نسخة الفيديو النصية
في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نوجد عدد جميع النواتج الممكنة في فضاء العينة باستخدام مبدأ العد الأساسي الذي يسمى أحيانًا قاعدة حاصل الضرب للعد. دعونا نبدأ بتناول مثال.
لنفترض أن لدينا الحروف ﺃ وﺏ وﺝ. ما عدد الطرق المختلفة التي يمكننا بها ترتيب هذه الحروف؟
حسنًا، يمكننا استخدام ما يسمى بالسرد المنتظم، بمعنى أننا نكتب هذه الحروف جميعًا باستخدام نظام ما. لنبدأ بأول خيار واضح تمامًا. نبدأ بالترتيب ﺃ-ﺏ-ﺝ. بعد ذلك، نبقي الحرف ﺃ في مكانه، ثم نبدل الحرفين الآخرين ليصبح الترتيب ﺃ-ﺝ-ﺏ. هذا ترتيب مختلف، إذن هذه هي الطريقة الثانية لترتيب الحروف. لا توجد طرق أخرى لترتيب هذه الحروف بإبقاء ﺃ في البداية، لذا سنضع الحرف ﺏ في بداية الترتيب. سنحصل على الترتيب ﺏ-ﺃ-ﺝ. وإذا أبقينا الحرف ﺏ في مكانه ثم بدلنا الحرفين الآخرين، فسيصبح الترتيب ﺏ-ﺝ-ﺃ. يمكننا تكرار هذه العملية أيضًا مع إبقاء الحرف ﺝ في البداية. نلاحظ بعدئذ أنه لم تعد لدينا طرق أخرى لترتيب هذه الحروف. ولذلك، إذا عددنا طرق الترتيب هذه، فسنجد ست طرق بالتحديد لترتيب هذه الحروف.
يمكن أن تكون هذه طريقة جيدة. ولكن يوجد بعض المشكلات. أولًا، إذا كان لدينا الكثير من الخيارات، لنقل مثلًا إننا نريد ترتيب ستة أو سبعة أحرف، فقد تستغرق هذه العملية وقتًا طويلًا جدًا. ثانيًا، سيكون من السهل جدًا إغفال بعض الخيارات. لذا، دعونا نر ما إذا كان بإمكاننا إيجاد طريقة أخرى للقيام بذلك. لنلق نظرة على استخدام مخطط الشجرة البيانية لإيجاد إجمالي عدد النواتج الممكنة.
إذا فكرنا في المجموعة الأولى، فسنجد أن لدينا ثلاثة خيارات ممكنة مختلفة. يمكننا اختيار الحرف ﺃ أو ﺏ أو ﺝ. والآن لنتخيل أننا اخترنا الحرف الأول وحصلنا على ﺃ. إذن الحرف الثاني يمكن أن يكون ﺏ أو ﺝ فقط. ولكن إذا انتقلنا إلى المسار الثاني، فمن الممكن أن يكون الحرف الثاني هو ﺃ أو ﺝ. وإذا انتقلنا إلى المسار أو الفرع الثالث من الشجرة واخترنا الحرف ﺝ، فإن الحرف الثاني يمكن أن يكون ﺃ أو ﺏ. بعد ذلك، عندما ننتقل إلى الحرف الثالث، سنجد أننا إذا كنا قد اخترنا بالفعل الحرفين ﺃ وﺏ، يمكننا الآن اختيار الحرف ﺝ فقط. ويمكننا تكرار ذلك برسم فرع جديد من كل من الفروع الستة السابقة. إذن، لنعد إجمالي عدد النواتج ونر من أين أتى.
لدينا ثلاثة فروع أسفل الحرف الأول. ولدينا أسفل الحرف الثاني فرعان من كل فرع من هذه الفروع الثلاثة الأصلية. وبذلك، لدينا ثلاثة في اثنين من الفروع. وأخيرًا، أسفل الحرف الثالث، لدينا فرع واحد من كل فرع من الفروع السابقة. إذن، يصبح لدينا إجمالي ثلاثة في اثنين في واحد، وهو ما يساوي ستة نواتج. إذن، عدد طرق ترتيب الحروف هنا هو ثلاثة في اثنين في واحد، وهو ما يساوي ستة. ببساطة نضرب عدد طرق اختيار الحرف الأول في عدد طرق اختيار الحرف الثاني في عدد طرق اختيار الحرف الثالث. وفي الواقع، يمكننا تعميم ذلك.
ينص مبدأ العد الأساسي، الذي يسمى أحيانًا قاعدة حاصل الضرب للعد، على أنه إذا كان ﺃ وﺏ حدثين مستقلين؛ بمعنى أن الحدث ﺃ له العدد ﻡ من النواتج، والحدث ﺏ له العدد ﻥ من النواتج، فإن إجمالي عدد النواتج المختلفة للحدثين معًا يساوي حاصل ضرب هذين العددين، أي ﻡ في ﻥ. لنتناول إذن مثالًا على تطبيق هذا المبدأ.
كم عددًا مكونًا من ثلاثة أرقام مختلفة يمكن تكوينه من مجموعة الأرقام واحد واثنين وأربعة وتسعة؟
تذكر أن مبدأ العد الأساسي، الذي يسمى أحيانًا قاعدة حاصل الضرب للعد، ينص على أنه إذا كان ﺃ حدثًا له العدد ﻡ من النواتج، وﺏ هو حدث آخر له العدد ﻥ من النواتج، فإن إجمالي عدد نواتج الحدثين ﺃ وﺏ معًا يساوي حاصل ضرب هذين العددين. أي إنه ﻡ في ﻥ. في الواقع، لدينا هنا ثلاثة أحداث ممكنة. الحدث الأول لدينا هو اختيار الرقم الأول، والحدث الثاني هو اختيار الرقم الثاني، والحدث الثالث هو اختيار الرقم الثالث. وبما أن مبدأ العد ينطبق هنا، إذن علينا إيجاد عدد النواتج التي نحصل عليها من اختيار كل رقم، ثم نضرب تلك الأعداد معًا.
توجد أربعة أرقام ممكنة يمكننا الاختيار من بينها. وهي: واحد، واثنان، وأربعة، وتسعة. إذن، يتضح لنا أنه توجد أربع طرق مختلفة لاختيار الرقم الأول. نحن نعلم أن هذه الأعداد مكونة من ثلاثة أرقام مختلفة. لذا دعونا نفكر في كيفية اختيار الرقم الثاني. لنفترض مثلًا أن الرقم الأول الذي اخترناه هو الرقم واحد. ومن ثم، لم يعد بإمكاننا استخدام هذا الرقم. وبذلك، تتبقى لدينا ثلاثة أرقام مختلفة يمكننا الاختيار من بينها. إذن عدد طرق اختيار الرقم الثاني هو ثلاثة. وبالطريقة نفسها، ننتقل إلى الرقم الثالث. لقد اخترنا بالفعل رقمين من المجموعة المكونة من أربعة أرقام. هذا يعني أنه لا يتبقى لنا سوى رقمين للاختيار من بينهما.
إذن، توجد أربع طرق لاختيار الرقم الأول، وثلاث طرق لاختيار الرقم الثاني، وطريقتان لاختيار الرقم الثالث. ينص مبدأ العد أو قاعدة حاصل الضرب للعد على أنه يمكننا إيجاد إجمالي عدد النواتج بضرب هذه الأعداد معًا. أي نضرب أربعة في ثلاثة في اثنين، وهو ما يساوي ٢٤. إذن، يوجد ٢٤ عددًا مكونًا من ثلاثة أرقام مختلفة يمكن تكوينه من مجموعة الأرقام: واحد، واثنين، وأربعة، وتسعة.
فيما يلي قائمة الطعام في أحد المطاعم. ما عدد طرق اختيار وجبة مكونة من صنفين؟
لاختيار وجبة مكونة من صنفين، سنختار صنفًا واحدًا من المقبلات وصنفًا رئيسيًا واحدًا. إذن، إحدى الطرق التي علينا استخدامها لإيجاد إجمالي عدد الوجبات هي كتابة جميع الخيارات الممكنة. ولكن قد تستغرق هذه الطريقة وقتًا طويلًا جدًا. لذا، بدلًا من ذلك، سنتذكر مبدأ العد أو قاعدة حاصل الضرب للعد. وينص على أنه إذا كان ﺃ حدثًا له العدد ﻡ من النواتج، وﺏ هو حدث آخر له العدد ﻥ من النواتج، فإن إجمالي عدد نواتج الحدثين معًا يساوي ﻡ في ﻥ. ولهذا يسمى هذا المبدأ بقاعدة حاصل الضرب للعد. حيث نوجد حاصل ضرب أعداد النواتج.
نلاحظ أنه توجد أربع طرق ممكنة لاختيار صنف مقبلات، وثلاث طرق ممكنة لاختيار صنف رئيسي. هذا يعني إذن أن إجمالي عدد الطرق الممكنة لاختيار وجبة مكونة من صنفين يساوي حاصل ضرب عددي النواتج. أي إنه يساوي أربعة في ثلاثة، وهو ما يساوي ١٢. إذن، توجد ١٢ طريقة ممكنة لاختيار وجبة مكونة من صنفين.
لنلق نظرة على مثال آخر.
شركة بناء لديها ثلاثة مواقع عمل حاليًا. يوجد ٢٠ طريقة مختلفة للقيادة من الموقع ﺃ إلى الموقع ﺏ. يوجد ١٦ طريقة للقيادة من الموقع ﺏ إلى الموقع ﺝ. كم طريقة يمكن من خلالها القيادة من الموقع ﺃ إلى الموقع ﺝ وزيارة الموقع ﺏ في الطريق؟
لنتخيل أن لدينا مواقع البناء الثلاثة هذه. علمنا أنه يوجد ٢٠ طريقة للقيادة من الموقع ﺃ إلى الموقع ﺏ، و١٦ طريقة للقيادة من الموقع ﺏ إلى الموقع ﺝ. علينا إيجاد إجمالي عدد الطرق التي يمكن من خلالها القيادة من الموقع ﺃ إلى الموقع ﺏ ثم إلى الموقع ﺝ. ولفعل ذلك، علينا تذكر ما يسمى بمبدأ العد الأساسي. وينص على أنه إذا كان ﺃ حدثًا له العدد ﻡ من النواتج، وﺏ هو حدث آخر له العدد ﻥ من النواتج، فإن إجمالي عدد نواتج الحدثين ﺃ وﺏ معًا يساوي ﻡ في ﻥ.
الحدث الأول هو القيادة من الموقع ﺃ إلى الموقع ﺏ. يوجد ٢٠ طريقة مختلفة لفعل ذلك. إذن، يوجد ٢٠ ناتجًا. الحدث الثاني هو القيادة من الموقع ﺏ إلى الموقع ﺝ، ونعلم أنه يوجد ١٦ ناتجًا. ومن ثم، فإن إجمالي عدد الطرق التي يمكن من خلالها القيادة من الموقع ﺃ إلى الموقع ﺏ ثم إلى الموقع ﺝ يساوي ٢٠ في ١٦، وهو ما يساوي ٣٢٠. إذن، توجد ٣٢٠ طريقة مختلفة للقيام بهذه الرحلة.
بكم طريقة يمكننا اختيار فريق مكون من رجل واحد وامرأة واحدة من بين مجموعة بها ٢٣ رجلًا و١٤ امرأة؟
يحتوي هذا السيناريو بالفعل على حدثين. الحدث الأول هو اختيار رجل واحد من إجمالي ٢٣ رجلًا، والحدث الثاني هو اختيار امرأة واحدة من إجمالي ١٤ امرأة. لذا، علينا أن نتذكر مبدأ العد الأساسي. وينص على أنه إذا كان ﺃ وﺏ حدثين مستقلين، بمعنى أن الحدث ﺃ له العدد ﻡ من النواتج والحدث ﺏ له العدد ﻥ من النواتج، فإننا نحصل على إجمالي عدد نواتج الحدثين معًا بضرب ﻡ في ﻥ. إذن، إجمالي عدد الطرق التي يمكننا من خلالها اختيار فريق مكون من رجل واحد وامرأة واحدة يجب أن يساوي ٢٣ في ١٤. ويمكننا استخدام أي طريقة نريدها لإجراء هذه العملية الحسابية. هيا نستخدم طريقة الضرب العمودي.
ثلاثة في أربعة يساوي ١٢. إذن، نضع اثنين في هذا العمود ونحتفظ بالواحد. اثنان في أربعة يساوي ثمانية، ثم نضيف واحدًا لنحصل على تسعة. بعد ذلك، نضرب ثلاثة في واحد. ولكن بما أن الواحد موجود في عمود العشرات، فهذا يشبه ضرب ثلاثة في ١٠، ولهذا نضع صفرًا. ثلاثة في واحد يساوي ثلاثة، واثنان في واحد يساوي اثنين. بعد ذلك، نجمع هاتين القيمتين. اثنان زائد صفر يساوي اثنين، وتسعة زائد ثلاثة يساوي ١٢، لذا نحتفظ بالواحد، واثنان زائد واحد يساوي ثلاثة. إذن، نجد أنه توجد ٣٢٢ طريقة لاختيار فريق مكون من رجل واحد وامرأة واحدة من مجموعة من ٢٣ رجلًا و١٤ امرأة.
نتناول الآن مثالًا واحدًا أخيرًا.
أدير قرصان دواران. القرص الدوار الأول مرقم من واحد إلى خمسة، والثاني مرقم من واحد إلى سبعة. أوجد إجمالي عدد النواتج الممكنة.
للإجابة عن هذا السؤال، سنتذكر مبدأ العد الأساسي. وينص على أنه إذا كان ﺃ وﺏ حدثين مستقلين، أي إن ناتج أحدهما لا يؤثر على ناتج الآخر، وإذا كان الحدث ﺃ له العدد ﻡ من النواتج الممكنة والحدث ﺏ له العدد ﻥ من النواتج الممكنة، فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة للحدثين يساوي ﻡ في ﻥ، أي إنه يساوي حاصل ضرب هذين العددين معًا.
الحدثان لدينا هما تدوير القرص الدوار الأول، وتدوير القرص الدوار الثاني. إذن، علينا التفكير في إجمالي عدد النواتج لكل حدث. بما أن القرص الدوار الأول مرقم من واحد إلى خمسة، إذن توجد خمسة أرقام مختلفة يمكننا الحصول عليها عندما ندير القرص الدوار الأول. أما القرص الدوار الثاني فمرقم من واحد إلى سبعة. إذن، توجد سبعة نواتج مختلفة؛ حيث توجد سبعة أرقام مختلفة يمكننا الحصول عليها. ينص مبدأ العد أو قاعدة حاصل الضرب للعد على أن إجمالي عدد النواتج الممكنة يساوي حاصل ضرب هذين العددين. أي إنه يساوي خمسة في سبعة، وهو ما يساوي ٣٥. وهذا يعني أنه عند تدوير هذين القرصين الدوارين، يمكننا الحصول على إجمالي ٣٥ ناتجًا ممكنًا.
سنتناول الآن النقاط الأساسية في هذا الدرس. في هذا الفيديو، تعلمنا أن مبدأ العد الأساسي، الذي يسمى أحيانًا قاعدة حاصل الضرب للعد، يمكن أن يساعدنا في توفير الوقت عند محاولة إيجاد إجمالي عدد النواتج لأكثر من حدث واحد. وهو ينص على أنه إذا كان ﺃ وﺏ حدثين مستقلين، أي إن ناتج أحدهما لا يؤثر على ناتج الآخر؛ حيث الحدث ﺃ له العدد ﻡ من النواتج والحدث ﺏ له العدد ﻥ من النواتج، فإن إجمالي عدد نواتج الحدثين معًا يساوي حاصل ضرب هذين العددين. أي إنه يساوي ﻡ في ﻥ.
