نسخة الفيديو النصية
استخدم المشتقات لتحديد التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي سالب ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد واحد مما يلي.
لدينا خمسة تمثيلات بيانية محتملة للدالة، ويمكننا استبعاد بعض الخيارات بمعلومية أن الدالة تكعيبية وأن معامل ﺱ تكعيب قيمته سالبة. هذا يعني أنه عندما يقترب ﺱ من سالب ∞، تقترب الدالة من موجب ∞، وعندما يقترب ﺱ من موجب ∞، تقترب الدالة من سالب ∞. نستنتج من ذلك أن أحد الخيارين د أو هـ هو الإجابة الصحيحة. يمكننا بعد ذلك إيجاد نقاط التقاطع مع المحور ﺱ بمساواة ﺩﺱ بالصفر وحل الدالة التكعيبية. وبناء على عدد الحلول الحقيقية الموجودة، يمكننا بعد ذلك تحديد إذا ما كان التمثيل البياني ﺩ أو ﻫ صحيحًا.
على الرغم من أن هذه الطريقة صحيحة تمامًا، فمطلوب منا في هذا السؤال استخدام المشتقات. نعلم أنه بإمكاننا استخدام الاشتقاق لإيجاد النقاط الحرجة لدالة، وبناء عليه نحدد التمثيل البياني الصحيح. تظهر النقاط الحرجة لدالة عندما تكون مشتقتها الأولى ﺩ شرطة ﺱ مساوية للصفر أو غير موجودة. وبما أن الدالة ﺩﺱ دالة تكعيبية كثيرة حدود، فإن مشتقتها معرفة لجميع قيم ﺱ. ومن ثم، فلا داع للقلق بشأن النقاط المحتملة التي قد تكون فيها المشتقة غير موجودة.
يمكننا الحصول على تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. عند اشتقاق كل حد على حدة، نضرب في الأس الأصلي ثم نطرح واحدًا من الأس. هذا يعطينا ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ ناقص تسعة، علمًا بأن اشتقاق أي ثابت يساوي صفرًا.
بعد ذلك، علينا أن نساوي التعبير ﺩ شرطة ﺱ بالصفر. بقسمة الطرفين على سالب ثلاثة، تبسط هذه المعادلة إلى ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا. ويمكن تحليل الدالة التربيعية في الطرف الأيمن إلى مجموعتين من الأقواس. نحصل بذلك على ﺱ ناقص واحد مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة. وذلك لأن حاصل ضرب سالب واحد في سالب ثلاثة يساوي ثلاثة ومجموعهما يساوي سالب أربعة. وبما أن حاصل ضرب العاملين يساوي صفرًا، فلا بد أن أحد العاملين أو كليهما يساوي صفرًا. لدينا إذن ﺱ يساوي واحدًا أو ﺱ يساوي ثلاثة. نستنتج من ذلك أن إحداثيي ﺱ للقيمتين الحرجتين للدالة لدينا هما ﺱ يساوي واحدًا وﺱ يساوي ثلاثة. وهذا ينطبق على التمثيلات البيانية ﺏ وﺟ وﺩ.
بعد أن استنتجنا من شكلي التمثيلين البيانيين ﺏ وﺟ أنهما ليسا الإجابة الصحيحة، يمكننا التأكد من أن التمثيل البياني ﺩ هو الإجابة الصحيحة من خلال التعويض بقيمتي ﺱ في الدالة. نحصل بذلك على إحداثيي 𝑦 للنقطتين الحرجتين. أولًا، سنحسب قيمة ﺩ لواحد. هذا يساوي سالب واحد تكعيب زائد ستة مضروبًا في واحد تربيع ناقص تسعة مضروبًا في واحد زائد واحد، ما يساوي سالب ثلاثة.
بالتعويض عن ﺱ بثلاثة في ﺩﺱ، نحصل على ﺩ لثلاثة تساوي سالب ثلاثة تكعيب زائد ستة مضروبًا في ثلاثة تربيع ناقص تسعة مضروبًا في ثلاثة زائد واحد. وهذا يساوي واحدًا. النقطتان الحرجتان في التمثيل البياني إحداثياتهما واحد، سالب ثلاثة، وثلاثة، واحد. وهذا يناظر بالفعل التمثيل البياني ﺩ. نستنتج من ذلك أن هذا الخيار هو التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي سالب ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد واحد.
على الرغم من أن السؤال لا يطلب منا ذلك، يمكننا إجراء خطوة إضافية والتأكد من أن النقطتين واحد، سالب ثلاثة، وثلاثة، واحد هما نقطة قيمة صغرى محلية ونقطة قيمة عظمى محلية، على الترتيب. ويمكننا فعل ذلك بالنظر إلى المشتقة الثانية للدالة لدينا. إذا كانت المشتقة الثانية عند هذه النقطة موجبة، فلدينا قيمة صغرى محلية. وإذا كانت المشتقة الثانية سالبة، فلدينا قيمة عظمى محلية.
