نسخة الفيديو النصية
أوجد نقاط القيمة العظمى/الصغرى المحلية للدالة ﺩ في المتغير ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ أس أربعة ناقص اثنين ﺱ تكعيب.
تعد نقاط القيم العظمى والصغرى المحلية من أمثلة النقاط الحرجة للدالة. ونحن نعلم أن النقاط الحرجة للدالة تظهر عندما تكون مشتقتها الأولى، أي ﺩ شرطة ﺱ، تساوي صفرًا أو غير معرفة. وبالنظر إلى الدالة ﺩﺱ، نجد أنها دالة كثيرة الحدود. ونحن نعلم أن مشتقة الدالة الكثيرة الحدود معرفة لكل القيم في مجالها. لذا لا داعي للقلق بشأن كون ﺩ شرطة ﺱ غير معرفة. ما علينا سوى إيجاد حل ﺩ شرطة ﺱ يساوي صفرًا لتحديد النقاط الحرجة.
دعونا أولًا نوجد تعبيرًا لـ ﺩ شرطة ﺱ. ويمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. ﺩ شرطة ﺱ يساوي ثلاثة مضروبًا في أربعة ﺱ تكعيب. تذكر أننا نكتب الأس، ثم نقلل الأس بمقدار واحد، بعد ذلك نكتب ناقص اثنين مضروبًا في ثلاثة ﺱ تربيع، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ١٢ﺱ تكعيب ناقص ستة ﺱ تربيع. لإيجاد إحداثيات ﺱ للنقاط الحرجة، نجعل المشتقة الأولى تساوي صفرًا ونحل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة ﺱ.
والآن، يمكننا أن نأخذ ستة ﺱ تربيع عاملًا مشتركًا من كلا هذين الحدين، وبذلك نحصل على ستة ﺱ تربيع مضروبًا في اثنين ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. ستة لا تساوي صفرًا. إذن، بجعل العاملين المتبقيين يساويان صفرًا، يصبح لدينا ﺱ تربيع يساوي صفرًا، ما يؤدي إلى ﺱ يساوي صفرًا واثنين ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا، ما يؤدي إلى ﺱ يساوي نصفًا. إذن، توصلنا إلى أن للدالة ﺩﺱ نقاطًا حرجة عند ﺱ يساوي صفرًا، وﺱ يساوي نصفًا.
ثم علينا إيجاد قيمة الدالة نفسها عند كل نقطة من النقاط الحرجة. أولًا، بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا، نحصل على ﺩ لصفر يساوي ثلاثة مضروبًا في صفر أس أربعة ناقص اثنين مضروبًا في صفر تكعيب، وهو ما يساوي صفرًا. بالتعويض عن ﺱ يساوي نصفًا نحصل على ثلاثة مضروبًا في نصف أس أربعة ناقص اثنين مضروبًا في نصف تكعيب. وهو ما يساوي ثلاثة على ١٦ ناقص واحد على أربعة، أو ربع، وهو ما يمكن اعتباره ثلاثة على ١٦ ناقص أربعة على ١٦، وهو ما يساوي سالب واحد على ١٦. النقاط الحرجة لهذه الدالة تحدث عند صفر، صفر ونصف، سالب واحد على ١٦. لكننا لا نعرف حتى الآن نوع النقاط الحرجة الموجودة. توجد ثلاثة احتمالات. قد تكون نقاط قيمة عظمى محلية أو نقاط قيمة صغرى محلية أو نقاط انقلاب.
لتصنيف كل نقطة من النقاط الحرجة، علينا استخدام اختبار المشتقة الثانية. تخبرنا إشارة المشتقة الثانية للدالة عن نوع النقطة الحرجة التي لدينا. إذا كانت المشتقة الثانية للدالة سالبة، فهذا يعني أن المشتقة الأولى أو ميل الدالة يتناقص. وبالتالي، لدينا قيمة عظمى محلية. وإذا كانت المشتقة الثانية موجبة، فإن ميل الدالة ﺩ شرطة ﺱ أو المشتقة الأولى لها تتزايد. وبالتالي، لدينا قيمة صغرى محلية. إذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفرًا، فستكون النقطة الحرجة نقطة انقلاب. لكن هذا غير كاف. فمن الممكن أن يكون لدينا قيمة صغرى محلية أو قيمة عظمى محلية عندما تكون المشتقة الثانية تساوي صفرًا. لذا، إذا وجدنا أن المشتقة الثانية تساوي صفرًا، فعلينا إجراء عمليات تحقق أخرى لتصنيف النقطة الحرجة.
لنبدأ إذن بإيجاد تعبير للمشتقة الثانية للدالة. وللقيام بذلك، نحتاج إلى اشتقاق التعبير الذي أوجدناه للمشتقة الأولى، وهو ١٢ﺱ تكعيب ناقص ستة ﺱ تربيع. الاشتقاق يعطينا ١٢ مضروبًا في ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ستة مضروبًا في اثنين ﺱ. وهذا يبسط إلى ٣٦ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ. هيا نتحقق أولًا من النقطة الحرجة عند ﺱ يساوي نصفًا. التعويض بـ ﺱ يساوي نصفًا في المشتقة الثانية يعطينا ٣٦ مضروبًا في نصف تربيع ناقص ١٢ مضروبًا في نصف. هذا يساوي ٣٦ على أربعة ناقص ١٢ على اثنين أو تسعة ناقص ستة، وهو ما يساوي ثلاثة. لا يعنينا من قيمة المشتقة الثانية إلا ملاحظة أنها أكبر من صفر. وهكذا، وفقًا لاختبار المشتقة الثانية، نجد أن هذه النقطة الحرجة هي نقطة قيمة صغرى محلية.
عندما نعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا لتصنيف النقطة الحرجة الأخرى، نجد أن المشتقة الثانية تساوي صفرًا أيضًا. وهكذا، فإن اختبار المشتقة الثانية لم يساعدنا في تصنيف هذه النقطة الحرجة. علينا أن نتحقق من ذلك بطريقة مختلفة. وسنستخدم اختبار المشتقة الأولى. ما سنفعله هو التحقق من إشارة المشتقة الأولى على جانبي النقطة الحرجة. إذن يمكننا النظر إلى شكل المنحنى حول النقطة الحرجة.
والآن، بما أن النقطة الحرجة التالية تحدث عندما ﺱ يساوي نصفًا، علينا اختيار قيم ﺱ القريبة جدًّا من الصفر. إذن، سنختار قيمتين لـ ﺱ، هما سالب ربع وربع. نعرف بالفعل أن ﺩ شرطة ﺱ، أي المشتقة الأولى، تساوي صفرًا عندما يكون ﺱ مساويًا لصفر، أي عند النقطة الحرجة نفسها. بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب ربع في المشتقة الأولى، التي نتذكر أنها ١٢ﺱ تكعيب ناقص ستة ﺱ تربيع، نجد أن المشتقة الأولى تساوي سالب تسعة على ١٦ عند هذه النقطة. لسنا مهتمين بشكل خاص بالقيمة الفعلية. لكن ما يعنينا هو أنها قيمة سالبة.
بالتعويض بـ ﺱ يساوي ربع في المشتقة الأولى نحصل على ١٢ مضروبًا في ربع تكعيب ناقص ستة مضروبًا في ربع تربيع، وهو ما يساوي سالب ثلاثة على ١٦. ومرة أخرى، ما يعنينا هو حقيقة أن المشتقة الأولى هنا سالبة. هذا يساعدنا على تصور شكل المنحنى عند هذه النقطة الحرجة. إذا كانت إشارة الميل سالبة، ثم صفرًا، ثم إشارة سالبة مرة أخرى، يمكننا رسم هذا الشكل. ونلاحظ أن هذه النقطة الحرجة هي في الواقع نقطة انقلاب. لا نحتاج إلى إجراء اختبار المشتقة الأولى هذا إلا عندما يفشل اختبار المشتقة الثانية في التمييز بين نقاط القيم العظمى المحلية، ونقاط القيم الصغرى المحلية، ونقطة الانقلاب. لكن في الواقع، يعد اختبار المشتقة الأولى طريقة مقبولة في حد ذاتها.
لم يطلب منا السؤال سوى إيجاد نقطة قيمة عظمى أو صغرى محلية. لذا لا نحتاج إلى ذكر نقطة الانقلاب في إجابتنا النهائية على الرغم من أننا احتجنا إلى التحقق من صحتها أثناء الحل. يمكننا استنتاج أن الدالة ﺩﺱ لها نقطة قيمة صغرى محلية عند نصف، سالب واحد على ١٦.
