فيديو السؤال: إيجاد أقصى مساحة لمستطيل بمعلومية مجموع ثلاثة من أضلاعه الرياضيات

أراد مزارع تحديد قطعة مستطيلة الشكل من أرضه محاطة من جهة واحدة بحائط موجود سلفًا. أوجد لأقرب جزء من ألف أقصى مساحة يمكن أن يحصل عليها إذا كان معه سياج طوله ١٧٧ مترًا ليحيط به الجوانب الثلاثة الأخرى.

٠٥:٢٩

‏نسخة الفيديو النصية

أراد مزارع تحديد قطعة مستطيلة الشكل من أرضه محاطة من جهة واحدة بحائط موجود سلفًا. أوجد لأقرب جزء من ألف أقصى مساحة يمكن أن يحصل عليها إذا كان معه سياج طوله ١٧٧ مترًا ليحيط به الجوانب الثلاثة الأخرى.

دعونا نتأمل هذا الرسم. لدى هذا المزارع أرض عليها حائط، ولديه سياج طوله ثابت، وهو ١٧٧ مترًا، وسيستخدمه ليحيط به قطعة مستطيلة الشكل مقابلة لهذا الحائط. يريد المزارع تحديد طول وعرض هذه القطعة المستطيلة؛ بحيث يحيط أقصى مساحة ممكنة من الأرض. نعرف أن مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب طوله في عرضه. إذن، علينا إيجاد القيمة العظمى للدالة ﻡ يساوي ﻝﻉ. ولكن أيضًا لدينا شرط. وهو أن إجمالي طول السياج، الذي يساوي ضعف الطول زائد العرض، يجب أن يساوي ١٧٧، وتذكر أن الحائط يمثل أحد جوانب قطعة الأرض المستطيلة. أي إن لدينا إحدى مسائل إيجاد الحل الأمثل لدالة. حيث لدينا دالة نريد إيجاد القيمة العظمى لها، مع مراعاة شرط معطى.

لإيجاد القيمة العظمى لهذه المساحة من الأرض، علينا إيجاد النقاط الحرجة للدالة ﻡ. لكن قبل أن نفعل ذلك، علينا أن نعبر عن ﻡ بدلالة متغير واحد فقط، إما طول قطعة الأرض وإما عرضها. يمكننا إعادة ترتيب هذا الشرط ليصبح ﻉ يساوي ١٧٧ ناقص اثنين ﻝ. وبالتعويض بهذا المقدار عن ﻉ في صيغة ﻡ، نجد أن ﻡ يساوي ﻝ مضروبًا في ١٧٧ ناقص اثنين ﻝ. وبفك زوج الأقواس، يصبح لدينا: ‎١٧٧ﻝ ناقص اثنين ﻝ تربيع. والآن، أصبح لدينا مقدار يعبر عن ﻡ بدلالة ﻝ فقط.

قلنا إننا إذا أردنا إيجاد القيمة العظمى لـ ﻡ، فعلينا إيجاد النقاط الحرجة لها. نسترجع أولًا أن النقاط الحرجة لدالة تقع عندما تساوي المشتقة الأولى للدالة صفرًا، أو تكون غير معرفة. إذن، علينا إيجاد مشتقة ﻡ بالنسبة إلى ﻝ. ويمكننا هنا تطبيق قاعدة القوة للاشتقاق. ومن هذا نجد أن ﺩﻡ على ﺩﻝ يساوي ١٧٧ ناقص اثنين مضروبًا في اثنين ﻝ. وهو ما يساوي ١٧٧ ناقص أربعة ﻝ. بعد ذلك، نجعل المشتقة الأولى تساوي صفرًا، ونحل لإيجاد قيمة ﻝ. نضيف أربعة ﻝ لكلا الطرفين، ثم نقسم على أربعة، وهو ما يعطينا: ﻝ يساوي ١٧٧ على أربعة، أو ٤٤٫٢٥ على الصورة العشرية.

فنعرف إذن أن الدالة ﻡ لها نقطة حرجة عند قيمة ﻝ هذه. لكن ثمة شيئين آخرين علينا أن نفعلهما. أولًا، علينا إيجاد مساحة قطعة الأرض بالتعويض بقيمة ﻝ هذه في التعبير الدال على ﻡ، وهو ما يعطينا ٤٤٫٢٥ مضروبًا في ١٧٧ ناقص اثنين في ٤٤٫٢٥، وهو ما يساوي ٣٩١٦٫١٢٥ بالضبط. إذن، نعرف أن هذه نقطة حرجة للدالة ﻡ. ولكن علينا التأكد من أنها تمثل قيمة عظمى بالفعل. ولنفعل ذلك، علينا تطبيق اختبار المشتقة الثانية.

تذكر أن المشتقة الأولى ﺩﻡ على ﺩﻝ تساوي ١٧٧ ناقص أربعة ﻝ. إذن، بالاشتقاق مرة أخرى بالنسبة إلى ﻝ يصبح لدينا ﺩ اثنين ﻡ على ﺩﻝ تربيع يساوي سالب أربعة. والآن، في الواقع لسنا بحاجة إلى إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند ﻝ يساوي ٤٤٫٢٥؛ لأن المشتقة الثانية ثابتة. وهي واحدة لجميع قيم ﻝ. لكن الشيء المهم الذي يجب ملاحظته هو أن المشتقة الثانية سالب أربعة أصغر من صفر. وينص اختبار المشتقة الثانية على أنه إذا كانت المشتقة الثانية للدالة سالبة عند نقطة حرجة، فإن هذه النقطة الحرجة تمثل قيمة عظمى محلية.

وبهذا نكون قد تأكدنا من أن هذه المساحة هي بالفعل أقصى مساحة يمكن للمزارع أن يحيطها باستخدام سياج طوله ١٧٧ مترًا. إذن إجابتنا عن المسألة هي إن أقصى مساحة يمكن أن يحيطها المزارع بالسياج الثابت الطول هي ٣٩١٦٫١٢٥ مترًا مربعًا. وهذا الناتج مقرب بالفعل لأقرب جزء من ألف، كما هو مطلوب في السؤال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.