نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﻉ متجه صفري. ما الذي يساويه ناتج جمع المتجه ﻉ والمتجه ل لأي متجه ل؟
علمنا من هذا السؤال أن ﻉ متجه صفري. وعلينا إيجاد تعبير للمتجه ﻉ زائد المتجه ل لأي متجه ل. هناك عدد من الطرق المختلفة التي يمكننا بها فعل ذلك. لكن دعونا نبدأ باسترجاع ما نعنيه بالمتجه الصفري.
المتجه الصفري هو المتجه الذي جميع مركباته تساوي صفرًا. على سبيل المثال، المتجه صفر، صفر سيكون هو المتجه الصفري في بعدين. علينا إيجاد تعبير للمتجه الصفري زائد المتجه ل لأي متجه ل. وقد نرغب في محاولة فعل ذلك بجمع المركبات معًا. لكن، من الأسهل فعل ذلك بيانيًّا.
تذكر أنه يمكننا جمع المتجهين ﻡ ول بيانيًّا. أولًا، نرسم المتجه ﻡ، وعند نقطة نهاية المتجه ﻡ، نرسم المتجه ل. بعد ذلك، سيكون المتجه ﻡ زائد ل هو المتجه الذي يبدأ من نقطة بداية المتجه ﻡ، وينتهي عند نقطة نهاية المتجه ل. وعلى الرغم من أن الرسم هنا سيكون في بعدين، فإن هذا ينطبق أيضًا على أي عدد من الأبعاد.
يمكننا استخدام هذا لإيجاد تعبير للمتجه الصفري زائد المتجه ل. أولًا، علينا رسم المتجه الصفري. لكن كما نعلم، جميع المركبات في المتجه الصفري تساوي صفرًا. ومن ثم، فإن المتجه الصفري لا يمثل الحركة في أي اتجاه. لذا، لا يهم كيف سنرسم المتجه ل. وبما أن المتجه الصفري لا يمثل الحركة بيانيًّا على الإطلاق، فإن التحرك على طول المتجه الصفري ثم التحرك على طول المتجه ل سيساوي دائمًا المتجه ل. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن المتجه الصفري زائد المتجه ل يساوي المتجه ل.
هناك أمر آخر تجدر الإشارة إليه أيضًا. نحن نعلم أن جمع المتجهات هو عملية إبدالية، لذا، يمكننا هنا جمع المتجهين معًا بالترتيب العكسي. وسيظل الناتج هو المتجه ل.
هناك أيضًا طريقة أخرى لإثبات ذلك. على سبيل المثال، كان بإمكاننا إثبات ذلك مباشرة عن طريق جمع مركبات هذين المتجهين. وعليه، إذا كان ﻉ هو متجهًا صفريًّا له عدد ﻥ من الأبعاد — أي إنه متجه له عدد ﻥ من المركبات، والتي يساوي كل منها صفرًا — ول متجه له عدد ﻥ من الأبعاد أيضًا — وسنسمي مركباته ل واحد ول اثنين وصولًا إلى لﻥ — فسنعرف كيف يمكن جمع هذين المتجهين معًا. نفعل ذلك باستخدام المركبات. وكل ما علينا فعله هو جمع المركبات المتناظرة لهذين المتجهين معًا.
جميع مركبات ﻉ تساوي صفرًا، وبذلك، يصبح لدينا المتجه صفر زائد ل واحد، صفر زائد ل اثنين، وهكذا وصولًا إلى صفر زائد لﻥ. وبما أن إضافة صفر إلى أي قيمة لا يغير هذه القيمة، فسنجد أن هذا يساوي المتجه ل واحد، ل اثنين، وهكذا وصولًا إلى لﻥ، وهو ما يساوي المتجه ل. وهكذا، نكون قد أوضحنا أنه لأي متجه ل ومتجه صفري له نفس العدد من الأبعاد، فإن ﻉ زائد ل يساوي ل، ول زائد ﻉ يساوي ل أيضًا.
