فيديو السؤال: إيجاد نهاية حاصل ضرب دالتين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

افترض أن النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ د ﺱ تساوي خمسة. أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ زائد اثنين في د ﺱ.

يتضمن السؤال بعض المعطيات عن الدالة د ﺱ، وهي أن النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ د ﺱ تساوي خمسة. علينا استخدام هذه المعطيات لإيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ زائد اثنين في د ﺱ. نحن لا نعرف كيفية إيجاد قيمة هذه النهاية بشكل مباشر، لذا علينا إعادة كتابتها بدلالة النهايات التي نعرف كيفية إيجادها.

نعلم كيف نوجد نهاية ﺱ زائد اثنين. ونعرف كيف نوجد نهاية د ﺱ عندما يقترب ﺱ من اثنين. علينا إذن إعادة كتابة نهاية حاصل الضرب على صورة حاصل ضرب النهايتين. ولحسن الحظ، يمكننا فعل ذلك. نعلم أنه لأي دالتين ﺭ ور وأي ثابت حقيقي ﺃ، أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺭ ﺱ في ﻕ ﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺭ ﺱ في النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﻕ ﺱ. بعبارة أخرى، نهاية حاصل ضرب دالتين تساوي حاصل ضرب نهايتي هاتين الدالتين.

لتطبيق هذا على النهاية المعطاة في السؤال، سنجعل قيمة ﺃ تساوي اثنين، ودالة ﺭ ﺱ تساوي ﺱ زائد اثنين، ودالة ﻕ ﺱ تساوي د ﺱ. إذن، باستخدام هاتين القيمتين، نحصل على أن النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ زائد اثنين في د ﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ زائد اثنين مضروبًا في النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ د ﺱ.

يمكننا الآن إيجاد قيمتي هاتين النهايتين. نلاحظ أن نهاية ﺱ زائد اثنين هي نهاية دالة خطية. يمكننا إيجاد قيمة ذلك باستخدام التعويض المباشر. ومن ثم، نعوض عن ﺱ باثنين في الدالة الخطية ﺱ زائد اثنين. وسنحصل على اثنين زائد اثنين، وهو ما يمكن تبسيطه إلى أربعة. وبالطبع، معطى في السؤال أن النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ د ﺱ تساوي خمسة. إذن، يمكننا تحديد قيمة هذه النهاية بخمسة. وبذلك يصبح لدينا أربعة في خمسة، وهو ما يساوي ٢٠.

إذن، أثبتنا أنه إذا كانت النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لدالة ما د ﺱ تساوي خمسة، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ زائد اثنين في د ﺱ تساوي ٢٠.