فيديو السؤال: إيجاد زوج المعادلات البارامترية لخط مستقيم بمعلومية معادلته المتجهة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

المعادلة المتجهة لخط مستقيم موضحة كما يأتي: ﺭ يساوي سالب واحد، ثلاثة زائد ﻙ في خمسة، اثنين. أي الأزواج الآتية من المعادلات البارامترية يمثل هذا الخط المستقيم؟ الخيار أ: ﺱ يساوي اثنين زائد خمسة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة ناقص ﻙ. الخيار ب: ﺱ يساوي اثنين زائد ثلاثة ﻙ، وﺹ يساوي خمسة ناقص ﻙ. الخيار ج: ﺱ يساوي خمسة ناقص ﻙ، وﺹ يساوي اثنين زائد ثلاثة ﻙ. الخيار د: ﺱ يساوي ثلاثة زائد اثنين ﻙ، وﺹ يساوي سالب واحد زائد خمسة ﻙ. الخيار هـ: ﺱ يساوي سالب واحد زائد خمسة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة زائد اثنين ﻙ.

في هذا السؤال، لدينا معادلة متجهة لخط مستقيم، ومطلوب منا استخدامها لتحديد أي من الأزواج الخمسة من المعادلات البارامترية المعطاة يمثل الخط المستقيم أيضًا. للقيام بذلك، دعونا نبدأ بتذكر المقصود بالمعادلة المتجهة للخط المستقيم. إنها معادلة على الصورة ﺭ يساوي ﻕ زائد ﻙ في ﻱ. وهذا حيث ﻕ هو متجه الموضع لأي نقطة تقع على الخط المستقيم، وﻱ هو متجه غير صفري مواز للخط المستقيم، ويسمى متجه الاتجاه.

بالنسبة إلى المعادلة المتجهة للخط المستقيم المعطاة لنا، نلاحظ أن ﻕ هو المتجه سالب واحد، ثلاثة، وﻱ هو المتجه خمسة، اثنان. وهكذا، تتضح لنا بعض المعلومات عن الخط المستقيم. يمكننا ملاحظة أن الخط المستقيم يجب أن يمر بالنقطة سالب واحد، ثلاثة، ويجب أن يكون الخط المستقيم موازيًا للمتجه خمسة، اثنين.

هناك العديد من الطرق التي يمكننا اتباعها للإجابة عن هذا السؤال. إحدى الطرق هي استخدام هذه المعادلة المتجهة للخط المستقيم لتكوين زوج من المعادلات البارامترية للخط المستقيم. يمكننا فعل ذلك بتبسيط تعبير المتجه في الطرف الأيسر من المعادلة. نوجد حاصل ضرب المتجه في كمية قياسية بضرب كل مركبة في الكمية القياسية ﻙ. نحصل على سالب واحد، ثلاثة زائد خمسة ﻙ، اثنين ﻙ. والآن، نجمع المتجهين معًا بجمع مركباتهما المتناظرة. نحصل على المتجه سالب واحد زائد خمسة ﻙ، ثلاثة زائد اثنين ﻙ.

لأي قيمة حقيقية للبارامتر ﻙ، يعطينا ذلك متجه الموضع لنقطة تقع على الخط المستقيم. يمكننا أن نسمي هذا المتجه: ﺱ، ﺹ. لكي يكون هذان المتجهان متساويين، يجب أن تكون جميع مركباتهما المتناظرة متساوية. وبمساواة المركبات المتناظرة، نحصل على ﺱ يساوي سالب واحد زائد خمسة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة زائد اثنين ﻙ، وهذا هو زوج المعادلات البارامترية الذي يمثل الخط المستقيم. نلاحظ أن هذا يتوافق مع الخيار هـ.

جدير بالذكر أننا أوضحنا أن هذا هو أحد الأزواج المحتملة من المعادلات البارامترية للخط المستقيم. في الواقع، يوجد عدد لا نهائي من الاختيارات لأزواج المعادلات البارامترية للخط المستقيم، تمامًا مثلما يوجد عدد لا نهائي من المعادلات المتجهة. بشكل عام، يكون زوج المعادلات البارامترية على الصورة: ﺱ يساوي ﺱ واحد زائد ﺃﻙ، وﺹ يساوي ﺹ واحد زائد ﺏﻙ؛ حيث ﺱ واحد، ﺹ واحد أي نقطة تقع على الخط المستقيم، والمتجه ﺃ، ﺏ هو أي متجه اتجاه للخط المستقيم.

يمكننا استخدام ذلك لإيجاد المزيد من أزواج المعادلات البارامترية للخط المستقيم أو لتوضيح أن زوجًا من المعادلات البارامترية لا يمثل الخط المستقيم. على سبيل المثال، يمكننا التحقق من متجهات الاتجاه في الخيارات الأربعة الأخرى. نلاحظ أن أيًّا منها لا يوازي المتجه خمسة، اثنين. هذا يعني أن أيًّا من هذه الخيارات لا يمثل الخط المستقيم نفسه الذي تمثله المعادلة المتجهة. إذن، الإجابة هي الخيار هـ. أحد أزواج المعادلات البارامترية للخط المستقيم هو ﺱ يساوي سالب واحد زائد خمسة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة زائد اثنين ﻙ.