فيديو الدرس: إيجاد مساحة المعين باستخدام القطرين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنلقي نظرة على كيفية إيجاد مساحة المعين باستخدام طولي القطرين. سنبدأ بالنظر إلى خواص المعين. وسنلخص كيف نوجد المساحة باستخدام طول القاعدة والارتفاع، ثم سنثبت كيف يمكننا إيجاد المساحة باستخدام طولي هذين القطرين. دعونا نبدأ بتناول معين ما.

المعين وفقًا للتعريف الرياضي هو شكل رباعي جميع أضلاعه الأربعة متساوية في الطول. إذن، يمكننا رسم بعض المعينات بهذه الصورة ما دمنا نعلم أنه في كل معين تكون جميع الأضلاع الأربعة متساوية في الطول. ربما نعلم بالفعل أن هناك طريقة واحدة يمكننا من خلالها إيجاد مساحة المعين باستخدام طول القاعدة والارتفاع. وذلك بقولنا إن مساحة المعين تساوي طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع. يمكننا تصور ذلك إذا رسمنا مستطيلًا له نفس القاعدة والارتفاع. إذا افترضنا أننا فصلنا هذا الجزء الخارجي الذي على شكل مثلث ووضعناه في هذا الجزء الفارغ من المستطيل الذي أمامنا، فإنه يمكننا أن نرى كيف أن مساحة هذا المعين الذي قاعدته ﺏ وارتفاعه ﻉ ستساوي مساحة المستطيل الذي طوله وعرضه يساويان طول القاعدة والارتفاع.

حسنًا، دعونا نفترض أن لدينا المعين ﺃﺏﺟﺩ. وبدلًا من أن يكون لدينا طولا القاعدة والارتفاع، يكون لدينا طولا القطرين. كيف يمكننا إيجاد المساحة باستخدام هذين الطولين؟ أحيانًا، يكون من المفيد تدوير هذا المعين حتى نتمكن من الحصول على تصور أفضل. نحن نعلم أن جميع الأضلاع الأربعة متساوية في الطول، وسنتعامل مع هذا المعين على أنه يتكون من مثلثين. لدينا المثلث ﺃﺏﺟ في الأعلى والمثلث ﺃﺩﺟ في الأسفل. يمكننا القول إن طول الضلع ﺃﺏ يساوي طول الضلع ﺃﺩ؛ لأنهما طولا ضلعين من أضلاع المعين. وبالطريقة نفسها، طول الضلع ﺏﺟ يساوي طول الضلع ﺟﺩ. وبما أن ﺃﺟ ضلع مشترك، فإن طوله متساو في كلا المثلثين.

إذن، ما أوضحناه هنا هو أن هناك ثلاثة أزواج من الأضلاع المتناظرة متطابقة. لا داعي للقلق إذا لم تكن على دراية كافية بشأن تطابق المثلثات. كل ما أوضحناه هنا هو أن المثلث ﺃﺏﺟ متطابق مع المثلث ﺃﺩﺟ. هذا يعني أن هذين المثلثين لهما نفس الشكل والحجم بالضبط.

لنعد إلى الغرض الرئيسي من ذلك. إننا نريد بالفعل إيجاد مساحة هذا المعين ﺃﺏﺟﺩ. لقد قسمناه إلى مثلثين؛ لذا يمكننا القول إن مساحة المعين تساوي مساحة المثلث ﺃﺏﺟ زائد مساحة المثلث ﺃﺩﺟ. ولقد أوضحنا سابقًا أن المثلثين ﺃﺩﺟ وﺃﺏﺟ متطابقان. إذن، هذا يماثل إيجاد مساحة المثلث ﺃﺏﺟ زائد مساحة المثلث ﺃﺏﺟ، أو بدلًا من ذلك، هذا يساوي اثنين مضروبًا في مساحة المثلث ﺃﺏﺟ. لكن كيف يمكننا الآن إيجاد مساحة المثلث ﺃﺏﺟ؟ علينا أن نتذكر أن مساحة المثلث تساوي نصفًا في طول القاعدة في الارتفاع. في المثلث ﺃﺏﺟ، طول القاعدة يساوي طول ﺃﺟ، والارتفاع يساوي نصف طول ﺏﺩ. يمكننا تبسيط ما بداخل القوسين لنحصل على اثنين في ربع في ﺃﺟ في ﺏﺩ. بعد ذلك، يمكننا تبسيط هذا لنحصل على نصف في ﺃﺟ في ﺏﺩ. ولكن ما طول كل من ﺃﺟ وﺏﺩ بالضبط؟ حسنًا، هذان الطولان هما طولا القطرين.

هذا يعني أننا أثبتنا وجود صيغة أخرى لإيجاد مساحة المعين باستخدام طولي القطرين. عندما يكون ﻕ واحد وﻕ اثنان هما طولي القطرين، فإننا نحسب ﻕ واحدًا في ﻕ اثنين على اثنين لإيجاد المساحة. ويمكننا بالطبع كتابة هذه الصيغة على الصورة نصف في ﻕ واحد في ﻕ اثنين. في هذا الفيديو، سنلقي نظرة على بعض الأسئلة ونطبق صيغة المساحة باستخدام طولي القطرين. لكن بالطبع، من المهم دائمًا تذكر وجود الصيغة الأخرى التي تستخدم طول القاعدة والارتفاع أيضًا. دعونا الآن نلق نظرة على بعض الأسئلة.

يوضح الشكل معينًا داخل مستطيل. أوجد مساحة المعين لأقرب منزلتين عشريتين.

نتذكر أن المعين له أربعة أضلاع متساوية في الطول. ونلاحظ أن طول هذا المستطيل وعرضه يتناظران أيضًا مع طولي القطرين في المعين. إذن، سيكون لدينا طول أحد القطرين يساوي ٣٠٫٣ سنتيمترًا وطول القطر الآخر يساوي ١٥٫٨ سنتيمترًا. لإيجاد مساحة هذا المعين، نتذكر الصيغة التي تنص على أن مساحة المعين تساوي ﻕ واحدًا في ﻕ اثنين على اثنين؛ حيث ﻕ واحد وﻕ اثنان هما طولا القطرين.

بالتعويض عن طولي القطرين بالقيمتين ٣٠٫٣ و١٥٫٨ في هذه الصيغة، نحصل على ٣٠٫٣ في ١٥٫٨ على اثنين. لاحظ أنه نظرًا لأننا نجري عملية ضرب، فلا يهم الترتيب الذي نكتب به طولي القطرين. وبما أن المطلوب هو تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين، يمكننا حساب ذلك على الآلة الحاسبة. لكن بالطبع، من المفيد دائمًا تبسيط العملية الحسابية حيثما أمكن ذلك. يمكننا هنا حذف العامل المشترك اثنين من العددين ١٥٫٨ واثنين. هذا سيعطينا الإجابة ٢٣٩٫٣٧، وستكون الوحدة المستخدمة هنا هي وحدة السنتيمتر المربع. وبما أن إجابتنا تحتوي بالفعل على منزلتين عشريتين فقط، فلن نحتاج إلى التقريب. إذن، الإجابة هي ٢٣٩٫٣٧ سنتيمترًا مربعًا.

لنلق نظرة على سؤال آخر. لكن هذه المرة، لن يكون لدينا أي شكل موضح.

معين طول أحد قطريه ٢٫١، وطول القطر الآخر أربعة أمثال طول قطره الأول. ما مساحة المعين؟

سنبدأ بتذكر أن المعين هو شكل رباعي جميع أضلاعه الأربعة متساوية في الطول. إذن، عندما نرسم هذا المعين، يجب أن تكون أطوال أضلاعه الأربعة متساوية. وبدلًا من أن يعطينا السؤال أي معلومات عن أطوال أضلاع هذا المعين، لدينا معلومات عن طولي القطرين. نحن نعلم من المعطيات أن طول أحد هذين القطرين يساوي ٢٫١ وحدة، وطول القطر الآخر يساوي أربعة أمثال هذا الطول. إذن، أربعة مضروبًا في ٢٫١ يساوي ٨٫٤. بالنظر إلى هذا الشكل، يمكننا ملاحظة أن هناك قطرًا أقصر وقطرًا أطول. ومن ثم، سيكون طول القطر الأقصر هو٢٫١ وحدة، وطول القطر الأطول هو٨٫٤ وحدات.

توجد صيغتان يمكننا استخدامهما لإيجاد مساحة المعين. إحداهما تتضمن طول القاعدة والارتفاع العمودي، والأخرى تتضمن طولي القطرين. وبما أن لدينا هنا طولي القطرين فقط، فمن المنطقي استخدام تلك الصيغة. حسنًا، نتذكر أن مساحة المعين تساوي ﻕ واحدًا مضروبًا في ﻕ اثنين على اثنين؛ حيث ﻕ واحد وﻕ اثنان هما طولا القطرين. يمكننا التعويض بقيمتي طولي هذين القطرين لنحصل على ٢٫١ مضروبًا في ٨٫٤ على اثنين.

بتبسيط العملية الحسابية، سنحتاج إلى حساب ٢٫١ مضروبًا في ٤٫٢، وهو ما يمكننا فعله دون استخدام الآلة الحاسبة. سنحسب ٢١ مضروبًا في ٤٢ باستخدام أي طريقة ضرب نختارها. وبما أن حاصل ضرب هاتين القيمتين يعطينا إجمالي منزلتين عشريتين، فإن إجابتنا ستكون كذلك. لم يعطنا السؤال أي وحدات طول، لكن بما أننا أوجدنا مساحة معين، فسنستخدم الوحدة المربعة. إذن، الإجابة هي أن مساحة هذا المعين تساوي ٨٫٨٢ وحدات مربعة.

في السؤال الآتي، سنوجد مساحة معين معطى على شبكة إحداثية.

أوجد مساحة سطح المعين ﺃﺏﺟﺩ. كل وحدة طول تساوي سنتيمترًا واحدًا.

على شبكة الإحداثيات، لدينا المعين ﺃﺏﺟﺩ. وبما أنه معين، فإننا نعلم أن جميع أضلاعه الأربعة ستكون متساوية في الطول. ويطلب منا السؤال إيجاد مساحة هذا المعين، وهي مقدار المساحة الموجودة داخل الشكل. عند إيجاد مساحة المعين، يكون لدينا الاختيار من بين صيغتين مختلفتين. تخبرنا الصيغة الأولى لإيجاد مساحة المعين أننا نضرب طولي القطرين ثم نقسمهما على اثنين. أما في الصيغة الثانية، فسنضرب طول القاعدة في الارتفاع العمودي.

لتحديد الصيغة التي يجب أن نستخدمها لإيجاد المساحة، سنحتاج إلى معرفة الأطوال المعطاة لنا. لاستخدام الصيغة الثانية، سيكون طول القاعدة هو طول أحد الأضلاع، وسيكون علينا إيجاد الارتفاع العمودي. وبما أننا لن نقيس هذين الطولين فعليًّا باستخدام المسطرة، فسنحتاج إلى استخدام نظرية مثل نظرية فيثاغورس لإيجاد هذين الطولين.

دعونا نر إذا ما كان من الأسهل استخدام الصيغة الأولى. هل يمكننا إيجاد طولي القطرين؟ نعم، يمكننا ذلك باستخدام شبكة الإحداثيات. يمتد القطر الأفقي ﺃﺟ من سالب ثمانية إلى اثنين على طول المحور س، وهو ما يعني أن طوله يساوي ١٠ وحدات طول. في الواقع، علمنا من السؤال أن كل وحدة طول تساوي سنتيمترًا واحدًا. إذن، طول ﺃﺟ يساوي ١٠ سنتيمترات. ويمتد القطر ﺩﺏ من سالب خمسة إلى سالب تسعة على طول المحور ص، إذن طوله يساوي أربعة سنتيمترات. باستخدام الصيغة التي تتضمن طولي القطرين، نعوض بهاتين القيمتين، وهو ما يعطينا ١٠ مضروبًا في أربعة على اثنين. يمكننا تبسيط ذلك أولًا أو حساب ١٠ في أربعة يساوي ٤٠ مقسومًا على اثنين، وهو ما يعطينا ٢٠. والوحدة المستخدمة هنا هي وحدة السنتيمتر المربع. إذن، يمكننا الإجابة عن هذا السؤال بأن مساحة سطح المعين ﺃﺏﺟﺩ تساوي ٢٠ سنتيمترًا مربعًا.

دعونا نلق نظرة على سؤال آخر.

في المعين ﺃﺏﺟﺩ، طول الضلع يساوي ٨٫٥ سنتيمترات، وطولا قطريه ١٣ سنتيمترًا و١١ سنتيمترًا. أوجد طول القطعة المستقيمة ﺩﻭ. قرب الإجابة لأقرب جزء من عشرة.

يمكننا أن نبدأ هذا السؤال بتذكر أن المعين هو شكل رباعي جميع أضلاعه الأربعة متساوية في الطول. وقد علمنا من السؤال أن طول هذا الضلع يساوي ٨٫٥ سنتيمترات؛ لذا يمكننا إضافة ذلك إلى الشكل. ويمكننا أيضًا إضافة طولي القطرين. إن طول أحدهما يساوي ١٣ سنتيمترًا، وطول الآخر يساوي ١١ سنتيمترًا. من المفيد دائمًا معرفة إذا ما كان بإمكاننا وضع هاتين القيمتين في الموضعين الصحيحين. وبما أن القطر ﺃﺟ يبدو أطول من القطر ﺏﺩ، فسيكون طوله ١٣ سنتيمترًا. يطلب منا السؤال إيجاد طول هذه القطعة المستقيمة، ﺩﻭ. إذا نظرنا إلى الشكل، فسنلاحظ أن طول ﺩﻭ هو في الواقع الارتفاع العمودي للمعين. إذن، كيف يمكننا ربط طولي قطري المعين بالارتفاع العمودي؟ حسنًا، يمكننا فعل ذلك باستخدام صيغتي مساحة المعين.

علينا أن نتذكر أن الصيغة الأولى تنص على أن مساحة المعين يمكن حسابها بضرب طولي القطرين ﻕ واحد وﻕ اثنين ثم قسمة الناتج على اثنين. وتخبرنا الصيغة الثانية أن مساحة المعين تساوي طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع العمودي. بما أن لدينا طولي القطرين في هذا السؤال، فلنعوض بهاتين القيمتين في الصيغة الأولى لدينا. ومن ثم، نحسب ١١ مضروبًا في ١٣ مقسومًا على اثنين. وبما أنه مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب جزء من عشرة، يمكننا افتراض أنه بإمكاننا استخدام الآلة الحاسبة. إذن، الإجابة هي ٧١٫٥ سنتيمترًا مربعًا.

والآن، بعد أن أوجدنا مساحة المعين، يمكننا التعويض بهذه القيمة في الصيغة الثانية. في الطرف الأيمن، سيكون لدينا المساحة، والتي تساوي ٧١٫٥. وطول القاعدة سيساوي طول ضلع المعين، وهو ما يساوي ٨٫٥ سنتيمترات. ونحن نحاول إيجاد الارتفاع العمودي المجهول، والذي يمكننا تركه على صورة الرمز ﻉ. لإيجاد قيمة ﻉ، سنقسم طرفي هذه المعادلة على ٨٫٥، وهو ما يعطينا ٨٫٤١١٧٦، وهكذا مع توالي الأرقام، يساوي ﻉ. وبما أن علينا تقريب الإجابة لأقرب جزء من عشرة، فسنتحقق من الرقم العشري الثاني لدينا لنرى إذا ما كان خمسة أو أكثر. وبما أنه ليس كذلك، فسنقرب قيمة ﻉ إلى ٨٫٤ سنتيمترات. ونحن نعلم أن طول القطعة المستقيمة ﺩﻭ يساوي الارتفاع العمودي للمعين. إذن، الإجابة هي أن طول القطعة المستقيمة ﺩﻭ يساوي ٨٫٤ سنتيمترات.

لنلق نظرة الآن على سؤال أخير يتضمن مربعًا ومعينًا.

قطعتا أرض لهما نفس المساحة. كانت القطعة الأولى على شكل مربع، والقطعة الثانية على شكل معين طولا قطريه ٤٨ مترًا، و٣٥ مترًا. ما محيط قطعة الأرض التي على شكل مربع؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

في هذا السؤال، قد يكون من المفيد رسم بعض الأشكال لتصور المسألة. علمنا من السؤال أن هناك قطعتي أرض، إحداهما على شكل مربع، والأخرى على شكل معين. هيا نرسم المربع. نحن نعلم أنه سيكون شكلًا رباعيًّا له أربعة أضلاع متساوية في الطول، وقياس جميع زواياه الداخلية يساوي ٩٠ درجة. وعندما نرسم المعين، نعلم أنه سيكون أيضًا شكلًا رباعيًّا جميع أضلاعه الأربعة متساوية في الطول. في هذا الشكل، يمكننا وضع علامتين على الأضلاع حتى لا يختلط علينا الأمر، ونظن أن أطوال أضلاع هذا المعين ستساوي أطوال أضلاع المربع.

المعلومة الأخرى المعطاة لنا في السؤال هي طولا قطري المعين. طول القطر الأطول يساوي ٤٨ مترًا، وطول القطر الأقصر يساوي ٣٥ مترًا. وعلمنا أيضًا من السؤال أن قطعتي الأرض هاتين، اللتين إحداهما على شكل مربع والأخرى على شكل معين، لهما نفس المساحة. ومطلوب منا إيجاد محيط قطعة الأرض التي على شكل مربع. يمكننا أن نتذكر أن محيط الشكل هو المسافة المحيطة بالإطار الخارجي. يمكننا إيجاد ذلك إذا كان لدينا طول ضلع المربع، لكننا لا نعرفه؛ لذا سنحتاج إلى حسابه. لنر الآن إذا ما كان بإمكاننا إيجاد مساحة المعين. ولكي نفعل ذلك، علينا تذكر صيغة معينة.

يمكننا إيجاد مساحة المعين باستخدام طولي القطرين ﻕ واحد وﻕ اثنين بضرب ﻕ واحد في ﻕ اثنين، ثم القسمة على اثنين. ويمكننا ببساطة التعويض بطولي القطرين ٣٥ و٤٨ لحساب ٣٥ في ٤٨ على اثنين. من المفيد دائمًا تبسيط العملية الحسابية حيثما أمكن ذلك. ولقد طلب منا السؤال تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين؛ لذا يمكننا افتراض أنه بإمكاننا استخدام الآلة الحاسبة.

إما باستخدام الآلة الحاسبة أو بطريقة الكتابة، فسنحصل على الإجابة ٨٤٠. وبما أن هذه القيمة تمثل المساحة، فستكون الوحدة المستخدمة هي وحدة المتر المربع. وقد علمنا من السؤال أن المساحتين متساويتان، وهو ما يعني أن مساحة المربع ستساوي ٨٤٠ مترًا مربعًا أيضًا. علينا أن نتذكر أن مساحة المربع تساوي طول الضلع تربيع. وهذه المرة، سنعوض بقيمة المساحة، التي تساوي ٨٤٠. ومن ثم، لدينا ٨٤٠ يساوي ﻝ تربيع. ولإيجاد قيمة ﻝ، سنأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة. إذن، ﻝ يساوي الجذر التربيعي لـ ٨٤٠. وبما أننا نتعامل مع طول ضلع، فستكون الوحدة المستخدمة هي المتر.

يكون من الأسهل دائمًا استخدام الآلة الحاسبة وإيجاد القيمة العشرية لذلك. لكن بما أننا ما زلنا بحاجة إلى إيجاد المحيط، فسنحتفظ بهذه الإجابة على صورة الجذر التربيعي. ونتذكر أن محيط المربع يساوي المسافة المحيطة بالحافة الخارجية، وهو ما يعني أننا سنوجد أربعة مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ٨٤٠. باستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على القيمة العشرية ١١٥٫٩٣١٠١، وهكذا مع توالي الأرقام، مترًا. وعند التقريب لأقرب منزلتين عشريتين، فإننا نتحقق من الرقم العشري الثالث لنرى إذا ما كان خمسة أو أكثر. وبما أنه ليس كذلك، فإننا نقرب الإجابة لأسفل ليصبح لدينا محيط المربع يساوي ١١٥٫٩٣ مترًا.

يمكننا الآن تلخيص ما تعلمناه في هذا الفيديو. بدأنا هذا الفيديو بتذكر أن المعين هو شكل رباعي جميع أضلاعه الأربعة متساوية في الطول. وذكرنا الصيغة الأولى، وهي أن مساحة المعين تساوي طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع العمودي. بعد ذلك، أثبتنا أن مساحة المعين تساوي أيضًا نصف حاصل ضرب طولي القطرين. ويمكننا كتابة هذه الصيغة على الصورة ﻕ واحد مضروبًا في ﻕ اثنين على اثنين؛ حيث ﻕ واحد وﻕ اثنان هما طولا القطرين.

وأخيرًا، يمكننا استخدام أي من هاتين الصيغتين لإيجاد مساحة المعين، وذلك بناء على المعلومات المعطاة لنا عن الأطوال. وكما رأينا في أحد الأسئلة، سنحتاج في بعض الأحيان إلى استخدام كلتا الصيغتين لإيجاد طول ناقص. وعلينا أن نتذكر هاتين الصيغتين، لكن علينا أن ننتبه؛ لأنه من السهل جدًّا الخلط بين الصيغتين وحساب طول القاعدة في الارتفاع، ثم القسمة على اثنين عن طريق الخطأ. إننا نقسم الناتج على اثنين عند استخدام صيغة طولي القطرين فقط.