فيديو: حل نظام من معادلتين خطيتين باستخدام التعويض

يوضح الفيديو طريقة حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين باستخدام التعويض، وتوضيح متى يكون للنظام عدد لا نهائي للحلول، أو ليس له حل.

١٤:٣٧

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض.

إحدى طرق إيجاد الحل الدقيق لنظام المعادلات، بيكون عن طريق التعويض. وده له الخطوات الآتية.

الحل بالتعويض: أول خطوة فيه حل إحدى المعادلتين على الأقل، باستخدام أحد المتغيرين إذا كان ذلك ضروريًّا. يعني هيبقى عندنا معادلتين فيهم مجهولين. كل متغيّر فيهم ده ممكن نجيبه بمعلومية التاني. لو إحنا عرفنا نوصل نجيب متغيّر بشكل المتغيّر التاني، يبقى هو ده حل إحدى المعادلتين. لو جابها لنا مباشرةً؛ يعني جاب لنا قيمة متغيّر يساوي قيمة المتغيّر التاني زائد الـ … زائد أرقام، يبقى معنى كده إن هو ده برضو الحل.

تاني خطوة عندنا نعوّض بالمقدار اللي طلعناه من الخطوة الأولانية في المعادلة التانية. بعدين نحلها. طبعًا إحنا في المعادلة الأولانية، لو كان عندنا مثلًا المتغيران همّ س وَ ص، وحلينا إحدى المعادلتين. يعني جِبنا س بمعلومية حاجة فيها ص. الناتج اللي طلع لنا ده، اللي هو س تساوي كذه، هناخده ونحطه في المعادلة التانية. وبكده هتبقى المعادلة كلها فيها ص تساوي مثلًا أرقام هنا. يبقى بعد كده نحل نجيب قيمة الـ ص، وبعد كده ناخد الـ ص دي نعوّض بيها في المعادلة نجيب بيها قيمة الـ س. وهي دي آخر خطوة معانا، اللي هي بتقول نعوّض بالقيمة الناتجة من الخطوة اتنين في أي من المعادلتين. ونحلها لإيجاد قيمة المتغيّر التاني. وبعدين نكتب الحل في صورة زوج مرتب.

يعني لو عندنا مثال بيقول لنا: استعمل التعويض لحل النظام ص يساوي اتنين س زائد واحد، وتلاتة س زائد ص يساوي سالب تسعة. أول خطوة عندنا نحل المعادلتين، ونجيب متغيّر بمعلومية المتغيّر التاني. هنا هو مديلنا مباشرةً الـ ص متعرّفة بمعلومية الـ س. يبقى هناخد قيمة الـ ص دي، ونعوّض بيها في المعادلة التانية. يعني هيبقى عندنا الحل تلاتة س زائد قيمة الـ ص بمعلومية الـ س. يبقى اتنين س زائد واحد، هتساوي سالب تسعة.

يبقى كده أول خطوة جبنا الـ ص تساوي معلومية حاجة في س. تاني خطوة نعوّض بالمقدار اللي طلعناه، اللي هو المفروض اللي هو الـ ص يساوي القيمة دي، اللي هو كان مديهولنا مباشرةً. نحطه في المعادلة التانية مكان قيمة الـ ص. يبقى هنعوّض تلاتة س زائد اتنين س زائد واحد، تساوي سالب تسعة. هنبسّط المعادلة دي، هتبقى خمسة س سالب عشرة. يبقى الـ س هتساوي سالب اتنين. يبقى كده جبنا قيمة الـ س، هناخدها ونعوّض بيها في المعادلة الأولانية اللي هي هتجيب لنا مباشرةً قيمة الـ ص. يبقى الـ ص هتساوي اتنين في قيمة الـ س اللي إحنا طلعناها اللي هي سالب اتنين، زائد الواحد. يبقى كده الـ ص تساوي سالب تلاتة. يبقى الحل هو الزوج مرتب سالب اتنين وسالب تلاتة.

لو جينا مثّلنا الكلام ده بيانيًّا. المعادلتين دول هنرسمهم عَ الرسم البياني. ونشوف هل الحل ده، اللي هو السالب اتنين وسالب تلاتة، هو فعلًا يمثّل حل المعادلتين يعني نقطة تقاطع المستقيمين ولّا لأ. في الشكل اللي قدامنا، نقطة تقاطع الخطين جت عند النقطة سالب اتنين وسالب تلاتة. وهو ده فعلًا الحل بتاعنا.

هنا في المثال ده ادّى نا مباشرةً إن الـ ص تساوي اتنين س زائد الواحد. يعني كان حالل لنا قيمة الـ ص. طيب لو ما جابلناش الـ ص مباشرةً تساوي حاجة في س، هنعمل إيه؟ ده اللي هنشوفه في المثال الجاي.

نقلب الصفحة وناخد المثال.

المثال بيقول: حل باستخدام التعويض: س زائد اتنين ص يساوي ستة، تلاتة س ناقص أربعة ص يساوي تمنية وعشرين.

أول خطوة في الحل إن إحنا هنحل إحدى المعادلتين باستخدام أحد المتغيرين. يعني هنجيب قيمة الـ س بمعلومية الـ ص مثلًا. أو نجيب قيمة الـ ص بمعلومية الـ س. هنا في النظام ده هنخلّي الـ س هي اللي بمعلومية الـ ص. علشان نعمل الكلام ده هناخد المعادلة الأولى، اللي هي الـ س زائد اتنين ص يساوي ستة. هنطرح سالب اتنين ص من الطرفين، يبقى س تساوي … اتنين ص هتروح مع سالب اتنين ص، هيتبقّى لنا ستة ناقص اتنين ص. يبقى كده حلّينا المعادلة دي، وجبنا قيمة الـ س بمعلومية الـ ص.

يبقى أول خطوة في الحل، اللي هي حل باستخدام أحد المتغيرين.

تاني خطوة في الحل، هنعوّض بالقيمة اللي طلعت من الخطوة واحد. فين؟ في المعادلة التانية اللي إحنا ما استخدمناهاش. يبقى المعادلة التانية اللي هو ادهالنا. تلاتة … س هنحط قيمتها اللي إحنا طلعناها من الخطوة الأولى. يبقى الستة ناقص اتنين ص، ناقص أربعة ص زي ما هي، تساوي تمنية وعشرين.

هنبسّط المعادلة. هنضرب التلاتة في ستة ناقص اتنين ص. يبقى تمنتاشر ناقص ستة ص ناقص أربعة ص هتساوي تمنية وعشرين. هنجمع الحدود المتشابهة، اللي هي فيها الـ ص. وهنطرح سالب تمنتاشر من الطرفين. يبقى سالب عشرة ص هتساوي عشرة. يبقى الـ ص هتساوي سالب واحد. يبقى هي دي قيمة الـ ص.

بعد كده في الخطوة التالتة هنعوّض بقيمة الـ ص اللي طلعناها في أي من المعادلتين اللي عندنا. ونجيب قيمة المتغيّر التاني. يبقى لو عوضنا بالـ ص تساوي سالب واحد في المعادلة الأولى. يبقى س زائد اتنين في سالب واحد هتساوي ستة. يبقى س هتساوي ستة زائد اتنين تساوي تمنية. يبقى كده الحل بتاعنا هيبقى الزوج المرتب تمنية وسالب واحد.

في نفس المثال ده كان ممكن ناخد الـ ص، هي اللي في أول خطوة نحلها ونجيبها بمعلومية الـ س. وبعد كده نعوّض بمعلومية الـ س، ونجيب قيمة الـ س الأول، وبعدين نجيب قيمة الـ ص. ليه ما عملناش كده هنا في المثال ده؟ لأن الـ س هنا كان معاملها بيساوي واحد. فكان الأسهل لينا إن إحنا نجيب الـ س هي اللي بمعلومية الـ ص.

يبقى استخدمنا الخطوة الأولى دي علشان ما كانش الـ س في طرف والـ ص في الطرف التاني. يعني ماكانتش بصيغة المعادلة، اللي هي ص يساوي م س زائد ب، اللي هي فيها الميل والمقطع. ده الميل، وده المقطع. لو كانت جاية لنا بالصيغة بتاعة الميل والمقطع، فكان مباشرةً بناخد القيمة اللي هنا دي، ونعوّض بيها في المعادلة التانية. ونجيب على طول قيمة المعامل أو المتغيّر التاني.

هنا المعادلتين دول كان لهم حل وحيد مباشرةً جبناه. فيه معادلات لما بنيجي نحلها بيطلع فيه خطأ في المعادلة، أو بيطلع لها نواتج متطابقة. وده اللي هنشوفه في المثال الجاي.

نقلب الصفحة وناخد مثال.

في المثال: حل النظام الآتي بالتعويض: ص يساوي اتنين س ناقص أربعة، وسالب ستة س زائد تلاتة ص يساوي سالب اتناشر.

أول خطوة اللي هي الحل لإيجاد متغيّر بقيمة المتغيّر التاني، مش موجودة معانا لأن هو مباشرًا جايب لنا قيمة الـ ص تساوي اتنين س ناقص أربعة. يبقى هنبدأ من الخطوة رقم اتنين، اللي هي إن إحنا هنعوّض بقيمة الـ ص في المعادلة التانية. ونشوف قيمة الـ س هتبقى بكام.

يبقى سالب ستة س، زائد تلاتة في قيمة الـ ص، اللي هي من المعادلة الأولانية اتنين س ناقص الأربعة تساوي سالب اتناشر. هنحل لإيجاد قيمة الـ س. هنلاقي إن سالب ستة س زائد ستة س ناقص اتناشر، هتساوي سالب اتناشر. هنحذف المقدار ده مع المقدار ده؛ لأن همّ متساويين. يبقى سالب اتناشر طلعت تساوي سالب اتناشر. ده معناه إيه؟ إن ده تُشكِّل متطابقة. يبقى يوجد عدد لا نهائي من الحلول؛ لأن في النظام غير المستقل بيحصل عندنا عدد لا نهائي من الحلول. طيب النظامين دول كانوا غير مستقلين إزَّاي؟ لو جينا كتبناهم بصيغة المقطع والميل. المعادلة الأولانية، هتبقى اتنين س ناقص ص تساوي أربعة. المعادلة التانية هتبقى سالب ستة س زائد تلاتة ص يساوي سالب اتناشر.

لو جينا قسمنا المعادلة التانية على سالب تلاتة، هنلاقيها هي بالظبط المعادلة الأولانية. يعني هتبقى هنقسمها على سالب تلاتة. هتبقى اتنين س ناقص ص تساوي أربعة، وهي بالظبط متطابقة مع المعادلة الأولانية. علشان كده طلعت النتيجة بالشكل ده. يبقى عدد لا نهائي من الحلول. لو كانت نتيجة حل النظام من معادلتين جملة خطأ. يعني مثلًا تلاتة تساوي سالب اتنين. يبقى كده لا يوجد حل للنظام إذا كانت هذه نتيجة حل النظام.

من الممكن عندنا إن إحنا نستعمل التعويض لحل مسألة من الحياة، اللي هي بيبقى فيها نظام من معادلتين. نقلب الصفحة وناخد مثال عَ الكلام ده.

في المثال: باع متجر أجهزة تليفزيونات وسماعات عددها مية خمسة وعشرين جهاز، بسعر مية وأربعة جنيه وخمسة وتسعين قرش لجهاز التليفزيون الواحد. وتمنتاشر جنيه وخمسة وتسعين قرش للسماعة الواحدة. فإذا كان ثمن مبيعاته من هذه الأجهزة ست آلاف تسعمية ستة وعشرين وخمسة وسبعين قرش. فكم جهازًا باع من كل نوع؟

إحنا هنا عندنا متغيرين، اللي هو عدد أجهزة التليفزيونات، وتاني حاجة اللي هو السماعات. عايزين نشوف عدد التليفزيونات كام، وعدد السماعات كام. فهنرمز للرمز بتاع التلفزيونات بالـ ت والسماعات بالـ س. سعر كل واحدة فيهم مية وأربعة جنيه خمسة وتسعين للتليفزيون، وتمنتاشر جنيه وخمسة وتسعين قرش للسماعة.

أول حاجة هو قال لنا إنه باع مية خمسة وعشرين جهاز؛ يعني الـ ت زائد الـ س تساوي مية خمسة وعشرين. تاني حاجة قال إن ثمن المبيعات من الأجهزة هي ده. يعني عدد الـ ت اللي هيبيعها زائد الـ س اللي هيبيعها، مضروبة في السعر، لما هنجمعهم على بعض هيدينا ست آلاف تسعمية ستة وعشرين وخمسة وسبعين قرش.

يبقى المعادلة التانية مية وأربعة وخمسة وتسعين، مضروبة في الـ ت. زائد تمنتاشر وخمسة وتسعين، مضروبة في الـ س هتساوي ست آلاف تسعمية ستة وعشرين وخمسة وسبعين قرش. يبقى كده عندنا المعادلتين. أول حاجة. أول خطوة عشان نعرف نحلهم إن إحنا هنحل متغيّر باستخدام المتغيّر الآخر. في المعادلة الأولانية هنخلي الـ ت هي اللي في طرف والـ س في الطرف التاني. يبقى الـ ت هتساوي مية خمسة وعشرين ناقص الـ س.

تاني خطوة هنعوّض بالمقدار الناتج من الخطوة الأولى في المعادلة التانية، ثم هنحلها. يعني هنحط قيمة الـ ت في المعادلة التانية بمية خمسة وعشرين ناقص الـ س. هنصفي المعادلة هيطلع لنا سالب ستة وتمانين س تساوي سالب ست آلاف مية اتنين وتسعين. ومنها الـ س هتساوي اتنين وسبعين.

تالت خطوة عندنا: هنعوّض بقيمة الـ س اللي طلعناها اللي هي اتنين وسبعين في إحدى المعادلتين. وطبعًا الأسهل لينا إن إحنا نعوّض في المعادلة الأولانية، اللي هي الـ ت زائد س يساوي مية خمسة وعشرين. يبقى الـ ت هتساوي مية خمسة وعشرين ناقص اتنين وسبعين تساوي تلاتة و [خمسين]. يبقى كده المتجر باع تلاتة وخمسين تليفزيون واتنين وسبعين سماعة.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده إزَّاي هنحل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض. وإمتى هيكون عندنا عدد لا نهائي من الحلول. وإمتى هيكون عندنا حل وحيد. وإمتى هيكون لايوجد حل. وكتبنا تلاتة خطوات لطريقة الحل بالتعويض.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.