فيديو الدرس: عزم قوة حول نقطة في بعدين: متجهات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد العزم لنظام من القوى المستوية يؤثر على جسم حول نقطة ما على صورة متجه.

نعرف أنه يمكن أن يكون لأي قوة أو نظام من القوى تأثير دوراني على جسم ما. ونسمي ذلك عزم القوة أو عزم نظام القوى حول نقطة. في الحركة المستوية، عزم قوة ما ﻕ حول نقطة يكون كمية قياسية مقدارها يساوي حاصل ضرب معيار القوة والبعد العمودي ﻝ بين النقطة وخط عمل هذه القوة. بعد ذلك، نحدد إشارة العزم بتحديد إذا ما كان التأثير الدوراني في اتجاه دوران عقارب الساعة أو في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة.

من المتعارف عليه أننا نعرف العزم الذي تأثيره في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بأنه موجب، وهو ما يعني تعريف العزم الذي له تأثير دوراني في اتجاه دوران عقارب الساعة بأنه سالب. وعلى الرغم من أن هذا التعريف مناسب للحركة المستوية، فإننا نريد توسيع نطاق تعريف العزم ليشمل الحركة في ثلاثة أبعاد من العزم القياسي المعرف للحركة المستوية. وحفاظًا على مفهوم اتجاه الدوران، نعرف العزم بأنه متجه على النحو الموضح.

عزم متجه القوة ﻕ حول النقطة ﻭ يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺭ والمتجه ﻕ؛ حيث المتجه ﺭ هو متجه موضع النقطة التي تؤثر فيها هذه القوة. وبالطبع في هذا التعريف، اختير النظام الإحداثي بحيث تطابق نقطة الأصل النقطة التي نأخذ عندها العزم. وبالطبع قد لا تكون هذه هي الحال بالضرورة. لنفترض بدلًا من ذلك أننا نريد إيجاد قيمة عزم القوة ﻕ حول النقطة ﻡ التي ليست نقطة الأصل. إذا عرفنا ﺃ بأنها النقطة التي تؤثر فيها القوة، فسنعوض عن المتجه ﺭ بالمتجه ﻡﺃ.

ومن ثم، فإن عزم القوة حول ﻡ هو حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﻡﺃ والمتجه ﻕ. بعد أن انتبهنا إلى كل هذا، دعونا نوضح كيف نستخدم هذه الصيغة لحساب متجه عزم قوة حول نقطة ما.

إذا كانت القوة المتجهة ﻕ تساوي سالب خمسة ﺱ زائد ﻡﺹ تؤثر في النقطة ﺃ سبعة، ثلاثة، فعين عزم القوة ﻕ حول النقطة ﺏ سبعة، سالب اثنين.

لحساب عزم قوة مستوية حول نقطة ما، دعونا نتذكر صيغتين يمكننا استخدامهما. إذا فكرنا في عزم قوة ما ﻕ مأخوذ حول نقطة الأصل، فسنحسب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺭ والمتجه ﻕ؛ حيث ﺭ هو متجه موضع النقطة التي تؤثر فيها القوة. ولكن في هذه الحالة، نريد إيجاد عزم القوة المؤثرة في النقطة ﺃ حول النقطة ﺏ.

ومن ثم، علينا تعديل وجهتنا على المستوى الإحداثي. ولفعل ذلك، نعوض عن المتجه ﺭ بالمتجه ﺏﺃ. هذا الآن هو متجه عزم القوة ﻕ التي تؤثر في النقطة ﺃ حول النقطة ﺏ، وهو يساوي حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺏﺃ والمتجه ﻕ.

لنبدأ إذن بإيجاد المتجه ﺏﺃ. نحصل على المتجه ﺏﺃ بطرح المتجه ﻭﺏ من المتجه ﻭﺃ. ونحن نعلم أن إحداثيات النقطة ﺃ هي سبعة، ثلاثة. إذن في الفضاء الثلاثي الأبعاد، لدينا المتجه سبعة، ثلاثة، صفر. وبالمثل المتجه ﻭﺏ هو سبعة، سالب اثنين، صفر. بعد ذلك، نطرح المركبات فرادى. وبذلك نجد أن المتجه ﺏﺃ هو المتجه صفر، خمسة، صفر. بالنظر إلى متجه القوة ﻕ هذه، نجد أنه يمكننا بدلًا من ذلك كتابته على صورة المتجه سالب خمسة، ﻡ، صفر.

من خلال تمثيل كل متجه بهذه الطريقة، يمكننا إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺏﺃ والمتجه ﻕ. تذكر أنه يمكن تمثيل الضرب الاتجاهي على صورة محدد. إذا فكرنا في المتجه ﺃ الذي عناصره ﺃ واحد، ﺃ اثنان، ﺃ ثلاثة؛ والمتجه ﺏ الذي عناصره ﺏ واحد، ﺏ اثنان، ﺏ ثلاثة؛ فإن حاصل الضرب الاتجاهي هو محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة التي عناصرها ﺱ، ﺹ، ﻉ، ﺃ واحد، ﺃ اثنان، ﺃ ثلاثة، ﺏ واحد، ﺏ اثنان، ﺏ ثلاثة.

إذن في هذه الحالة، حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺏﺃ وﻕ هو محدد المصفوفة ﺱ، ﺹ، ﻉ، صفر، خمسة، صفر، سالب خمسة، ﻡ، صفر. بعد ذلك، لإيجاد محدد هذه المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، نضرب ﺱ في محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي تتبقى لدينا إذا استبعدنا الصف الأول والعمود الأول. ثم نضرب ﺹ في محدد المصفوفة التي عناصرها صفر، صفر، سالب خمسة، صفر. ثم نضيف ﻉ مضروبًا في محدد المصفوفة الأخيرة من الرتبة اثنين في اثنين. إذن محدد المصفوفة هو ﺱ في خمسة في صفر ناقص صفر في ﻡ ناقص ﺹ في صفر في صفر ناقص صفر في سالب خمسة زائد ﻉ في صفر في ﻡ ناقص خمسة في سالب خمسة. ويبسط هذا لنحصل على ٢٥ﻉ.

وبالطبع يحذف المجهول ﻡ عندما نكمل حساب حاصل الضرب الاتجاهي. وبذلك نكون قد حسبنا عزم القوة ﻕ حول النقطة ﺏ. إنه ببساطة ٢٥ﻉ.

في هذا المثال، حسبنا متجه العزم لقوة مستوية حول نقطة. ومن المثير للاهتمام أن المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي يتضمن فقط المركبة ﻉ؛ بينما تنعدم المركبتان ﺱ وﺹ. ولا يفاجئنا ذلك إذا فكرنا في الخاصية الهندسية لحاصل الضرب الاتجاهي. وهي التي تنص على أن المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي لمتجهين يكون عموديًّا على هذين المتجهين. إذن بما أن العزم يعرف على أنه حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين، فلا بد أن يكون عموديًّا على المتجهين. وفي هذه الحالة، بما أن المتجه ﺏﺃ والمتجه ﻕ كليهما يقعان في المستوى ﺱﺹ، فلا بد أن يكون ﻡ عموديًّا على هذا المستوى. بعبارة أخرى: فإنه يوازي متجه الوحدة ﻉ في النظام الثلاثي الأبعاد.

وبما أن هذه الحالة تتحقق دائمًا، فيمكننا تبسيط حساب حاصل الضرب الاتجاهي باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي في بعدين. لنفترض أن لدينا متجهين في بعدين ﺃ، ﺏ وﺟ، ﺩ. حاصل الضرب الاتجاهي في بعدين يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ في متجه الوحدة ﻉ. وبما أن حساب حاصل الضرب الاتجاهي في بعدين يكون أسرع، فإننا سنستخدم في بقية هذا الدرس هذه الصيغة لحساب حاصل الضرب الاتجاهي بين متجهين.

في المثال السابق، حسبنا متجه عزم القوة. لكن ماذا عن المعيار؟ حسنًا، بما أن العزم يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺭ والمتجه ﻕ، فإن معياره يساوي معيار حاصل هذا الضرب الاتجاهي. ومع ذلك، يمكن تمثيل ذلك بطريقة أخرى بضرب معيار متجه القوة في ﻝ؛ أي البعد العمودي بين النقطة وخط عمل هذه القوة. وهذا مفيد جدًّا؛ لأنه يمكننا إعادة الترتيب للحصول على صيغة تمكننا من حساب هذا البعد العمودي. عندئذ يساوي معيار العزم مقسومًا على معيار القوة.

في المثال الآتي، سنستخدم هذه الصيغة لإيجاد البعد العمودي بين نقطة وخط عمل قوة ما.

إذا كانت القوة ﻕ تساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ تؤثر في النقطة ﺃ ثلاثة، ستة، فأوجد العزم ﺟ حول نقطة الأصل ﻭ للقوة ﻕ. أيضًا احسب البعد العمودي ﻝ بين ﻭ وخط عمل القوة.

تذكر أنه يمكننا حساب العزم حول النقطة ﻭ لقوة ما ﻕ عن طريق إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﻭﺃ، والمتجه ﻕ؛ حيث ﺃ هو النقطة التي تؤثر فيها القوة. ويمكننا تبسيط ذلك باستخدام تعريف الضرب الاتجاهي في بعدين.

بما أن النقطة ﺃ إحداثياتها ثلاثة، ستة، فإن المتجه ﻭﺃ هو المتجه ثلاثة، ستة. إذن القوة ﻕ تساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ. وبالصورة الإحداثية، تساوي المتجه أربعة، سالب ثلاثة. يعرف الضرب الاتجاهي لمتجهين في بعدين كما هو موضح. ‏ﺃ، ﺏ ضرب اتجاهي ﺟ، ﺩ يعطينا ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ في متجه الوحدة ﻉ. في هذه الحالة، سنضرب ثلاثة في سالب ثلاثة، ثم نطرح ستة في أربعة. وسنضرب ذلك في المتجه ﻉ. ويمكن تبسيط ذلك إلى سالب ٣٣ﻉ. وعليه فإن العزم ﺟ حول نقطة الأصل لهذه القوة يساوي سالب ٣٣ﻉ.

بعد ذلك، علينا إيجاد البعد العمودي ﻝ بين نقطة الأصل وخط عمل القوة. والصيغة التي يمكننا استخدامها لحساب ذلك هي قسمة معيار العزم على معيار القوة. حسنًا، بما أن العزم يساوي سالب ٣٣ﻉ، فإن معياره يساوي ٣٣. ولكن معيار القوة ﻕ يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي مركبتيها. أي إنه يساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد سالب ثلاثة تربيع، وهو ما يساوي خمسة.

هذا يعني أن البعد العمودي ﻝ هو خارج قسمة هذين المقدارين. ‏٣٣ على خمسة، يساوي ٦٫٦. إذن العزم ﺟ يساوي سالب ٣٣ﻉ، والبعد ﻝ يساوي ٦٫٦ وحدات طول.

في المثالين الأخيرين، لاحظنا أن عزم القوة حول نقطة ينتج عنه متجه مواز لمتجه الوحدة ﻉ. بعبارة أخرى: تكون هناك الكمية القياسية ﺟ؛ حيث المتجه ﺟ يساوي ﺟ في ﻉ. كما لاحظنا أن معيار العزم يساوي معيار العزم القياسي. إذا عرفنا ذلك بأنه يساوي ﻡ، فهذا يعني إما أن ﺟ يساوي ﻡ، وإما أنه يساوي سالب ﻡ.

لتحديد أيهما صحيح، علينا التحقق إذا ما كانت إشارة ﺟ تطابق إشارة العزم القياسي أم لا. على وجه التحديد: إذا كان ﺟ موجبًا، فإن متجه العزم يكون إلى خارج المستوى؛ أي يشير لأعلى. وهو ما يناظر الدوران في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. وإذا كان ﺟ سالبًا، فإن متجه العزم يكون إلى داخل المستوى؛ أي يشير للأسفل، ويكون الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة.

دعونا نكتب صيغة لذلك. لنفترض أن ﻡ والمتجه ﺟ، هما العزم القياسي ومتجه عزم قوة، أو نظام من القوى، على الترتيب، في مستوى حول نقطة. إذن المتجه ﺟ يساوي الكمية القياسية ﻡ في متجه الوحدة ﻉ. تتيح لنا هذه الخاصية أن نثبت سبب أن متجه العزم امتداد منطقي للعزم القياسي للقوة المستوية. علاوة على ذلك، يمكن تعميمه لتمثيل عزم أي قوة في ثلاثة أبعاد حول نقطة ما؛ لأننا نحصل عليه باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي.

والآن هناك خاصية أخرى تربط بين عزم أي قوة والنقطة التي تؤثر فيها القوة. وسيكون توضيح مصدرها خارج نطاق هذا الفيديو. لكن يجب أن ندرك أن متجه العزم ﺟ لقوة ما حول نقطة ما لا يعتمد على النقطة التي تؤثر فيها القوة، ما دامت النقطة تقع على خط العمل نفسه للقوة. دعونا نوضح كيفية تطبيق ذلك.

الطرف ﺃ في القطعة المستقيمة ﺃﺏ عند سالب ستة، سبعة، وﺃﺏ نقطة منتصفها هي ﺩ سالب سبعة، واحد. إذا كان خط عمل القوة ﻕ يساوي سالب اثنين ﺱ ناقص ستة ﺹ ينصف ﺃﺏ، فأوجد عزم القوة ﻕ حول النقطة ﺏ.

تذكر أنه يمكننا حساب عزم القوة ﻕ المأخوذ حول النقطة ﻭ عن طريق إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺭ والمتجه ﻕ؛ حيث ﺭ هو متجه موضع النقطة ﺃ التي تؤثر فيها هذه القوة. لكن في هذه الحالة، ليست لدينا النقطة التي تؤثر فيها القوة. ولكننا نعلم أن خط عمل القوة ﻕ ينصف ﺃﺏ. إذن هذا يعني أن خط عمل القوة يمر بنقطة المنتصف ﺩ سالب سبعة، واحد. والآن نحن نعلم أنه ما دامت تلك النقطة تقع على خط عمل القوة نفسه، فإن متجه العزم ﺟ لا يعتمد على نقطة البداية. ومن ثم، يمكننا حساب العزم بالنظر إلى نقطة البداية عند ﺩ سالب سبعة، واحد.

بما أننا لا نتعامل مع نقطة الأصل، فسنعوض عن المتجه ﺭ بالمتجه ﺏﺩ. نحن نريد إيجاد عزم ﻕ حول النقطة ﺏ، بافتراض أن القوة تؤثر عند النقطة ﺩ. لذا دعونا نبدأ بإيجاد المتجه ﺏﺩ. نحن نعلم أن نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ هي النقطة ﺩ. إذن إذا رسمنا النقطة ﺃ والنقطة ﺩ على مستوى إحداثي، فإن هذا يسمح لنا بإثبات أن معيار، أي طول، المتجه ﺃﺩ، يجب أن يساوي طول المتجه ﺏﺩ. وبالطبع يؤثر هذان المتجهان في اتجاهين متضادين؛ لذا يمكننا القول إن سالب المتجه ﺃﺩ يساوي المتجه ﺏﺩ.

بعد ذلك، يمكننا إيجاد المتجه ﺃﺩ بطرح المتجه ﻭﺃ من المتجه ﻭﺩ. إذن هذا هو المتجه سالب سبعة، واحد ناقص المتجه سالب ستة، سبعة. بطرح المركبات فرادى، نحصل على سالب واحد، سالب ستة. إذن المتجه ﺏﺩ هو سالب هذا المتجه. لذا نضرب في سالب واحد، ونجد أن المتجه ﺏﺩ يساوي واحدًا، ستة.

والآن أصبح لدينا ما يكفي من المعلومات لحساب عزم القوة. بما أن القوة ﻕ تساوي سالب اثنين ﺱ ناقص ستة ﺹ، فإن العزم يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه واحد، ستة والمتجه سالب اثنين، سالب ستة. وباستخدام تعريف حاصل الضرب الاتجاهي في بعدين، نضرب واحدًا في سالب ستة ثم نطرح ستة في سالب اثنين. وهذا كله مضروب في متجه الوحدة ﻉ. حسنًا، واحد في سالب ستة ناقص ستة في سالب اثنين يساوي موجب ستة. وهكذا وجدنا أن عزم القوة ﻕ حول النقطة ﺏ يساوي ستة ﻉ.

الآن لقد أوضحنا كيف نوجد متجه ومعيار عزم قوة ﻕ حول نقطة ما. كما أننا أوضحنا كيف نستخدم تعريف الضرب الاتجاهي في بعدين لتبسيط هذه العملية، وكيف يمكننا استخدام صيغة معيار متجه العزم لإيجاد البعد العمودي ﻝ بين العزم وخط عمل القوة.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا في هذه المرحلة التعامل مع نظام قوى بالنظر إلى مجموعها. وبالتحديد فإن عزم نظام القوى يساوي مجموع العزوم المفردة لكل قوة في هذا النظام حول النقطة نفسها.

هيا نلخص الآن النقاط الرئيسية الواردة في هذا الدرس. متجه عزم القوة ﻕ التي تؤثر في النقطة ﺃ حول نقطة الأصل يساوي حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺭ وﻕ؛ حيث ﺭ هو المتجه من النقطة ﻭ إلى النقطة ﺃ، وهي النقطة التي تؤثر فيها القوة. معيار متجه العزم يساوي معيار القوة مضروبًا في ﻝ؛ أي البعد العمودي بين النقطة وخط عمل هذه القوة.

لقد رأينا أن متجه العزم ﺟ لقوة ما حول نقطة ما لا يعتمد على نقطة البداية ما دامت النقطة تقع على خط العمل نفسه. ورأينا أيضًا أنه إذا كان ﻡ والمتجه ﺟ، هما العزم القياسي ومتجه عزم القوة، على الترتيب، حول نقطة ما، فإن المتجه ﺟ يساوي الكمية القياسية ﻡ في متجه الوحدة ﻉ. وتعلمنا أنه يمكننا تبسيط العمليات الحسابية باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي في بعدين، وأن عزم نظام من القوى يساوي مجموع العزوم المفردة لكل قوة في هذا النظام حول النقطة نفسها.