فيديو: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة كثيرة الحدود

أوجد نقاط القيمة العظمى/الصغرى المحلية للدالة د(ﺱ) = ٣ﺱ^٤ − ٢ﺱ^٣.

٠٤:٢٧

‏نسخة الفيديو النصية

اوجد نقاط القيمة العظمى والصغرى المحلية للدالة د س تساوي تلاتة س أُس أربعة ناقص اتنين س تكعيب.

علشان نوجد نقاط القيمة العظمى والصغرى، هنوجد النقاط الحرجة للدالة، ودي اللي هي بإيجاد المشتقة الأولى للدالة، وبعدين نساويها بالصفر.

يبقى هنوجد د شرطة س، وهنساويها بالصفر. هنفاضل تلاتة س أُس أربعة ناقص اتنين س تكعيب. يبقى تلاتة س أُس أربعة … هنضرب في الأُس وننقّصه واحد، يبقى س أُس تلاتة. ناقص اتنين في الأُس تلاتة … وهننقّص الأُس واحد يبقى س تربيع. الكلام ده هنساويه بصفر.

بالقسمة على ستة، يبقى اتنين س تكعيب ناقص س تربيع هتساوي صفر. هناخد س تربيع مشترك، يبقى اتنين س ناقص واحد، مضروبة في الـ س تربيع، هتساوي صفر.

يبقى يا إما الـ س هتساوي صفر، أو اتنين س ناقص الواحد تساوي صفر. ومنها الـ س هتساوي نص. يبقى كده فيه نقطتين حرجتين، اللي همّ س تساوي صفر، وَ س تساوي نص. هنستخدم المشتقة التانية لإيجاد ما إذا كانت النقاط تمثّل قيم عظمى ولّا قيم صغرى.

هنوجد المشتقة التانية للدالة؛ عشان نحدد ما كانت الـ س تساوي الصفر والـ س تساوي نص قيم عظمى ولا صغرى. المشتقة الأولى كانت د شرطة س تساوي اتناشر س أُس تلاتة ناقص ستة س تربيع. المشتقة التانية هتساوي اتناشر في تلاتة س تربيع ناقص اتناشر س، هتساوي ستة وتلاتين س تربيع ناقص اتناشر س.

هنعوّض بـ س تساوي صفر، يبقى المشتقة التانية عند الصفر هتساوي صفر. والمشتقة التانية عند النص هتساوي تلاتة. في الحالة اللي بتساوي صفر، يبقى دي مش بتحدّد لا قيمة عظمى ولا قيمة صغرى. ولمّا تكون أكبر من الصفر، يبقى معنى كده إن فيه قيمة صغرى محلية عند الـ س تساوي نص، واللي بيكون عندها الدالة قيمتها د للنص، هتساوي تلاتة في نص أُس أربعة ناقص اتنين في نص أُس تلاتة. هتساوي تلاتة على ستاشر، ناقص اتنين على تمنية. تساوي سالب واحد على ستاشر.

يبقى النقطة نص وسالب واحد على ستاشر عندها قيمة صغرى محلية. والنقطة الحرجة التانية اللي هي عند س تساوي صفر، اللي كان عندها المشتقة التانية للدالة بتساوي صفر، وما قدرناش نحكم إذا كانت قيمة عظمى أو قيمة صغرى؛ فممكن نشوف قبل النقطة س تساوي صفر الدالة شكلها إيه، وبعدها شكلها هيبقى عامل إزاي.

يعني مثلًا لو كانت هنا واحد وهنا سالب واحد. لو عوضنا بالواحد في الـ د شرطتين، هنلاقي إن هنا دي قيمة موجبة وهنا قيمة موجبة، ولو عوّضنا بالسالب واحد، هتبقى القيمة دي سالبة والقيمة دي سالبة. وبالتالي الناتج لـ د شرطتين اللي هي المشتقة التانية، هتبقى بقيمة هنا موجبة وهنا السالب في السالب بالموجب؛ فهتبقى كمان قيمة المشتقة التانية موجبة. يبقى في الحالتين ما حصلش تغيُّر في منحنى الدالة، إذا كانت بتزيد وبعدين بتنقص، أو بتنقص وبعدين تزيد؛ علشان يحدد إذا كانت قيمة عظمى أو قيمة صغرى محلية.

وبالتالي النقطة عند الصفر لا يوجد عندها لا قيمة عظمى ولا قيمة صغرى محلية للدالة. ويبقى ما فيش غير قيمة صغرى محلية للدالة اللي هي نص وسالب واحد على ستاشر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.