فيديو السؤال: إيجاد نقطة تقاطع ثلاثة مستويات باستخدام معكوس المصفوفة الرياضيات

ثلاثة مستويات معرفة بالمعادلات الآتية: ‪−3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 − 2 = 0‬‏، ‪4𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 + 1 = 0‬‏، ‪−4𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 4 = 0‬‏. أوجد نقطة تقاطع المستويات الثلاثة.

٠٧:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

ثلاثة مستويات معرفة بالمعادلات الآتية: سالب ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين ‪𝑧‬‏ ناقص اثنين يساوي صفرًا، وأربعة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝑧‬‏ زائد واحد يساوي صفرًا، وسالب أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة ‪𝑦‬‏ زائد ‪𝑧‬‏ ناقص أربعة يساوي صفرًا. أوجد نقطة تقاطع المستويات الثلاثة.

لدينا في هذا السؤال معادلات لثلاثة مستويات، ومطلوب منا إيجاد نقطة تقاطع هذه المستويات. وهي النقطة التي تتساوى عندها قيم ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏ في المستويات الثلاثة. وفي الواقع، لدينا نظام مكون من ثلاث معادلات خطية نريد حله لإيجاد قيم ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏. ولحل هذا النظام، علينا كتابته على صورة معادلة مصفوفية؛ حيث يكون لدينا مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة مضروبة في مصفوفة رتبتها ثلاثة في واحد تساوي مصفوفة رتبتها ثلاثة في واحد. ولكي نحصل على ذلك بالصورة الصحيحة، سننقل الثوابت إلى الطرف الأيمن.

بإضافة اثنين إلى طرفي المعادلة الأولى، يصبح لدينا سالب ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين ‪𝑧‬‏ يساوي اثنين. وبالمثل، في المعادلة الثانية، نطرح واحدًا من الطرفين. وفي المعادلة الثالثة، نضيف أربعة. ومن ثم، يمكننا، في الطرف الأيسر، تكوين المصفوفة ‪𝐴‬‏ التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة باستخدام معاملات ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏. المصفوفة ‪𝐮‬‏ التي لدينا هي مصفوفة العمود التي تحتوي على العناصر ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏. والمصفوفة ‪𝐯‬‏ في الطرف الأيمن هي مصفوفة العمود التي تحتوي على العناصر اثنين وسالب واحد وأربعة. وهذا يعطينا المعادلة المصفوفية ‪𝐴‬‏ مضروبًا في ‪𝐮‬‏ يساوي ‪𝐯‬‏. وبافتراض أن ‪𝐴‬‏ مصفوفة غير منفردة، أي أن لها معكوسًا، فسنستخدم طريقة معكوس المصفوفة لحل نظام المعادلات هذا.

وبداية، سنستخدم حقيقة أنه لأي مصفوفة ‪𝐴‬‏ غير منفردة، رتبتها ‪𝑛‬‏ في ‪𝑛‬‏، فإن معكوس ‪𝐴‬‏ مضروبًا في ‪𝐴‬‏ يساوي ‪𝐴‬‏ مضروبًا في معكوس ‪𝐴‬‏ يساوي مصفوفة الوحدة. وهي المصفوفة التي رتبتها ‪𝑛‬‏ في ‪𝑛‬‏، وجميع عناصرها تساوي صفرًا باستثناء عناصر القطر الرئيسي؛ إذ إن جميع عناصره تساوي واحدًا. بضرب الطرفين بدءًا من اليسار في معكوس ‪𝐴‬‏، نجد أن معكوس ‪𝐴‬‏ في ‪𝐴𝐮‬‏ يساوي معكوس ‪𝐴‬‏ في ‪𝐯‬‏. ونحن نعلم أن معكوس ‪𝐴‬‏ في ‪𝐴‬‏ هو مصفوفة الوحدة، ومن ثم يصبح لدينا في الطرف الأيسر ‪𝐼‬‏ مضروبًا في ‪𝐮‬‏. وفي الحقيقة، ‪𝐼‬‏ مضروبًا في ‪𝐮‬‏ يساوي ‪𝐮‬‏.

بذلك نكون قد جعلنا مصفوفة العمود ‪𝐮‬‏ فقط في الطرف الأيسر، التي تتضمن المجاهيل الثلاثة ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏. وفي الطرف الأيمن سيكون لدينا معكوس ‪𝐴‬‏ مضروبًا في ‪𝐯‬‏. هذا يعني أن علينا إيجاد معكوس ‪𝐴‬‏ لكي نحل المعادلة. ولفعل ذلك، سنستخدم طريقة المصفوفة الملحقة. وهي أنه لأي مصفوفة ‪𝐴‬‏ غير منفردة رتبتها ‪𝑛‬‏ في ‪𝑛‬‏، فإن معكوس ‪𝐴‬‏ يساوي واحدًا على محدد ‪𝐴‬‏ مضروبًا في المصفوفة الملحقة لـ ‪𝐴‬‏. ومن ثم، علينا إيجاد كل من محدد ‪𝐴‬‏ والمصفوفة الملحقة لـ ‪𝐴‬‏.

والآن وبعد أن نفرغ بعض المساحة، دعونا نبدأ بحساب قيمة محدد المصفوفة ‪𝐴‬‏. لفعل ذلك، سنفك باستخدام الصف الأول من ‪𝐴‬‏. وهذا يعطينا محدد المصفوفة ‪𝐴‬‏ يساوي العنصر ‪𝑎‬‏ واحدًا واحدًا مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى، التي رتبتها اثنان في اثنين، ‪𝐴‬‏ واحد واحد ناقص العنصر ‪𝑎‬‏ واحد اثنين مضروبًا في محدد مصفوفته الصغرى زائد العنصر ‪𝑎‬‏ واحد ثلاثة مضروبًا في محدد مصفوفته الصغرى.

إننا نعلم أن المصفوفة الصغرى ‪𝐴𝑖𝑗‬‏ هي المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين، والتي نحصل عليها بحذف الصف ‪𝑖‬‏ والعمود ‪𝑗‬‏ من المصفوفة ‪𝐴‬‏. إذن، في الحد الأول، لدينا العنصر ‪𝑎‬‏ واحد واحد، وهو سالب ثلاثة، مضروبًا في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين الناتجة عن حذف الصف واحد والعمود واحد من المصفوفة ‪𝐴‬‏ التي لدينا. وهو محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها هي سالب واحد، سالب ثلاثة، ثلاثة، واحد.

وبالمثل في الحدين الثاني والثالث؛ حيث يكون لدينا سالب العنصر ‪𝑎‬‏ واحد اثنين، أي سالب سالب واحد، زائد العنصر ‪𝑎‬‏ واحد ثلاثة، أي سالب اثنين، وكل منهما مضروب في محدد مصفوفته الصغرى المناظرة له. ومن ثم، علينا حساب محددات هذه المصفوفات التي رتبة كل منها اثنان في اثنين. ونحن نعلم أنه لأي مصفوفة ‪𝑀‬‏ رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها ‪𝑎‬‏، ‪𝑏‬‏، ‪𝑐‬‏، ‪𝑑‬‏، فإن محددها يساوي ‪𝑎𝑑‬‏ ناقص ‪𝑏𝑐‬‏.

إذن، في الحد الأول، يكون هذا المحدد مساويًا لسالب واحد مضروبًا في واحد ناقص سالب ثلاثة مضروبًا في ثلاثة، وينطبق الأمر نفسه على الحدين الثاني والثالث. في الحد الأول داخل القوسين، لدينا سالب واحد زائد تسعة، وهو ما يساوي ثمانية. وقيمة الحد الثاني سالب ثمانية، والحد الثالث سالب اثنين في ثمانية، إذن قيمة محدد المصفوفة ‪𝐴‬‏ هي سالب 48.

والآن، سنفرغ بعض المساحة ونكتب قيمة المحدد، ثم سنوجد المصفوفة الملحقة للمصفوفة ‪𝐴‬‏، مع تذكر أنها مدور مصفوفة العوامل المرافقة. هذا يعني بالطبع أن علينا إيجاد العوامل المرافقة؛ حيث العامل المرافق ‪𝐶𝑖𝑗‬‏ يساوي سالب واحد أس ‪𝑖‬‏ زائد ‪𝑗‬‏ مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ‪𝐴𝑖𝑗‬‏. نلاحظ هنا أن العامل سالب واحد مرفوعًا للقوة ‪𝑖‬‏ زائد ‪𝑗‬‏ يعطينا إشارة العامل المرافق، أي إذا ما كان سالبًا أم موجبًا. وإذا كانت المصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة، تكون هذه القيم هي: موجب، سالب، موجب، وسالب، موجب، سالب، وموجب، سالب، موجب.

لقد رأينا بالفعل ثلاثة من العوامل المرافقة عندما حسبنا قيمة محدد المصفوفة ‪𝐴‬‏. ‏‪𝐶‬‏ واحد واحد هو المحدد الموجب للمصفوفة الصغرى ‪𝐴‬‏ واحد واحد. وهو يساوي سالب واحد ناقص سالب تسعة، وهو ما يساوي ثمانية. وبالمثل، فإن ‪𝐶‬‏ واحد اثنين هو المحدد السالب للمصفوفة الصغرى ‪𝐴‬‏ واحد اثنين، و‪𝐶‬‏ واحد ثلاثة هو المحدد الموجب للمصفوفة الصغرى ‪𝐴‬‏ واحد ثلاثة. إذن، قيمة الحدود الثلاثة للصف الأول من العوامل المرافقة تساوي ثمانية.

والآن، دعونا نكتب باقي العوامل المرافقة مع الحرص على استخدام الإشارات الصحيحة. قيم حدود الصف الثاني من العوامل المرافقة هي سالب خمسة وسالب 11 و13. وقيم حدود الصف الثالث من العوامل المرافقة هي واحد وسالب 17 وسبعة. ومن ثم، فإن المصفوفة الملحقة لدينا هي مدور المصفوفة التي عناصرها هي: ثمانية، ثمانية، ثمانية، سالب خمسة، سالب 11، 13، واحد، سالب 17، سبعة.

دعونا نفرغ بعض المساحة، ونسترجع أن مدور أي مصفوفة هو المصفوفة الناتجة عن تبديل الصفوف والأعمدة معًا. ومن ثم، يصبح الصف الأول الذي يحتوي على العناصر ثمانية، ثمانية، ثمانية، هو العمود الأول. وبالمثل، فإن الصف الثاني يصبح العمود الثاني، والصف الثالث يصبح العمود الثالث. حسنًا، إننا في الواقع نريد إيجاد معكوس المصفوفة ‪𝐴‬‏، وهو يساوي واحدًا على محدد ‪𝐴‬‏ مضروبًا في المصفوفة الملحقة له. في الحالة لدينا، بما أن المحدد يساوي سالب 48، فإننا نجد أن واحدًا مقسومًا على سالب 48 مضروبًا في المصفوفة الملحقة يعطينا معكوس المصفوفة ‪𝐴‬‏.

دعونا نعوض بذلك في المعادلة. لدينا المعادلة: معكوس ‪𝐴‬‏ في ‪𝐯‬‏ يساوي ‪𝐮‬‏، وهي نفس المعادلة ‪𝐮‬‏ يساوي معكوس ‪𝐴‬‏ في ‪𝐯‬‏. وبعد تبديل الطرفين لتحقيق الاتساق مع الصيغة لدينا، سنضرب المصفوفتين بالطرف الأيمن معًا لحل هذه المعادلة. بضرب المصفوفتين بالطرف الأيمن، يصبح لدينا في الصف الأول ثمانية في اثنين زائد سالب خمسة في سالب واحد زائد واحد في أربعة، وسنتبع الطريقة نفسها في الصفين الثاني والثالث. وبحساب القيم بهذه الصفوف، يصبح لدينا سالب واحد على 48 مضروبًا في مصفوفة العمود التي بها العناصر 25، سالب 41، 31.

سنساوي ذلك بمصفوفة العمود الموجودة في الطرف الأيسر، والتي تحتوي على العناصر ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏؛ ليصبح لدينا ‪𝑥‬‏ يساوي سالب 25 على 48، و‪𝑦‬‏ يساوي سالب 41 في سالب واحد على 48، وهو ما يساوي 41 على 48، و‪𝑧‬‏ يساوي سالب 31 على 48. ومن ثم، تكون نقطة تقاطع المستويات الثلاثة المحددة بالمعادلات المعطاة هي النقطة التي إحداثياتها هي ‪𝑥‬‏ يساوي سالب 25 على 48، و‪𝑦‬‏ يساوي 41 على 48، و‪𝑧‬‏ يساوي سالب 31 على 48.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.