فيديو السؤال: الاشتقاق اللوغاريتمي للدوال التي تتضمن لوغاريتمات ونسبًا مثلثية الرياضيات

إذا كانت ﺹ = (لو ٨ﺱ)^(٤ ظا ٥ﺱ)، فأوجد ﺩﺹ‏/‏دﺱ.

١٠:٢٢

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ﺹ تساوي لوغاريتم ثمانية ﺱ أس أربعة ظا خمسة ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، ولكن الدالة ﺹ لدينا هي لوغاريتم مرفوع لأس هو نفسه تعبير بدلالة ﺱ. وبسبب هذا الأس، لا يمكننا تطبيق الطرق المعتادة للاشتقاق مباشرة، أي، على سبيل المثال، قاعدة السلسلة أو قاعدة حاصل الضرب أو قاعدة القسمة. ولكن، ما يمكننا فعله هو استخدام ما يسمى الاشتقاق اللوغاريتمي. وتتكون هذه الطريقة من أربع خطوات سنكتبها أولًا ثم نقوم بتطبيقها على الدالة ﺹ.

الخطوة الأولى هي تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على كلا الطرفين بحيث يكون لدينا اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺩ ﺱ، مع تذكر أن اللوغاريتم الطبيعي هو اللوغاريتم للأساس ﻫ؛ حيث ﻫ هو عدد أويلر ويساوي تقريبًا ٢٫٧١٨٢٨ وهكذا مع توالي الأرقام. علينا أيضًا تحديد أن ﺹ أكبر من صفر لكي نتمكن من الاشتقاق اللوغاريتمي. هذا لأن لوغاريتم صفر غير معرف، واللوغاريتم غير موجود للقيم السالبة. إذا أردنا تضمين القيم السالبة، فعلينا إذن استخدام القيم المطلقة لـ ﺹ وﺩ ﺱ. وفي هذه الحالة، نحدد أن ﺹ لا يساوي صفرًا.

خطوتنا الثانية هي استخدام قوانين اللوغاريتمات للفك أو التبسيط، وهذا يتيح لنا الانتقال إلى الخطوة الثالثة. وهي اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. وخطوتنا الأخيرة هي الحل لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. والآن، لنطبق هذا على الدالة ﺹ لدينا. بالنسبة للخطوة الأولى، لدينا اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم ثمانية ﺱ أس أربعة ظا خمسة ﺱ. وهذا عندما يكون ﺹ أكبر من صفر. يمكننا الآن الانتقال إلى الخطوة الثانية حيث نستطيع استخدام قوانين اللوغاريتمات لفك الدالة. وبما أن مدخل اللوغاريتم الطبيعي يتضمن أسًّا، يمكننا استخدام قاعدة القوة للوغاريتمات. تنص هذه القاعدة على أن لوغاريتم ﺏ أس ﺟ للأساس ﺃ يساوي ﺟ في لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ. وهو ما يعني أننا نكتب الأس ﺟ بالأسفل إلى جانب اللوغاريتم ثم نضربه فيه.

الأس ﺟ هو أربعة ظا خمسة ﺱ. إذن بتطبيق قاعدة القوة، يصبح لدينا أربعة ظا خمسة ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم ثمانية ﺱ. تسير الأمور بشكل جيد حتى الآن، لأننا لدينا حاصل ضرب تعبيرين في الطرف الأيسر، ويمكننا الانتقال إلى الخطوة الثالثة وهي اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. في الطرف الأيسر، لدينا الآن حاصل ضرب دالتين. وهو ما يعني أنه يمكننا استخدام قاعدة حاصل الضرب للاشتقاق. وهي تنص على أنه لأي دالتين ﻉ وﻕ قابلتين للاشتقاق في المتغير ﺱ، ﺩ على ﺩﺱ لحاصل الضرب ﻉﻕ يساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. وعليه، إذا افترضنا الآن أن ﻉ يساوي أربعة ظا خمسة ﺱ وﻕ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم ثمانية ﺱ، فإننا نريد إيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ لكي نستخدم قاعدة حاصل الضرب.

الآن، بالنسبة إلى ﺩﻉ على ﺩﺱ، يمكننا استخدام النتيجة التي تفيد بأن ﺩ على ﺩﺱ لـ ظا ﻭ، حيث ﻭ دالة قابلة للاشتقاق في المتغير ﺱ، يساوي ﺩﻭ على ﺩﺱ في قا تربيع لـ ﻭ. بما أن لدينا ﻭ يساوي خمسة ﺱ، فإن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي خمسة في أربعة قا تربيع خمسة ﺱ. وهو ما يساوي ٢٠ قا تربيع خمسة ﺱ. نريد الآن إيجاد ﺩﻕ على ﺩﺱ. إذن لدينا الدالة ﻕ، وهي اللوغاريتم الطبيعي لدالة في المتغير ﺱ، سنسميها ﻭ. وﻭ هو لوغاريتم ثمانية ﺱ. تذكر أنه إذا كان لدينا لوغاريتم دون أساس محدد، فهذا يعني أن لدينا لوغاريتم للأساس ١٠.

والآن لاشتقاق الدالة لدينا، أي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻭ، يمكننا استخدام النتيجة التي تنص على أن ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم الطبيعي لـ ﻭ يساوي واحدًا على ﻭ في ﺩﻭ على ﺩﺱ؛ حيث ﻭ دالة في ﺱ. وبالطبع، ﻭ دالة قابلة للاشتقاق. إذن، فإن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على لوغاريتم ثمانية ﺱ في ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم ثمانية ﺱ. والآن لاشتقاق لوغاريتم ثمانية ﺱ للأساس ١٠، سنستخدم قاعدة مشتقة اللوغاريتم العامة لأي أساس. وهي تنص على أن ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم ﻭ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﻫ للأساس ﺃ الكل على ﻭ في ﺩﻭ على ﺩﺱ. إذن في هذه الحالة، الأساس ﺃ يساوي ١٠، والدالة ﻭ تساوي ثمانية ﺱ. ومن ثم، فإن مشتقتها تساوي لوغاريتم ﻫ للأساس ١٠ على ثمانية ﺱ، أي ﻭ، في ثمانية، أي ﺩﻭ على ﺩﺱ. يحذف العددان ثمانية كل منهما الآخر، ويصبح لدينا لوغاريتم ﻫ للأساس ١٠ على ﺱ.

حسنًا، هذا جيد. الآن، هل يمكننا تبسيط لوغاريتم ﻫ للأساس ١٠ ؟ إذا استخدمنا صيغة تغيير أساس اللوغاريتمات حيث ﻫ يناظر ﺏ و ١٠ يناظر ﺃ، بحيث يكون الأساس الجديد لدينا هو ﻫ، فسيصبح لدينا لوغاريتم ﻫ للأساس ١٠ يساوي لوغاريتم ﻫ للأساس ﻫ على لوغاريتم ١٠ للأساس ﻫ. ولماذا يعد ذلك أبسط؟ لأن لوغاريتم ﻫ للأساس ﻫ يساوي واحدًا. ولوغاريتم ١٠ للأساس ﻫ يساوي ببساطة اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٠. إذن، لوغاريتم ﻫ للأساس ١٠ يساوي واحدًا على اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٠، بحيث يصبح لدينا المشتقة بالنسبة إلى ﺱ للوغاريتم ثمانية ﺱ للأساس ١٠ تساوي واحدًا على ﺱ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٠. من ثم، ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على لوغاريتم ثمانية ﺱ في واحد على ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٠.

إذن، لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لاستخدام قاعدة حاصل الضرب للاشتقاق. لنفرغ بعض المساحة، نرى هنا أن ﻉ يساوي أربعة ظا خمسة ﺱ، وﻕ هو اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم ثمانية ﺱ، ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ٢٠ قا تربيع خمسة ﺱ، وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٠ في لوغاريتم ثمانية ﺱ. بالتعويض في صيغة قاعدة حاصل الضرب نحصل على ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي أربعة ظا خمسة ﺱ، أي ﻉ، في واحد على ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٠ في لوغاريتم ثمانية ﺱ، أي ﺩﻕ على ﺩﺱ، زائد اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم ثمانية ﺱ، أي ﻕ، في ٢٠ قا تربيع خمسة ﺱ، أي ﺩﻉ على ﺩﺱ.

بإعادة كتابة ذلك بوضع الحد غير الكسري أولًا وإعادة الترتيب، نحصل على ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي ٢٠ في اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم ثمانية ﺱ في قا تربيع خمسة ﺱ زائد أربعة ظا خمسة ﺱ على ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٠ في لوغاريتم ثمانية ﺱ. لقد اقتربنا من الحل، ولكن لم نصل إليه بعد لأنه ما زال علينا اشتقاق الطرف الأيمن. نريد إيجاد ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ. وتذكر أن ﺹ دالة في المتغير ﺱ، لذا يمكننا مرة أخرى استخدام النتيجة التي تنص على أن ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم الطبيعي لـ ﻭ، حيث ﻭ دالة قابلة للاشتقاق في ﺱ، يساوي واحدًا على ﻭ في ﺩﻭ على ﺩﺱ، حيث ﻭ أكبر من صفر. وهذا يعطينا واحدًا على ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ.

بذلك نكون قد أكملنا الخطوة الثالثة، أي بعبارة أخرى، لقد اشتققنا كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. الآن، علينا الحل لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. وهي الخطوة الرابعة. يمكننا فعل ذلك بضرب الطرفين في ﺹ. في الطرف الأيمن، لدينا اثنان ﺹ يحذف كل منهما الآخر وينتج واحد، وفي الطرف الأيسر، نكتب الدالة الأصلية ﺹ. هكذا نكون قد أكملنا الخطوة الرابعة. وعليه، فإنه إذا كانت الدالة ﺹ تساوي لوغاريتم ثمانية ﺱ أس أربعة ظا خمسة ﺱ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي لوغاريتم ثمانية ﺱ أس أربعة ظا خمسة ﺱ في ٢٠ في اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم ثمانية ﺱ في قا تربيع خمسة ﺱ زائد أربعة ظا خمسة ﺱ على ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٠ في لوغاريتم ثمانية ﺱ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.