فيديو الدرس: نظرية ذات الحدين الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نفك أي مقدار ذي حدين على الصورة (ﺃ + ﺏ)^ﻥ.

٢١:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق نظرية ذات الحدين لتوزيع المقادير التي على الصورة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ لقيم ﻥ الصحيحة الموجبة. نعلم أنه يمكننا توزيع القوى الصغيرة لذوات الحدين مثل القوة الثانية أو الثالثة باستخدام طريقة استراتيجية مثل طريقة توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني أو طريقة الشبكة. لكن هذه العملية تصبح غير ملائمة إلى حد كبير عند التعامل مع قوى أعلى، على سبيل المثال، ﺃ زائد ﺏ أس تسعة. إذن مهمتنا في هذا الفيديو هي إيجاد طريقة أسرع للقيام بذلك.

لنفكر في المقدار ﺃ زائد ﺏ تكعيب لنرى كيفية تطبيق ذلك. نعلم أنه يمكن كتابة ﺃ زائد ﺏ تكعيب على الصورة ﺃ زائد ﺏ في ﺃ زائد ﺏ في ﺃ زائد ﺏ. وعند توزيع هذه باستخدام الأساليب المعتادة، نحصل على التعبير ﺃ تكعيب زائد ثلاثة ﺃ تربيع ﺏ زائد ثلاثة ﺃﺏ تربيع زائد ﺏ تكعيب. لكن من أين أتى كل حد من هذه الحدود؟ لنبدأ بالنظر إلى الحد الأول، ﺃ تكعيب. هذا الحد لا يحتوي على ﺏ مطلقًا. لذا ننظر مرة أخرى إلى التعبير السابق، ونقول: «حسنًا، ما عدد الطرق لتحقيق ذلك؟ ما عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار صفر من العدد ﺏ من ذوات الحدين الثلاثة؟»

حسنًا، في الواقع، نلاحظ أنه توجد طريقة واحدة فقط. يجب أن نختار ﺃ واحدة من كل واحدة من ذوات الحدين. لكن منهجيًّا نقول إن هذا يساوي ثلاثة توافيق صفر. هذا هو عدد طرق اختيار صفر من العناصر المختلفة من مجموعة مكونة من ثلاثة عناصر، حيث لا يكون الترتيب مهمًّا. ونعرف بالفعل أن هذا يساوي واحدًا. إذن، هذا هو معامل الحد الأول. ويمكننا حتى كتابة هذا على صورة ثلاثة توافيق صفر في ﺃ تكعيب في ﺏ أس صفر، حيث ﺏ أس صفر يساوي واحدًا ببساطة.

ماذا إذن عن الحد الثاني؟ هذه المرة نسأل أنفسنا: «ما عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار ﺏ واحدة من ذوات الحدين الثلاثة؟» وقد نفعل ذلك يدويًّا، لكن يمكننا في الواقع استخدام رمز ﻥﻕﺭ. ويمكننا القول إن هذا يساوي ثلاثة توافيق واحد. هذا هو عدد طرق اختيار عنصر واحد من مجموعة مكونة من ثلاثة، حيث لا يكون الترتيب مهمًّا. والآن، إذا اخترنا ﺏ واحدة، فلا بد أن يكون لدينا اثنان ﺃ. إذن، معامل الحد الثاني هو ثلاثة توافيق واحد. والحد بأكمله هو ثلاثة توافيق واحد في ﺃ تربيع في ﺏ أس واحد.

ماذا عن الحد التالي؟ هذه المرة، سنختار عنصرين من ﺏ من مجموعة مكونة من ثلاثة من ذوات حدين. ومن ثم، فإن معامل الحد سيكون ثلاثة توافيق اثنين. هذا هو عدد طرق تحقيق ذلك. بعد ذلك، إذا اخترنا عنصرين من ﺏ، فعلينا اختيار عنصر ﺃ واحد. إذن، الحد هو ثلاثة توافيق اثنين في ﺃ أس واحد في ﺏ تربيع. وعند هذه النقطة، قد ترغب في التفكير بشأن من أين جاء هذا الحد الأخير. وهو الحد ﺏ تكعيب.

هل اكتشفت ذلك؟ هذه المرة، سنختار ثلاثة من عناصر ﺏ وصفرًا من عناصر ﺃ. إذن المعامل هو ثلاثة توافيق ثلاثة. إذن الحد هو ثلاثة توافيق ثلاثة في ﺃ أس صفر في ﺏ تكعيب. إذن هذه هي الطريقة التي أتت بها كل هذه الحدود. لذا دعونا نعيد وضع ذلك في التعبير الأصلي ونرى ما إذا كان يمكننا إيجاد طريقة لتعميم ذلك.

لنأخذ الصورة العامة لذات حدين مرفوعة للقوة ﻥ. وهي ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ؛ حيث ﻥ عدد صحيح موجب. لن يحتوي الحد الأول على أي عناصر ﺏ من إجمالي عدد ﻥ من المجموعات. ومن ثم، سيوجد عدد ﻥ من عناصر ﺃ. المعامل إذن هو ﻥ توافيق صفر. هذا هو عدد طرق اختيار صفر من عناصر ﺏ من ﻥ من المجموعات. والحد هو ﻥ توافيق صفر في ﺃ أس ﻥ في ﺏ أس صفر.

الحد التالي يحتوي على عنصر ﺏ واحد، إذن المعامل سيكون ﻥ توافيق واحد. هذا هو عدد طرق اختيار عنصر ﺏ واحد من ﻥ من المجموعات. لدينا عدد من عناصر ﺃ أقل بواحد. إذن، هذا يساوي ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. في الحد الثالث، نختار عنصرين من ﺏ من إجمالي ﻥ من المجموعات. وسنحصل على عدد من عناصر ﺃ أقل بواحد مرة أخرى. إذن، هذا الحد الثالث يساوي ﻥ توافيق اثنين في ﺃ أس ﻥ ناقص اثنين في ﺏ تربيع. ونعرف أيضًا أن الحد الأخير سيتضمن عدد ﻥ من عناصر ﺏ وصفرًا من عناصر ﺃ. الآن، عدد طرق اختيار ﻥ من عناصر ﺏ من مجموعة من ﻥ هو ﻥ توافيق ﻥ. إذن، هذا الحد الأخير هو ﻥ توافيق ﻥ في ﺃ أس صفر في ﺏ أس ﻥ.

لكن كيف نوجد أي حد يقع ما بين الحد الثالث والأخير؟ لنفترض أننا نريد إيجاد الحد الذي يحتوي على عدد ﺭ من عناصر ﺏ. نعلم إذن أنه سيوجد عدد ﻥ ناقص ﺭ من عناصر ﺃ. عدد طرق اختيار عدد ﺭ من عناصر ﺏ من مجموعة من ﻥ هو ﻥ توافيق ﺭ. ومن ثم، يمكننا القول إن الحد العام لمفكوك ذات الحدين هو ﻥ توافيق ﺭ في ﺃ أس ﻥ ناقص ﺭ في ﺏ أس ﺭ. وهذا هو مفكوك ذي الحدين.

لاحظ أن ﻥ توافيق صفر وﻥ توافيق ﻥ يساوي واحدًا وكذلك ﺏ أس صفر وﺃ أس صفر. يمكننا في الواقع إعادة صياغة ذلك قليلًا. ونحصل على ﺃ أس ﻥ زائد ﻥ توافيق واحد في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد في ﺏ وصولًا إلى ﺏ أس ﻥ. قد نلاحظ أن قوة ﺃ تقل بمقدار واحد في كل مرة، وقوة ﺏ تزيد بمقدار واحد في كل مرة. وأيضًا مجموع قوتي ﺃ وﺏ سيساوي دائمًا ﻥ. وهذه القيمة هنا ستطابق دائمًا قوة ﺏ.

أخيرًا، نلاحظ أنه يمكننا أيضًا كتابة ذلك باستخدام رمز التجميع Σ. إنه المجموع من ﺭ يساوي صفرًا إلى ﻥ لـ ﻥ توافيق ﺭ في ﺃ أس ﻥ ناقص ﺭ في ﺏ أس ﺭ، حيث ﻥ توافيق ﺭ أو ﻥﻕﺭ، المكتوب كما هو موضح بناء على مكانك في العالم، يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. تذكر أن هذه الصيغة لا تنطبق بالطبع إلا على قيم ﻥ الصحيحة غير السالبة. والآن بعد أن عرفنا هذه الصيغة البالغة الأهمية، دعونا نلقي نظرة على كيفية تطبيقها في مثال بسيط للغاية.

استخدم نظرية ذات الحدين لإيجاد مفكوك واحد زائد ﺱ أس أربعة.

تذكر أن نظرية ذات الحدين تتيح لنا توزيع الأقواس التي على صورة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ، حيث ﻥ عدد صحيح غير سالب. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ﺃ أس ﻥ زائد ﻥ توافيق واحد ﺃ أس ﻥ ناقص واحد ﺏ زائد ﻥ توافيق اثنين ﺃ أس ﻥ ناقص اثنين ﺏ تربيع، وهكذا وصولًا إلى ﺏ أس ﻥ.

لذا سنستخدم هذه الصيغة لتوزيع واحد زائد ﺱ أس أربعة. وقبل أن نفعل ذلك، سنحدد قيم ﺃ وﺏ وﻥ في هذا المثال. وعند مقارنة التعبير واحد زائد ﺱ أس أربعة بالصورة العامة لذات الحدين، نجد أنه يمكننا أن نجعل ﺃ يساوي واحدًا، وﺏ يساوي ﺱ، وﻥ يساوي أربعة. ومع أن ذلك غير واضح من أول وهلة، سنلاحظ أنه عند إيجاد هذا المفكوك سيكون لدينا دائمًا عدد ﻥ زائد واحد من الحدود. إذن، هنا ﻥ يساوي أربعة. إذن، نتوقع كتابة خمسة حدود.

وقد يحذف هذان الحدان أو يبسطان في النهاية، لكن ينبغي في البداية أن نكتب خمسة حدود. الحد الأول في المفكوك هو ﺃ أس ﻥ. ومن ثم، نجد ذلك هو ببساطة واحدًا أس أربعة. ثم الحد التالي هو أربعة توافيق واحد في واحد أس أربعة ناقص واحد في ﺱ، أو واحد تكعيب في ﺱ. وبالطريقة نفسها، الحد الثالث هو أربعة توافيق اثنين في واحد تربيع في ﺱ تربيع. نلاحظ أننا نقلل قوة الواحد في كل مرة، ونزيد قوة ﺱ. إذن الحد التالي هو أربعة توافيق ثلاثة في واحد في ﺱ تكعيب. والحد الأخير هو ﺱ أس أربعة.

سنحسب المعاملات من خلال تذكر صيغة ﻥ توافيق ﺭ. وهي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. إذن أربعة توافيق واحد يساوي مضروب أربعة على مضروب واحد في مضروب أربعة ناقص واحد. وذلك هو مضروب أربعة على مضروب واحد في مضروب ثلاثة. والآن ما سنفعله هو تذكر أن مضروب أربعة يساوي أربعة في ثلاثة في اثنين في واحد. ومن ثم، يمكننا كتابته على صورة أربعة في مضروب ثلاثة. مضروب واحد يساوي واحدًا أيضًا، لذا يمكننا تبسيط هذا الكسر بقسمة البسط والمقام على مضروب ثلاثة. ويتبقى لدينا أربعة مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي أربعة.

بطريقة مماثلة، معامل الحد الثالث أربعة توافيق اثنين يساوي مضروب أربعة على مضروب اثنين في مضروب أربعة ناقص اثنين. سنعيد كتابة مضروب أربعة على أنه أربعة في ثلاثة في مضروب اثنين، لكن مضروب اثنين يساوي اثنين. وبذلك يمكننا تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على اثنين في اثنين، وهو ما يساوي أربعة. وبذلك يتبقى لدينا ثلاثة في اثنين على واحد. وهذا يساوي ستة. نجري عملية مماثلة مع أربعة توافيق ثلاثة. ونجد أن الحد الرابع في هذا المفكوك له معامل أربعة.

ربما ترغب الآن في إيقاف الفيديو مؤقتًا وإقناع نفسك بأن هذا صحيح بتطبيق صيغة ﻥ توافيق ﺭ. أخيرًا، نلاحظ أن واحدًا أس أربعة، وواحدًا تكعيب، وهكذا، كلها تساوي واحدًا. وهكذا يمكننا تبسيط كل حد من الحدود كما هو موضح. ومن ثم، فإن مفكوك واحد زائد ﺱ أس أربعة يساوي واحدًا زائد أربعة ﺱ زائد ستة ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ تكعيب زائد ﺱ أس أربعة.

والآن بعد أن رأينا تطبيقًا بسيطًا للغاية، سنرى كيف تنطبق الصيغة على ذوات الحدين التي تتضمن حدودًا سالبة وحدودًا جذرية.

أوجد مفكوك ﺱ ناقص الجذر التربيعي لاثنين الكل تكعيب.

لدينا تعبير ذو حدين هنا. بعبارة أخرى، لدينا مقدار ذو حدين نرفعه للقوة ثلاثة. وبما أن تلك القوة هي عدد صحيح غير سالب، نعرف أنه يمكننا تطبيق نظرية ذات الحدين. وتنص هذه النظرية على أن ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ، حيث ﻥ عدد صحيح غير سالب، يساوي ﺃ أس ﻥ زائد ﻥ توافيق واحد ﺃ أس ﻥ ناقص واحد ﺏ وهكذا. وهكذا نبدأ بمقارنة التعبير بصورة ذات الحدين العامة.

سنجعل ﺃ يساوي ﺱ. بعد ذلك، سنكون حذرين للغاية مع ﺏ. فمن الأخطاء الشائعة أن نعتقد أن إشارة هذا الحد غير مهمة. في الواقع، هي مهمة. وسنقول بما أن الصورة العامة هي ﺃ زائد ﺏ، فإن قيمة ﺏ يجب أن تساوي سالب جذر اثنين. ومن ثم ﻥ يساوي ثلاثة. الحد الأول في المفكوك هو ﺃ أس ﻥ. إذن هذا يجب أن يساوي ﺱ تكعيب. ثم الحد الثاني هو ﻥ توافيق واحد، أي ثلاثة توافيق واحد، في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد، أي ﺱ أس ثلاثة ناقص واحد، أي ﺱ تربيع، في سالب جذر اثنين في ﺏ، وهو ما يساوي سالب جذر اثنين.

والحد الثالث هو ثلاثة توافيق اثنين في ﺱ في سالب جذر اثنين تربيع. وبما أننا نعرف أن لدينا دائمًا عدد ﻥ زائد واحد من الحدود في السطر الأول من المفكوك، فإننا نعرف أن الحد التالي سيكون هو الحد الأخير. إنه الحد الرابع. وهذا الحد الأخير هو ﺏ أس ﻥ، إذن هو سالب جذر اثنين تكعيب. والآن، ثلاثة توافيق واحد يساوي مضروب ثلاثة على مضروب واحد في مضروب ثلاثة ناقص واحد. وهذا يعطينا ثلاثة. حسنًا، ثلاثة توافيق اثنين يساوي ثلاثة أيضًا، لذا سنعوض عن كل من المعاملات ثلاثة توافيق واحد وثلاثة توافيق اثنين بثلاثة.

بمجرد أن نفعل ذلك، كل ما علينا فعله هو حساب القوى المتزايدة لسالب جذر اثنين. والآن أصبح الأمر مباشرًا للغاية. أما الحد الثاني، فهو سالب جذر اثنين فحسب. لذا، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة سالب ثلاثة جذر اثنين ﺱ تربيع. بينما سالب جذر اثنين تربيع يساوي موجب اثنين. يصبح الحد الثالث ثلاثة في اثنين في ﺱ، وهو ما يساوي ستة ﺱ. ثم يمكن كتابة الحد الأخير على صورة سالب جذر اثنين في سالب جذر اثنين تربيع. هذا يساوي سالب جذر اثنين في اثنين أو سالب اثنين جذر اثنين. إذن مفكوك ﺱ ناقص جذر اثنين تكعيب يساوي ﺱ تكعيب ناقص ثلاثة جذر اثنين ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ ناقص اثنين جذر اثنين.

الأمر الجيد في هذه الصيغة أنها تنطبق على الحدود الكسرية أيضًا. دعونا نرى كيف سيبدو ذلك.

فك المقدار ﺱ على أربعة ناقص واحد على ﺱ أس خمسة.

هذا مقدار ذو حدين. وهو المجموع أو الفرق بين حدين جبريين. ونريد رفعه للقوة خمسة. ولأننا سنرفعه إلى عدد صحيح غير سالب، فهذا يعني أنه يمكننا استخدام نظرية ذات الحدين. وهي تنص على أن ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ، حيث ﻥ عدد صحيح غير سالب، يساوي ﺃ أس ﻥ زائد ﻥ توافيق واحد ﺃ أس ﻥ ناقص واحد ﺏ وهكذا. بالمقارنة بين المقدار ذي الحدين والصورة العامة، نجد أننا سنجعل ﺃ يساوي ﺱ على أربعة، وﺏ يساوي سالب واحد على ﺱ، وﻥ هو الأس، أي خمسة.

الحد الأول في المفكوك هو ﺃ أس ﻥ. إذن، لدينا هنا ﺱ على أربعة أس خمسة. والحد التالي هو خمسة توافيق واحد في ﺱ على أربعة أس أربعة في سالب واحد على ﺱ. تذكر أننا نأخذ ﺃ، ونطرح واحدًا من الأس في كل مرة. لكن قوة ﺏ تزداد بمقدار واحد في كل مرة. إذن الحد التالي هو خمسة توافيق اثنين في ﺱ على أربعة تكعيب في سالب واحد على ﺱ تربيع. كدنا ننتهي. نعرف أنه سيوجد لدينا عدد ﻥ زائد واحد من الحدود، أي ستة حدود في المفكوك. هيا نكتب الحدود الثلاثة المتبقية.

وهي: خمسة توافيق ثلاثة في ﺱ على أربعة تربيع في سالب واحد على ﺱ تكعيب زائد خمسة توافيق أربعة في ﺱ على أربعة في سالب واحد على ﺱ أس أربعة زائد سالب واحد على ﺱ أس خمسة. مهمتنا الآن هي تبسيط كل حد من هذه الحدود. بالنسبة إلى الحد الأول، هذا مباشر نوعًا ما. نعلم أنه يمكننا ببساطة توزيع القوة الخامسة على بسط ومقام الكسر. ومن ثم نحصل على ﺱ أس خمسة على أربعة أس خمسة. وهذا يساوي ﺱ أس خمسة على ١٠٢٤. خمسة توافيق واحد يساوي ببساطة خمسة. ونعرف أن هذا الحد سيكون سالبًا لأننا نضرب في سالب واحد على ﺱ. لذا ﺱ على أربعة أس أربعة يساوي ﺱ أس أربعة على ٢٥٦.

وسنرى بعد ذلك أنه يمكننا قسمة الطرفين على واحد أس ﺱ. لدينا إذن خمسة في ﺱ تكعيب على ٢٥٦ في واحد، ما يعني أن الحد الثاني هو سالب خمسة ﺱ تكعيب على ٢٥٦. معامل الحد الثالث هو خمسة توافيق اثنين. والآن، هذا يساوي ١٠. هذه المرة، سيكون لدينا حد موجب؛ لأن سالب واحد على ﺱ تربيع يساوي موجب واحد على ﺱ تربيع. وبالمثل، ﺱ على أربعة تكعيب يساوي ﺱ تكعيب على ٦٤. والآن قد نلاحظ أنه يمكننا قسمة البسط والمقام على ﺱ تربيع وعلى اثنين. ‏٦٤ مقسومًا على اثنين يساوي ٣٢. إذن، نحصل على خمسة في ﺱ على ٣٢ في واحد، وهو ما يساوي خمسة ﺱ على ٣٢.

هيا نتابع. خمسة توافيق ثلاثة يساوي مجددًا ١٠. معامل هذا الحد سيكون سالبًا لأن سالب واحد على ﺱ تكعيب يساوي سالب واحد على ﺱ تكعيب. ونحصل على سالب ١٠ في ﺱ تربيع على ١٦ في واحد على ﺱ تكعيب. ومرة أخرى، يمكننا قسمة الطرفين على ﺱ تربيع. يمكننا أيضًا قسمة الطرفين على اثنين لنحصل على خمسة وثمانية. إذن، نحصل على خمسة في ثمن في واحد على ﺱ، وهو ما يساوي خمسة على ثمانية ﺱ.

يوجد حدان آخران. خمسة توافيق أربعة يساوي خمسة. هذه المرة، سنرفع هذا الحد السالب إلى قوة زوجية. لذا، سنحصل على نتيجة موجبة. وهي خمسة في ﺱ على أربعة في واحد على ﺱ أس أربعة. وهذه المرة، يمكننا أيضًا قسمة الطرفين على ﺱ. إذن، نحصل على خمسة في ربع في واحد على ﺱ تكعيب. إذن، هذا الحد يساوي خمسة على أربعة ﺱ تكعيب. معامل الحد الأخير سيكون سالبًا لأننا نرفع القيمة السالبة لقوة فردية. فهو يساوي سالب واحد على ﺱ أس خمسة.

وبذلك نكون قد انتهينا من مفكوك ذات الحدين. ‏ﺱ على أربعة ناقص واحد على ﺱ أس خمسة يساوي ﺱ أس خمسة على ١٠٢٤ ناقص خمسة ﺱ تكعيب على ٢٥٦ زائد خمسة ﺱ على ٣٢ ناقص خمسة على ثمانية ﺱ زائد خمسة على أربعة ﺱ تكعيب ناقص واحد على ﺱ أس خمسة.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس. في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا فك ذوات الحدين المرفوعة لقوى صحيحة غير سالبة باستخدام الصيغة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ زائد ﻥ توافيق واحد ﺃ أس ﻥ ناقص واحد ﺏ زائد ﻥ توافيق اثنين ﺃ أس ﻥ ناقص اثنين ﺏ تربيع وصولًا إلى ﺏ أس ﻥ. ويمكن كتابة ذلك باستخدام رمز التجميع Σ حيث إن المجموع من ﺭ يساوي صفرًا إلى ﻥ لـ ﻥ توافيق ﺭ في ﺃ أس ﻥ ناقص ﺭ في ﺏ أس ﺭ، حيث ﻥ توافيق ﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في ﻥ ناقص ﺭ. رأينا أن السطر الأول من المفكوك سيحتوي دائمًا على عدد ﻥ زائد واحد من الحدود، ومع ذلك فتلك الحدود قد تحذف أو تبسط، وأن هذه العملية تصلح للجذور، والحدود السالبة، والحدود الكسرية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.