فيديو السؤال: إيجاد المشتقات الأولى للدوال التي تتضمن نسبًا مثلثية ودوال أسية ذات أساس طبيعي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي ﻫ أس ﺱ في جا سبعة ﺱ.

يخبرنا السؤال أن ﺹ يساوي ﻫ أس ﺱ في جا سبعة ﺱ. وعلينا إيجاد المشتقة الأولى لهذا التعبير لـ ﺹ. وبما أن ﺹ دالة في ﺱ، فهذا يعني أن علينا إيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا فعل ذلك من خلال ملاحظة أن ﺹ هو حاصل ضرب دالتين. والدالتان هما ﻫ أس ﺱ مضروبة في جا سبعة ﺱ. في الواقع، هو حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق. ونحن نعرف كيفية إيجاد مشتقة كل منهما.

حسنًا، يمكننا اشتقاق هذا باستخدام قاعدة الضرب. نتذكر أن قاعدة الضرب تنص على أنه للدالتين القابلتين للاشتقاق د ﺱ ور ﺱ، فإن مشتقة د ﺱ مضروبة في ر ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي د شرطة ﺱ في ر ﺱ زائد ر شرطة ﺱ في د ﺱ. في هذه الحالة، نريد إيجاد المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وهذا يعني مشتقة ﻫ أس ﺱ مضروبة في جا سبعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة الضرب. علينا أن نجعل د ﺱ تساوي ﻫ أس ﺱ ور ﺱ تساوي جا سبعة ﺱ. وهذا يعني أن علينا إيجاد تعبيرين لـ د شرطة ﺱ ور شرطة ﺱ. دعونا نبدأ بـ د شرطة ﺱ. وهذه هي مشتقة ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا إيجاد تعبير لها بتذكر أن مشتقة الدالة الأسية ﻫ أس ﺱ تساوي الدالة نفسها، ﻫ أس ﺱ.

إذن د شرطة ﺱ تساوي ﻫ أس ﺱ. والآن، علينا إيجاد تعبير لـ ر شرطة ﺱ. وهذه هي مشتقة جا سبعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ولنفعل ذلك، علينا أن نتذكر إحدى نتائج المشتقات المثلثية القياسية. وهي أنه لأي ثابت حقيقي ﺃ، فإن مشتقة جا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في جتا ﺃﺱ. في هذه الحالة، قيمة ﺃ تساوي سبعة. إذن، نحصل على ر شرطة ﺱ تساوي سبعة في جتا سبعة ﺱ.

نحن الآن مستعدون لإيجاد المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة الضرب. وهي تساوي د شرطة ﺱ في ر ﺱ زائد ر شرطة ﺱ في د ﺱ. بالتعويض بتعبيرات د ﺱ، ور ﺱ، ود شرطة ﺱ، ور شرطة ﺱ، نحصل على ﺹ شرطة يساوي ﻫ أس ﺱ في جا سبعة ﺱ زائد سبعة في جتا سبعة ﺱ مضروبًا في ﻫ أس ﺱ.

يمكننا أن نترك الناتج على هذه الصورة أو يمكننا إخراج العامل المشترك ﻫ أس ﺱ. ولكننا بدلًا من ذلك سنترك هذا الجزء على صورة حدين، ونكتب ﻫ أس ﺱ في بداية الحد الثاني منهما. وسنفعل ذلك لتجنب الخلط بين جتا سبعة ﺱ الكل مضروبًا في ﻫ أس ﺱ وبين جتا سبعة ﺱ في ﻫ أس ﺱ. وسيعطينا هذا الإجابة النهائية.

إذن، بمعلومية أن ﺹ يساوي ﻫ أس ﺱ في جا سبعة ﺱ، تمكننا من إيجاد المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة الضرب. ووجدنا أن ﺹ شرطة يساوي ﻫ أس ﺱ في جا سبعة ﺱ زائد سبعة ﻫ أس ﺱ مضروبًا في جتا سبعة ﺱ.