فيديو السؤال: إيجاد معادلة المماس لمنحنى دالة معرفة ضمنيًّا بمعلومية ميل المماس الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة المماس للمنحنى تسعة ﺹ تربيع يساوي سالب سبعة ﺱ زائد تسعة إذا كان ميله سبعة على ١٨.

حسنًا، علينا إيجاد معادلة المماس بمعلومية الميل الذي يساوي سبعة على ١٨. هذا يعني أننا سنستخدم المعادلة ﺹ ناقص ﺹ صفر يساوي ﻡ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺱ صفر، حيث يمر هذا الخط بالنقطة ﺱ صفر، ﺹ صفر، وميله ﻡ. أولًا، سنوجد النقطة التي يكون عندها الخط مماسًّا للمنحنى. وهذه النقطة هي ﺱ صفر، ﺹ صفر. وثانيًا، سنوجد معادلة الخط المماسي في صورة الميل ونقطة. إذن، علينا إيجاد ﺱ صفر وﺹ صفر. وسنفعل ذلك عن طريق اشتقاق المعادلة.

علينا إجراء ذلك ضمنيًّا بالنسبة إلى ﺱ. أي علينا اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. في الطرف الأيسر، نحن نعلم أن مشتقة ﺃﺱ هي ﺃ فقط، واشتقاق الثوابت يعطينا صفرًا. وبناء عليه، فإن اشتقاق سالب سبعة ﺱ زائد تسعة يعطينا سالب سبعة. أما مشتقة الطرف الأيمن فهي أصعب قليلًا. وهذا لأننا نشتق دالة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لذا، علينا تطبيق قاعدة السلسلة.

تنص قاعدة السلسلة على أن ﺩﺩ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺩ على ﺩﺹ مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ. الدالة التي نريد اشتقاقها هي تسعة ﺹ تربيع. سنجعل ﺩ يساوي تسعة ﺹ تربيع، ولدينا ﺩﺩ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺩ على ﺩﺹ، وهذه هي نتيجة اشتقاق تسعة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺹ. يمكننا فعل ذلك لأننا نعرف قاعدة القوة للاشتقاق. إذن، ﺩﺩ على ﺩﺹ يساوي ١٨ﺹ. وهذا مضروب في ﺩﺹ في ﺩﺱ. والآن يمكننا التعويض بذلك في المعادلة هنا.

وعليه، يصبح لدينا ١٨ﺹ مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب سبعة. نلاحظ الآن أن لدينا معادلة تتضمن ﺩﺹ على ﺩﺱ. لذا، دعونا نعد الترتيب لنجعل ﺩﺹ على ﺩﺱ المتغير التابع. سنقسم كلا الطرفين على ١٨ﺹ. وبذلك، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب سبعة على ١٨ﺹ.

والآن، تذكر أن السؤال يخبرنا بأن الميل ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سبعة على ١٨. لذا بالتعويض بسبعة على ١٨ عن ﺩﺹ على ﺩﺱ، يصبح لدينا سبعة على ١٨ يساوي سالب سبعة على ١٨ﺹ. وعند الحل لإيجاد قيمة ﺹ، نجد أن ﺹ يساوي سالب واحد. بالتعويض بذلك في المعادلة الأصلية؛ تسعة ﺹ تربيع يساوي سالب سبعة ﺱ زائد تسعة، يصبح لدينا تسعة في سالب واحد تربيع يساوي سالب سبعة ﺱ زائد تسعة. تذكر أن سالب واحد تربيع يساوي واحدًا. وبالحل لإيجاد قيمة ﺱ، نجد أن ﺱ يساوي صفرًا.

تذكر أن القيمتين اللتين أوجدناهما هما إحداثيا النقطة التي يكون عندها الخط مماسًّا للمنحنى. إذن، هذان هما الإحداثيان ﺱ صفر، ﺹ صفر. والآن علينا استخدام معادلة المستقيم في صورة الميل ونقطة لإيجاد خط المماس.

سنستخدم صيغة الميل ونقطة؛ حيث ﺱ صفر يساوي صفرًا. وﺹ صفر يساوي سالب واحد. والميل ﻡ يساوي سبعة على ١٨. يمكننا إذن القول إن خط المماس لدينا هو ﺹ ناقص سالب واحد يساوي سبعة على ١٨ مضروبًا في ﺱ ناقص صفر. ‏ﺹ ناقص سالب واحد يساوي ﺹ زائد واحد. وبفك القوس في الطرف الأيسر، نحصل على ﺹ زائد واحد يساوي سبعة على ١٨ﺱ. يمكننا تجميع كل الحدود في أحد طرفي المعادلة. ويمكننا أيضًا ضرب جميع الحدود في ١٨ للتخلص من الكسر ليصبح لدينا ١٨ﺹ ناقص سبعة ﺱ زائد ١٨ يساوي صفرًا. وهذه هي الإجابة النهائية.