉ، ما يمكن تبسيطه إلى ﻉ تربيع. وبذلك، نكون قد أوجدنا مساحة المثلث بدلالة ﻉ. وهي تساوي ﻉ تربيع فقط.
يمكننا الآن استخدام صيغة متوسط التغير. إن متوسط التغير في مساحة المثلث – حيث يتغير الارتفاع من ٢٣ سنتيمترًا إلى ١٤ سنتيمترًا، وهو ما سنسميه ﻡ المتوسط – يساوي ﻡ عند ٢٣ ناقص ﻡ عند ١٤ مقسومًا على ٢٣ ناقص ١٤. وباستخدام حقيقة أن مساحة الصفيحة المثلثة الشكل التي ارتفاعها ﻉ تساوي ﻉ تربيع، يمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير لنحصل على ٢٣ تربيع ناقص ١٤ تربيع مقسومًا على تسعة. وهو ما يساوي ٣٧.
يمكننا ترك الإجابة بهذا الشكل. لكننا نعلم من المعطيات أن الارتفاع مقيس بالسنتيمتر، ما يعني أن المساحة مقيسة بالسنتيمتر المربع. وبما أن الارتفاع مقيس بالسنتيمتر، ونحن نقيس التغير في المساحة عند تغير الارتفاع، فسوف نستخدم وحدة السنتيمتر المربع لكل سنتيمتر. وبذلك نكون قد أوضحنا أنه إذا كان لدينا صفيحة مثلثة الشكل طول قاعدتها ضعف ارتفاعها وتتمدد محافظة على شكلها، فإن متوسط تغير مساحتها عندما يتغير ارتفاعها من ١٤ سنتيمترًا إلى ٢٣ سنتيمترًا يساوي ٣٧ سنتيمترًا مربعًا لكل سنتيمتر.
