فيديو السؤال: إيجاد معادلتي مماسين لدائرة معطاة حيث يكونان زاوية معطاة مع محور إحداثيات الرياضيات

أوجد معادلتي المماسين للدائرة ﺱ^٢ + ﺹ^٢ = ١٢٥، اللذين يميلان على الجزء الموجب للمحور ﺱ بزاوية ظلها ٢.

٠٩:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلتي المماسين للدائرة ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ١٢٥، اللذين يميلان على الجزء الموجب للمحور ﺱ بزاوية ظلها اثنان.

حسنًا، دعونا نفكر فيما نعرفه هنا بالفعل. الدائرة التي معادلتها ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ١٢٥ يقع مركزها عند نقطة الأصل صفر، صفر. ليس من الضروري على الإطلاق أن نعرف أن نصف قطرها يساوي الجذر التربيعي لـ ١٢٥، أو خمسة جذر خمسة وحدة. ما يعنينا فعليًّا هو إيجاد معادلتي المماسين للدائرة، اللذين يميلان على الجزء الموجب من المحور ﺱ بزاوية ظلها يساوي اثنين. وقد يبدوان بهذا الشكل.

لكن ما معنى أنهما يميلان على الجزء الموجب من المحور ﺱ بزاوية ظلها يساوي اثنين؟ سنفترض أن الزاوية هي 𝜃. بالتفكير في المثلث القائم الزاوية، نجد أن نسبة الظل تربط الضلع المقابل في هذا المثلث بالضلع المجاور. وعلى وجه التحديد، ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. وهذا يعني أن نسبة طول الضلع المقابل إلى طول الضلع المجاور تساوي اثنين. يمكننا إذن قول إن الضلع المقابل يساوي وحدتي طول، والضلع المجاور يساوي وحدة واحدة. ومن ثم، فإن طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور يساوي اثنين كما هو مطلوب.

وبالطبع، كان يمكن أن يكون لدينا أي مضاعفات لهاتين القيمتين، لكننا سنتناول السبب وراء كون هذا الخيار هو الأفضل بعد قليل. والآن، بما أن المماسين هما خطان مستقيمان، فهذا يعني أننا يمكننا استخدام الصيغة ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد لإيجاد معادلتيهما. حسنًا، ﻡ هو ميل المستقيم، وﺱ واحد، ﺹ واحد هي النقطة التي يمران بها. لكن بالطبع يمكن إيجاد ﻡ، أي الميل، بحساب فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات، أو التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ. في الحالة لدينا، يمكننا ملاحظة أن التغير في ﺹ يساوي اثنين والتغير في ﺱ يساوي واحدًا. إذن، ميل المستقيم يساوي اثنين مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي اثنين.

ليس من قبيل المصادفة أن ميل المماسين يساوي قيمة ظل الزاوية التي يميلان عندها. بوجه عام، ميل المستقيم يساوي ظل زاوية الميل. ونحن في الواقع لدينا ميل المستقيمين، وهو اثنان. لكن علينا إيجاد النقطتين اللتين يمران بهما. إذن، سنعود إلى معادلة الدائرة، وهي ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ١٢٥.

نحن نعلم أنه بمعلومية معادلة منحنى، يمكننا إيجاد ميل المنحنى عند نقطة معينة من خلال إيجاد قيمة المشتقة. إذن ما سنفعله هو إيجاد دالة المشتقة لمعادلة الدائرة ثم مساواتها باثنين. وهذا سيعطينا النقطتين اللتين يمس عندهما المماسان الدائرة. كيف يمكننا إذن اشتقاق المعادلة ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ١٢٥؟ سنفعل ذلك حدًّا تلو الآخر. في البداية، دعونا نشتق ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. باستخدام القاعدة العامة للقوة للاشتقاق، نضرب في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. إذن، المشتقة تساوي اثنين ﺱ.

لكن ماذا عن مشتقة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺱ؟ سنستخدم هنا الاشتقاق الضمني. هذه صورة خاصة من قاعدة السلسلة. إننا نشتق بالنسبة إلى ﺹ ثم نضرب في ﺩﺹ على ﺩﺱ. مشتقة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺹ تساوي اثنين ﺹ. إذن، عند اشتقاق ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على اثنين ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وفي الطرف الأيسر، مشتقة ١٢٥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي صفرًا. إذن، تعبير المشتقة هو اثنان ﺱ زائد اثنين ﺹ دﺹ على ﺩﺱ يساوي صفرًا.

دعونا نقسم الطرفين على اثنين، ثم نجعل ﺩﺹ على ﺩﺱ المتغير التابع. يمكننا طرح ﺱ من الطرفين، ثم قسمة الطرفين على ﺹ. وهذا يعطينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ﺱ على ﺹ. إننا نريد إيجاد النقطتين اللتين يكون عندهما الميل يساوي اثنين؛ لأن هذا هو ميل المماسين لدينا. لذا، سنجعل ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين. إذن، اثنان يساوي سالب ﺱ على ﺹ. وإذا أعدنا ترتيب المعادلة لجعل ﺱ المتغير التابع، ثم ضربنا في ﺹ ثم في سالب واحد، فسنحصل على سالب اثنين ﺹ يساوي ﺱ.

وهذا يوضح لنا العلاقة بين قيمتي ﺱ وﺹ عند النقطتين اللتين يلتقي عندهما المستقيمان بالدائرة. وهذا يعني أنه يمكننا التعويض بذلك في معادلة الدائرة، وسنوجد النقطتين اللتين تلتقيان عندهما. بالتعويض عن ﺱ بسالب اثنين ﺹ، تصبح المعادلة لدينا سالب اثنين ﺹ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ١٢٥. سالب اثنين ﺹ تربيع يساوي أربعة ﺹ تربيع، ومن ثم يصبح الطرف الأيمن خمسة ﺹ تربيع. وبعد ذلك، نقسم الطرفين على خمسة. إذن، ﺹ تربيع يساوي ٢٥.

خطوتنا الأخيرة ستكون أخذ الجذر التربيعي للطرفين. وعلينا هنا أن نأخذ في الاعتبار كلًّا من الجذر التربيعي الموجب والسالب لـ ٢٥. وبما أن الجذر التربيعي لـ ٢٥ هو خمسة، فيمكننا قول إن ﺹ لا بد أن يساوي موجب أو سالب خمسة. بعد ذلك، يمكننا التعويض بهذا في المعادلة ﺱ يساوي سالب اثنين ﺹ لإيجاد قيمتي ﺱ المناظرتين. عندما نفعل ذلك، نجد أن ﺱ يساوي سالب أو موجب ١٠. بعبارة أخرى، يمر المماسان بالنقطتين ١٠، سالب خمسة وسالب ١٠، خمسة.

لدينا الآن النقطتان اللتان يمر بهما المماسان وقيمة ميلهما. ومن ثم، يمكننا التعويض بذلك في معادلة الخط المستقيم. سنبدأ بالنقطة ١٠، سالب خمسة -وهي هذه النقطة هنا- حيث يكون لدينا ﺹ ناقص سالب خمسة يساوي اثنين في ﺱ ناقص ١٠. وبتوزيع الأقواس، نحصل على ﺹ زائد خمسة يساوي اثنين ﺱ ناقص ٢٠. وبطرح اثنين ﺱ وإضافة ٢٠، نجد أن معادلة المستقيم الأول هي ﺹ ناقص اثنين ﺱ زائد ٢٥ يساوي صفرًا.

دعونا نكرر ذلك مع النقطة سالب ١٠، خمسة؛ أي هذه النقطة. بالتعويض، نحصل على ﺹ ناقص خمسة يساوي اثنين في ﺱ ناقص سالب ١٠. هذا يعطينا ﺹ ناقص خمسة يساوي اثنين ﺱ زائد ٢٠. وبإعادة ترتيب المعادلة هنا، نجد أن معادلة هذا المستقيم هي ﺹ ناقص اثنين ﺱ ناقص ٢٥ يساوي صفرًا. إذن، المعادلتان هما ﺹ ناقص اثنين ﺱ زائد ٢٥ يساوي صفرًا، وﺹ ناقص اثنين ﺱ ناقص ٢٥ يساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.